Показникова функція, її графік і властивості

Логарифмічна функція, її властивості та графік

 

Тема: Логарифмічна функція, її властивості та графік

Мета:

• ввести поняття логарифмічної функції, формувати вміння будувати графік логарифмічної функції, дослідити її властивості, познайомити учнів з використанням логарифмічної функції при вивченні явищ навколишнього світу;
• розвивати творче мислення, математичне мовлення;
• виховувати вміння працювати разом, почуття відповідальності, культуру спілкування.

Тип уроку: засвоєння нових знань і вмінь.

Обладнання: таблиці, комп’ютер, слайди, виконані в Power Point.

ХІД УРОКУ

 

І. Організаційний момент. Мотивація навчання

Підготовка учнів до уроку.

 

Сьогодні на уроці ми будемо говорити про такі речі:

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я розумію ваше здивування. Виникають  запитання:

• Що об’єднує ці малюнки?
• Чому вони присутні у нас на уроці?
• Як їх можна пов’язати з темами, що ми вивчаємо, і з математикою взагалі?

Але щоб все це пояснити, та докорінно  у всьому розібратися, давайте пригадаємо основний матеріал, який ми вивчаємо.

 

ІІ. Перевірка  домашнього завдання

Короткий  аналіз після попередньої перевірки.

ІІІ. Актуалізація опорних знань 

Питання до класу:

1. Що називається функцією? Наведіть приклади.

Залежність  змінної у від змінної х  називається функцією, якщо кожному  значенню х відповідає єдине значення у.

2. Як називаються змінні х та у?

Х- незалежна змінна, аргумент;

У – залежна змінна, функція.

3. Яку функцію називають оборотною?

Функція f, яка має обернену, називається оборотною.

4. Назвіть достатню умову існування оберненої функції.

Достатньою  умовою існування оберненої функції  для даної функції є її монотонність, тобто зростання або спадання на всій області визначення.

5. Який існує алгоритм знаходження формули функції, оберненої до даної?

а) З’ясувати, чи є функція у = f(x) оборотною на всій області визначення. Якщо ні, то виділити проміжок, на якому функція монотонна;

б) виразити х через у;

в) поміняти позначення змінних.

6. Сформулюйте основні властивості взаємно обернених функцій.

а) Область визначення функції f співпадає з областю значень функції j, і навпаки,  область значень функції f співпадає з областю визначення функції j;

б) якщо функція f зростає то і функція j зростає, якщо функція f спадає то і функція j  спадає;

в) графіки функції j, оберненої до функції f, симетричні графіку f відносно прямої у = х.

7. Накресліть схематично графіки функцій у = 3^х та у = 0,5^х. Сформулюйте основні властивості показникової функції при основі а > 1 і 0 < а < 1.

 

Властивості показникової функції	y=ax, a>1	y=ax, 0<a<1
Графік
1. Область визначення функції	D(f) = ( - ;+ )
2. Область значень функції	E(f) = ( 0; + )
3. Парність, непарність.	Функція не є ні парною, ні непарною (функція  загального вигляду).
4. Перетин з осями координат	Якщо х=0, то у=1, тобто графік проходить  через точку (0;1)
5.Проміжки порівняння з одиницею	Якщо х<0, то у<1; Якщо x>0, то y>1.	Якщо х<0, то у>1; Якщо x>0, то y<1.
6. Проміжки знакосталості	f(x)>0, при будь-якому значенні аргументу
7.Монотонність	Монотонно зростає на R	Монотонно спадає на R

 

8. Дайте означення логарифма і сформулюйте його основні властивості.

Логарифмом  числа N за основою а (a>0 і a¹1) називається показник степеня х, до якого треба піднести а, щоб дістати N.

 

log_a1=0;

log_aa=1;

log_a(xy)=log_ax+log_ay, якщо х>0, y>0;

log_a = log_ax – log_ay, якщо х>0, y>0;

log_ax^p=p log_ax, якщо х>0, pÎR;

log_ax= , якщо х>0, b>0, b¹1;

 якщо х>0.

ІV. Постановка мети уроку

Знання властивостей кожної з елементарних функцій значно спрощують розв’язування значної  кількості  задач. В дослідженнях багатьох реальних процесів використовують функцію, обернену до показникової, яка називається логарифмічною. Тому перед нами виникає необхідність познайомитися з цією функцією та розглянути її властивості.

  Отже, тема нашого уроку «Логарифмічна функція та її властивості».

Ми повинні:

• розглянути поняття логарифмічної функції;
• навчитися будувати графік логарифмічної функції;
• дослідити її властивості;
• познайомитися з використанням логарифмічної функції в науці, техніці та природі.

 

V. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

1. Поняття логарифмічної функції

Розглянемо  показникову функцію та знайдемо формулу оберненої до неї функції.

Логарифмічною називається  функція , де a>0, a¹1, обернена до показникової у=а^х.

 

 

 

2. Властивості логарифмічної функції.

. Аналізуємо властивості логарифмічної функції (в загальному вигляді), записуємо їх у зошит.

 

Властивості логарифмічної функції	, a>1	, 0<a<1
Графік
1. Область визначення функції	D(f) = ( 0; + )
2. Область значень функції	E(f) = ( - ;+ )
3. Парність, непарність.	Функція не є ні парною, ні непарною (функція  загального вигляду).
4. Перетин з осями координат	Якщо х=1, то у=0, тобто графік проходить через точку (1;0)
5. Проміжки знакосталості	Якщо х>1, то f(x)>0; Якщо х<1, то f(x)<0.	Якщо х>1, то f(x)<0; Якщо х<1, то f(x)>0.
6.Монотонність	Монотонно зростає на R	Монотонно спадає на R

3. Властивості логарифмів чисел

Проблемне питання: Як можна порівнювати логарифми чисел, використовуючи властивості логарифмічної функції?

