Исследование поведения функций

Нижегородский государственный  технический университет им. Алексеева

Исследования поведения  функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                            

 

г. Нижний Новгород

Оглавление

3
6
10
11
12
14
17
19
23

 

1. Возрастание и убывание функции
2. Максимум и минимум функций
3. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной
4. Наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте.
5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора
6. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
7. Асимптоты
8. Практическая часть
9. Литература

 

 

 

 

Возрастание и убывание функций.

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной.

Функция называется возрастающей на интервале, если для любых двух точек из неравенства   следует, что ;

Убывающей на интервале , если из неравенства следует, что

;

Невозрастающей на интервале   , если из неравенства следует, что , и неубывающей на интервале , если из неравенства   следует, что .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что функция  возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция (рис 1)

; аналогичное  утверждение связывает неубывающую  функцию с невозрастающей.

 

 

 

 

(1)

 

 

 

Теорема

1)Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a,b], возрастает на этом отрезке, то её производная на отрезке [a,b]не отрицательна, т.е. f’(x)≥0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]и дифференцируема в промежутке (a,b), причем f’(x)>0 для a<x<b, то эта функция возрастает на отрезке [a,b].

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы.

Пусть f(x) возрастает на отрезке [a,b]. Придадим аргументу x приращение *x и рассмотрим отношение

   . (1)

Так как f(x) - функция возрастающая, то        при *x>0

И     при *x<0.

В обоих случаях

  (2)

А следовательно,  ,

Т.е. f’(x)≥0 , что и требовалось доказать. (Если бы было f’(x)>0 , то при достаточно малых значениях *x отношение (1) было бы отрицательным, что противоречит соотношению (2).)

Докажем  теперь вторую часть теоремы. Пусть f’(x)>0 при всех значениях x, принадлежащих промежутку (a,b).

Рассмотрим два любых значения и   , принадлежащих отрезку [a,b].

По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем:

, < c < .

 

По условию f’(c)>0, следовательно,  , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.

Аналогичная теорема имеет место  и для убывающей(дифференцируемой) функции, а именно –

Если f(x) убывает на отрезке [a,b], то f’(x)≤0 на этом отрезке. Если f’(x)<0 в промежутке (a,b), то f(x) убывает на отрезке[a,b]. (Конечно, мы и здесь предполагаем, что функция непрерывна во всех точках отрезка [a,b] и дифференцируема всюду на (a,b).)

 

                                             Рис.1

 

Замечание

Доказанная теорема выражает следующий  геометрический факт. Если на отрезке  [a,b] функция f(x) возрастает, то касательная к кривой в каждой точке на этом отрезке образует с осью Оx острый угол * или - в отдельных точках - горизонтальна; тангенс этого угла не отрицателен:.

Если функция убывает на отрезке  то угол наклона касательной –  тупой ( или – в отдельных точках – касательная горизонтальна); тангенс этого угла не положителен(рис. 1,б). Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы. Теорема позволяет судить о возрастании или убывании функции по знаку её производной.

Пример.

Рассмотрим функцию . Её производная такова:

Интервал  возрастания функции можно найти  из неравенства

 

x>0, так что нужно решать неравенство . Отсюда,  . Таким образом, функция  f(x) возрастает на интервале . Нетрудно видеть, что при x выполняется обратное неравенство , так что на этом интервале функция убывает.     

 

Максимум и минимум функций.

Определение максимума. Функция f(x) в точке имеет максимум(maximum), если значение функции в точке больше,чем её значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку . Иначе говоря, функция f(x) имеет максимум при x=, если  при любых   (как положительных, так и отрицательных) достаточно малых по абсолютной величине.

Определение минимума. Функция f(x)имеет минимум(minimum) при x=, если при любых (как положительных, так и отрицательных) достаточно малых по величине.

В связи с определениями максимума  и минимума следует обратить внимание на следующие обстоятельства.

1. Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только при значениях x, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.
2. Не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, её наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке: в точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума , а в точке минимума – наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

Так, на рис.3 изображена функция, определенная на отрезке[a,b], которая

При x= и x= имеет максимум,

При x=x= имеет минимум,

 

Рис.3

Но минимум функции при больше максимума функции при. При значение функции больше любого максимума  функции на рассматриваемом отрезке.

Максимумы и минимумы функции называют экстремумами или экстремальными значениями функции.

 

Экстремальные значения функции и  их расположение на отрезке [a,b] в известной степени характеризуют изменение функции в зависимости от изменения аргумента.

Ниже будет указан метод нахождения экстремальных значений.

Теорема 1(необходимое условие  существования экстремума).

Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= максимум или минимум, то её производная обращается в нуль в этой точке, т.е. f’()=0.

Доказательство.

Предположим для определенности, что  в точке x= функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых по абсолютному значению приращениях *x (*x≠0) имеет место

,

 .

Но в таком случае знак отношения  определяется знаком , а именно:

 при 

 при .

Согласно определению  производной имеем:

 

Если f(x) имеет производную при , то предел, стоящий справа,

Не зависит от того, кок  стремится к нулю ( оставаясь положительным или отрицательным).

Но если , оставаясь отрицательным, то f’(.

Если же , оставаясь положительным, то f’(. 
Так как f’( есть определенное число, не зависящее от способа стремления *x к нулю, то два последних неравенства совместимы только в том случае, если f’(.

Аналогичным образом теорема доказывается и для случая минимума функции.

Доказанной теореме соответствует  следующий очевидный геометрический факт: если в точках максимума и  минимума функция f(x) имеет производную, то касательная к кривой y=f(x) в этих точках параллельна оси Оx. Действительно, из того, что f’( , где * – угол между касательной и осью Оx, следует, что (рис.3).

