Исследование функций одной переменной

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УО «Белорусский государственный экономический университет»

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра высшей

математики

 

 

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

на тему: «Исследование функций одной переменной»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исполнил студент

1 курс, ФМК, гр.ДМП-1                                                               П.В. Шмидт

 

 

Руководитель, доктор физико-

математических наук                                                                   А.И.Астровский

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МИНСК 2014

 

Общая схема исследования функций

1. Область определения.
2. Чётность, нечётность, периодичность (обычно проверяют для тригонометрических функций).
3. Пересечение графика с осями координат.
4. Поведение функции в граничных точках области D. Для этого требуется вычислять пределы. Наличие вертикальных асимптот.
5. Определение критических точек. Для этого требуется вычислить первую производную.
6. Интервалы возрастания и убывания (определяя знак производной).
7. Нахождение точек перегиба и интервалов выпуклости. Для этого требуется вычислить вторую производную.
8. Построение графика функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графики основных элементарных функций

 

Выделяют следующие основные элементарные функции:

 

1. Постоянная функция, у = const

 

Графиком функцию y=5 является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;5) на оси ординат.  

 

2. Линейная функция,  y = kx + b

 

Графиком линейной функции является прямая. Для построения графика достаточно двух точек.

 

Например: у=2х+8

 

 k>0

 

 

 

 

у=-2х+8

 

K<0

                                                                                         

k — угловой коэффициент этой прямой, он равен тангенсу угла наклона прямой к оси ОХ: k= tg α.  
При k>0 этот угол острый, при k<0 — тупой.

 

3. Обратно пропорциональная зависимость, у = k/x

 

Переменную y называют обратно пропорциональной переменной x, если значения этих переменных связаны равенством y = k/x, где k – некоторое действительное число, отличное от нуля. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Если считать x независимой переменной, а y – зависимой, то формула y = k/x определяет y как функцию от x. График функции y = k/x называется гиперболой.

 

Например: y=2/x

 

 

1. Область определения  функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.

2. у > 0 при х>0;у<0 при  х<0.

3. Функция убывает на  промежутках (-∞, 0) и (0, +∞).

4. Функция не ограничена  ни снизу, ни сверху.

5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений у  функции

6. Функция непрерывна  на промежутках (-∞, 0) и (0, +∞) и терпит  разрыв при х = 0

y=-2/x

 

 

1. Область определения  функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.

2. у > 0 при х < 0; у < 0 при  х > 0.

3. Функция возрастает  на промежутках (-∞, 0) и (0, +∞).

4. Функция не ограничена  ни снизу, ни сверху.

5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений у  функции нет.

6. Функция непрерывна  на промежутках (-∞, 0) и (0, +∞) и претерпевает  разрыв при х = 0. 

 

 

 

4. Степенная функция,  у = a

Степенной функцией называется функция вида f(x) = xa, где a - любое действительное число, называемое показателем степени.

      Например: у=  x1/2

 

        

             Рис.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у=  x7/2

 

 

 

Свойства степенной функции:

1. Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел.
2. Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел.
3. Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.
4. Степенная функция непрерывна на всей области определения.
5. Степенная функция дифференцируема на всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле: (a)¢= aa.

 

5. Квадратичная функция, у = ax2+bx+c

Функция f(x)=ax2+bx+c, где a, b, c – некоторые действительные числа (a¹0), называется квадратичной функцией. График квадратичной функции называется параболой.

Квадратичная функция может быть приведена к виду:

 f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a,   выражение b2-4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Представление квадратной функции в виде f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a называется выделением полного квадрата.

 

   Например: x^2+4x+4=0                                                                                                       

     

 

-x^2+4x+4=0

 

 

Свойства квадратичной функции:

 

1. Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая.
2. При b¹0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция – четная.
3. Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема на всей области определения.
4. Функция имеет единственную критическую точку

x=-b/(2a). Если a>0, то  в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.

Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.

Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b2-4ac)/4a) называется вершиной параболы.

5. Область изменения функции: при a>0 – множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); +¥); при a<0 – множество значений функции (-¥;-((b2-4ac)/4a)].
6. График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b2-4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке     x=-b/(2a); если b2-4ac<0, пересечения с осью 0x нет.

 

6. Показательная функция, у = , а¹1

Показательной функцией называется функция вида f(x)=ax, где а – некоторое положительное действительное число, называемое основанием степени. При а=1 значение показательной функции при любом значении аргумента равно единице.

 

Например у=5^x

 

 

 

у=-5^x

 

 

 

 

Свойства показательной функции:

1. Область определения функции – вся числовая прямая.
2. Область значения функции – множество всех положительных чисел.
3. Функция непрерывна и дифференцируема на всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(ax)¢ =axlna

 

4. При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.
5. Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.
6. График любой показательной функции пересекает ось 0y   в точке y=1.

 

7. Логарифмическая функция, y = loga x.

Функцию, обратную показательной функции y=ax, называют логарифмической и обозначают y=loga x.

Число а называется основанием логарифмической функции. Логарифмическую функцию с основанием 10 обозначают lg x, а логарифмическую функцию с основанием е обозначают ln x.

 

Например: y=ln[2x]

 

 

 

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +¥).
2. Область значения логарифмической функции – вся числовая прямая.
3. Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема на всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

 

(loga x)¢ = 1/(x ln a).

 

4. Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
5. При любом основании a>0, a¹1, имеют место равенства.

 

loga 1 = 0, loga a =1.

 

8. Тригонометрические  функции, у = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx.

 

 у = sinx

 

Основные свойства:

 

1. Область определения  вся числовая ось.

 

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

 

3. Функция нечетная.

 

      4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = cosx

 

 

Основные свойства:

 

1. Область определения  вся числовая ось.

 

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

 

3. Функция четная.

 

      4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

 

y = tgx

 

 

Основные свойства:

 

1. Область определения  вся числовая ось, за исключением  точек вида x=π/2 +π*k, где k – целое.

 

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая  прямая.

 

3. Функция нечетная.

 

      4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

 

y = ctgx.

 

Основные свойства:

 

1. Область определения  вся числовая ось, за исключением  точек вида x=π*k, где k – целое.

 

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая  прямая.

 

3. Функция нечетная.

 

      4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

 

 

9. Квадратный корень как элементарная функция, y=

 

 

Например: y=

 

Основные свойства:

 

1. Область определения функции.

D(y) = 

2. Область значений функции.

E(y) = 

3. Возрастания, убывания функции.

Функция убывает при х  [0;+  )

4. Ограниченность функции.

Функция ограничена сверху, и не ограничена снизу.

5. Наибольшее, наименьшее значения функции.

у наиб. = нет у наим. = 0.

6. Непрерывность функции.

Функция непрерывна на все области определения.

 

10. Функция экспонента,  у=.

 

Экспонента частный случай показательной функции и полностью сохраняет свойства показательных функций.

 

Например: у=

 

 

 

 

11. Функция предложения

Функция предложения

Предложение– это количество товаров, которое продавцы (производители) готовы представить к продаже по данной цене в данное время.

Величина предложения – это количество товара, которое продавцы готовы предложить на рынке по данной цене.

Закон предложения выражается в том, что, как правило, при прочих равных условиях, чем выше цена, тем больше величина предложения.

Условия, при которых формируется объем предложения, называется факторами предложения .

Факторами предложения являются:

• Цена данного товара (Р);
• Цены на другие товары – комплименты (РC) и субституты (РS);
• Издержки производства (С);
• Политика государства в области производства (налоги и субсидии) (G);
• Уровень технологии, управления и организации труда (Tech);
• Количество фирм на рынке (N);
• Имеющиеся производственные мощности (M);
• Объективные (внешние) условия производства (O);
• Информация о рынке (Inf);
• Ожидания производителей (Е).