Розгляньте  завдання:

1. Порівняйте число а з 1, якщо

А. а=1. Б. а<1. В. а>1. Г. а£1.

2. Порівняйте числа log₂5 і log₂7.

А. log₂5 > log₂7. Б. log₂5 < log₂7. 

В. log₂5 = log₂7. Г. log₂5 ³ log₂7.

3. Порівняйте числа log₇8 і log₅8.

А. log₇8 ³ log₅8. Б. log₇8 > log₅8. 

В. log₇8 = log₅8.. Г. log₇8 < log₅8.

4. Порівняйте числа log₄320 і log₅500.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

За допомогою графіків вказаних функцій спробуйте вдома вивести  правила для порівняння логарифмів. Для цього вам слід заповнити  наступну таблицю.

Властивості логарифмів чисел
a>1	0<a<1
Дано logaN1 і logaN2
Якщо N1>N2, то logaN1…logaN2	Якщо N1>N2, то logaN1…logaN2
Дано  i
Якщо а1>а2, то …	Якщо а1>а2, то …

 

 

 

VІІ. Підсумок уроку

Питання до класу:

1. Яка функція є оберненою до показникової?
2. Яка функція називається логарифмічною?
3. При якій умові логарифмічна функція є зростаючою (спадною)?
4. Де використовується в навколишньому світі логарифмічна функція?

Оцінювання учнів.

 

VІІІ. Домашнє завдання

 

ДОДАТКИ

Застосування логарифмів та логарифмічної  функції

 

Математика

 

Логарифм – з грецької  означає “логос”- відношення і “аритмос”-  число. 

Його винахід  пов’язаний з двома постатями: швейцарцем Іобстом Бюргі(1552-1632), знаним годинникарем і майстром майстром астрономічних інструментів, і шотландцем Джоном Непером (1550-1617), який теж не був математиком за професією, астрономія була його «хобі». А Бюргі працював разом з астрономом Іоганном Кеплером. Саме величезний обсяг необхідних в астрономії обчислень і спонукав Бюргі і Непера шукати шляхів для їх спрощення. 20 років присвятив Непер своїм логарифмічним таблицям, аби, за його словами, «позбутися нудних і тяжких обчислень, відлякують зазвичай багатьох від вивчення математики». Обидва автори прийшли до своїх таблиць незалежно один від одного. Вони склали таблиці так званих натуральних логарифмів. Бюргі працював над таблицями 8 років і видав їх у 1620 році під назвою «Арифметична і геометрична таблиця прогресії». Проте його таблиці не отримали широкого поширення, бо Непер видав свій «Опис дивовижної таблиці логарифмів» на 6 років раніше. Тому і визнали число e неперовим числом.

Ідея десяткових логарифмів виникла у професора  лондонського коледжу Генрі Брігса(1561-1630) після ознайомлення з таблицями Непера. Він двічі побував у Непера, здружився з ним і в процесі спільних занять обидва розробили нову, практично зручнішу десяткову систему, засновану на порівнянні прогресії.

 Брігс взявся розробити велику таблицю десяткових логарифмів. Уже в 1617 р. він опублікував восьмизначні таблиці логарифмів від 1 до 10³, а в 1624 році спромігся видати «Логарифмічну арифметику», що містила чотирнадцятизначні таблиці логарифмів для чисел 1-20000 і 90000-100000.

Понад три  з половиною сторіччя з тих  пір, як у 1614 році були опубліковані Непером перші логарифмічні таблиці, вони вірою і правдою служили астрономам і геодезистам, інженерам і морякам, скорочуючи час на обчислення і, як сказав французький вчений Лаплас (1749-1827), продовжуючи життя обчислювачам.

Ще донедавна  важко було уявити собі інженера без  логарифмічної лінійки в кишені. Винайдена в 1624 році англійським  математиком Едмундом Гунтером (1581-1626), вона дозволяла швидко одержувати відповідь  з достатньою для інженера точністю до трьох значущих цифр. І хоч  тепер її витіснили калькулятори і комп’ютери, проте можна сміливо  сказати, що без логарифмічної лінійки  не було і перших комп’ютерів.

 

Логарифмічна спіраль – це крива, яка перетинає всі кути, що виходять із однієї точки О, під одним і  тим же кутом α.

Рівняння (в  полярних координатах) має вигляд: .

 

 

Таку криву описує рухома точка, відстань від полюса якої росте  в геометричній прогресії, а кут, що описується її радіусом-вектором, - в арифметичній.

Характерні особливості  логарифмічної спіралі:  

• Має нескінченну кількість витків як при розкручуванні так і при скручуванні;
• Не проходить через свій полюс;
• Її називають рівнокутною спіраллю;
• В будь-якій точці спіралі кут між дотичною до неї та її радіус-вектором зберігає  постійне значення;
• При різних перетвореннях (гомотетії, повороті) вона залишається незмінною.
• Має широке застосування в технічних приладах.
• Властивості цієї кривої так вразили Якоба Бернуллі, що він назвав її spira mirabilis (чудова спіраль) і заповів зобразити її на його могилі з написом Eatemmutata resurgo (перетворювана, відроджуюся знову).

 

ФІЗИКА

 

Фізика  завжди вимагає математичних розрахунків, тому знання математики у  фізиці завжди необхідне. Ось декілька формул, де використовуються логарифми.