Из теоремы 1 непосредственно вытекает следствие: если при всех рассматриваемых  значениях аргумента x функция f(x)имеет производную, то она может иметь экстремум (максимум или минимум) только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль. Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при которых производная обращается в нуль, обязательно существует максимум или минимум. Так, на рис. 3 изображена функция, у которой при x= производная обращается в нуль (касательная горизонтальна), но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума.

Функция может иметь экстремум  лишь в двух случаях: либо в точках, где производная существует и  равно нулю, либо в тех точках, где производная не существует.

Заметим что если производная не существует в какой либо точке (но существует в близлежащих точках ), то в этой точке производная  терпит разрыв.

Значения аргумента, при которых  производная обращается в ноль или  терпит разрыв, называются критическими точками или критическими значениями.

Из этого следует, что не при всяком критическом значении функция имеет максимум или минимум. Однако, если в какой либо точке функция достигает максимума или минимума, то эта точка наверняка является критичной. Поэтому для разыскивания экстремумов функции сначала находят все критические точки, а затем, исследуя отдельно каждую, выясняют, будет ли в этой точке максимум или минимум или же не будет ни максимума, ни минимума. 

 

Теорема 2( достаточные условия существования  экстремума).

Пусть функция f(x) непрерывна в некоторам интервале содержащем критическую точку и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме,быть может, самой точки ). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при x= функция имеет максимум.

Таким образом, если а)

То в точке  функция имеет максимум;

Если б)

То в точке  функция имеет минимум. При этом надо иметь в виду, что условия а) или б) должны выполняться для всех значений x, достаточно близких к т.е. во всех точках некоторой достаточно малой окрестности критической точки .

Доказательство.

Предположим сначала, что производная  меняет знак с плюса на минус, т.е. что для сех x, достаточно близких к точке , имеем:

 

 

Применяя теорему Лагранжа к  разности f(x)-f(), получим f(x)-f()=f’(ξ)(x-),

Где ξ – точка, лежащая между  x и .

1. Пусть ; тогда

ξ< , f’(ξ)>0, f’(ξ)(x-)<0

и , следовательно, f(x)-f()<0  или f(x)<f().  (1)

2)Пусть x> ; тогда

ξ > , f’(ξ)<0, f’(ξ)(x-)<0

и, следовательно, f(x)-f()<0  или f(x)<f().  (2)

Соотношения (1) и (2) показывают, что  для всех значений x, достаточно близких к , значения функции меньше, чем значения функции в точке . Следовательно, в точке функция f(x) имеет максимум.

Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы о достаточном  условии минимума.

Рис.4 наглядно иллюстрирует смысл  теоремы 2.

рис.4

Пусть в точке x= имеем f’()=0 и для всех x, достаточно близких к точке , выполняются неравенства

 

 

Тогда при x< касательная к кривой образует с осью Оx острый угол – функция возрастает, а при x> касательная образует с осью Оx тупой угол – функция убывает, при x= функция переходит от возрастания к убыванию, т.е. имеет максимум.

Если в точке  имеем f’()=0 и для всех значений x, достаточно близких к точке , выполняются неравенства

 

 

То при x< касательная к криво образует с осью Оx тупой угол  функция убывает, а при x> касательная к кривой образует острый угол – функция возрастает. При x= функция переходит от убывания к возрастанию, т.е. имеет минимум.

Если при x= имеем f’()=0 и для всех значений x достаточно близких к , выполняются неравенства

 

 

То функция возрастает как при  x< , так и при x>. Следовательно, при x= функция не имеет ни максимума, ни минимума.

Пример. Найти максимум и минимум функции y = x³ - 3x³ - 9x +11

Решение.  Найдем производные первого  и второго порядков:

f '(x) = 3x² - 6x -9 =3(x² - 2x -3),

f ''(x) = 6x - 6

Приравняем первую производную  к нулю и найдем корни уравнения 

x² - 2x -3 = 0

Получим

x₁ = -1,   x₂ = 3

 Подставив эти значения во  вторую производную, будем иметь: f ''(-1) = -12 < 0,   f ''(3) = 12 > 0, следовательно  при x = -1 данная функция имеет  максимум, при x = 3 - минимум. Найдем  ординату точки максимума: 

f(-1) = - 1 - 3 + 9 + 11 = 16

Таким образом, A(-1; 16) - точка максимума.

Найдем ординату точки минимума:

f(3) = -16

 Точка B(3; -16) - точка минимума.

 

 

 

 

Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной.

Пусть при  производная функции обращается в ноль, т.е..Пусть, кроме того, вторая производная существует и непрерывна в некоторой окрестности точки. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть ; тогда при функция имеет максимум, если  , и минимум, если .

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы.

Пусть  и

Так как, по условию  непрерывна в некоторой окрестности  точки , то, очевидно, найдётся некоторый малый отрезок, окружающий точку , во всех точках которого вторая производная будет отрицательна.

Так как  есть первая производная от первой производной , то из условия

 следует, что убывает на отрезке, содержащем точку. Но ;

следовательно, на этом отрезке, при имеем , а при имеем ,

т.е. производная при переходе через  точку меняет знак с плюса на минус, а это значит, что в точке  функция имеет максимум. Первая часть теоремы доказана.

Вторая часть. Если. то во всех точках некоторого отрезка, окружающего точку , но тогда на этом отрезке и, следовательно, возрастает. Так как то, значит, при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. функция имеет минимум при .

если в критической точке, то в этой точке может быть или максимум или минимум или не быть ни максимума, ни минимума. В этом случае исследование нужно вести через первую производную.

Пример. Исследовать на максимум и минимум функцию.

 

Решение. с помощью второй производной.

 

 

таким образом, этот способ решение  не даёт. тогда находим 

 

Следовательно, при х=1 функция не имеет ни максимума, ни минимума (рис 12).