Экономико - математические методы и модели

 

4.  Задача оптимального назначения.

Распределение взаимозаменяемых специалистов по работам:

Постановка  задачи:  пусть имеется n работ (1, 2,…, j,…, n) и m специалистов (1, 2,…, i,…, m). с_ij  – эффективность выполнения  j-ой работы  i-ым  специалистом.

Требуется оптимально распределить специалистов по работам, с целью  получения максимального суммарного эффектов при выполнении условий: 

1)  каждую работу  выполняет только один специалист; 

2)  каждый специалист назначается только на одну работу.

Рассмотрим случай, когда m = n – закрытая модель.

x_ij – переменная выбора, она равна:

x_ij = 1, если специалист выполнит  j-ую работу;

х_ij = 0, если специалист не выполнит  j-ую  работу (не назначен).

z = ® max           (1)

,      j =                   (2)

,      i =                  (3)

х_ij ³ 0                                      (4)

Это транспортная модель. А если свободные члены целые  числа, то переменные тоже целые числа.

Виды открытой модели:

Если m > n,  кто-то останется без работы:

(1), (2), (4)       и           (3)    

Если m < n, работы больше, чем специалистов:

(1), (3), (4)       и           (2)   

 

ПРИМЕР:

Имеется три специалиста  и столько же работ. Производительность каждого специалиста по каждой работе:

Специалисты	Производительность по работам
	№1	№2	№3
1 2 3	20 17 18	15 12 15	10 15 14

х_ij – i-ый специалист выполняет j-ую работу.

Модель:

z = 20 × х₁₁ + 15 × х₁₂ + 10 × х₁₃ + 17 × х₂₁ + 12 × х₂₂ + 15 × х₂₃ + 18 × х₃₁ + 15 × х₃₂ + 14 × х₃₃ ® max

требование, что каждый специалист выполняет одну работу:

    x₁₁ + х₁₂ + х₁₃ = 1,

    x₂₁ + х₂₂ + х₂₃ = 1,

    x₃₁ + х₃₂ + х₃₃ = 1.

требование, что каждая работы выполнима:

    x₁₁ + х₂₁ + х₃₁ = 1,

    x₁₂ + х₂₂ + х₃₂ = 1,

    x₁₃ + х₂₃  + х₃₃  = 1.

Переменных 9 штук.

ПРИМЕР: 

Имеется 3 группы взаимозаменяемого  оборудования, на котором обрабатывается 3 вида изделий:  № 1,   № 2,   № 3. Даны нормы расхода времени на одно изделие, фонд времени и прибыль от реализации одного изделия.

Группа оборудования	Нормы времени			Фонд времени
	№ 1	№ 2	№ 3
1	10	5	15	150
2	15	10	20	300
3	20	25	50	350
Прибыль	10	20	30

Требуется оптимально закрепить  обработку изделий за станками взаимозаменяемой группы с целью получения max прибыли, при условии чтобы изделие обрабатывалось только на одном виде оборудования.

Группа оборудования	Количество изделий
	№ 1	№ 2	№ 3
1	15	30	10
2	20	30	15
3	25	20	10

Модель:  х_ij – выбор;  i – оборудование;  j – изделие.

z = 10 × 15 × x₁₁ + 10 × 20 × x₂₁ + 10 × 25 × x₃₁ + 20 × (30 × x₁₂ + 30 × x₂₂ + 20 × x₃₂) + 30 × (10 × x₁₃ + 15 × x₂₃ + 10 × x₃₃) ® max 

   x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ = 1,

   x₂₁ + х₂₂ + х₂₃ = 1,

   x₃₁ + х₃₂ + х₃₃ = 1.

   x₁₁ + х₂₁ + х₃₁ = 1,

   x₁₂ + х₂₂ + х₃₂ = 1,

   x₁₃ + х₂₃  + х₃₃  = 1.

x_ij  ³ 0

 

 

 

МОДЕЛИ  ОПТИМАЛЬНОГО  ПЛАНИРОВАНИЯ,

РАЗВИТИЯ  И  РАЗМЕЩЕНИЯ  ПРОИЗВОДСТВА

 

1. Основные положения оптимизации развития и размещения производства.

2. Однопродуктовые отраслевые  модели развития и размещения  производства.

 

1. Основные положения оптимизации развития и размещения производства.

Эта проблема является отраслевой, факторы: выбор места,  выбор мощности, построение отношений между поставщиком и потребителем.

Планирование касается базовых отраслей, продукция  которых  идет на нужды других отраслей. Это: добывающие отрасли; отрасли переработки; нефтяная отрасль; металлургия.

Для решения этой задачи необходимо:

1. Выбор проблемы и описание круга вопросов: связано с тем, чем мы будем заниматься. Например, проблема – добыча нефти, вопросы – что мы имеем для начала? На какой уровень хотим выйти? Выгодное ли местоположение?

2. Выбор оптимизирующей системы: как связана эта проблема с другими экономическими системами, кто перерабатывает, кто потребляет.

3. Определить период планирования: стратегическое планирование – 10 – 15 лет.

4. Критерий оптимальности: минимум затрат на производство, доставку и использование этой продукции; максимум прибыли – разность между доходами от реализации и затратами.

5. Разработка вариантов развития производства: например, должны быть разработаны проекты по добыче нефти ( мощность, затраты, местоположение).

6. Сбор и обработка информации: сколько необходимо производить, чтобы информация была сопоставима; все затраты рассматриваются в один период. Коэффициент дисконтирования:  B_t = (1 + E)^{α - t}        (1),      t - текущий год   B_t - коэффициент дисконтирования, α - год приведения информации,  Е – норма эффективности.

7. Построение модели и ее расчет: модели делятся на дискретные и непрерывные, смотря по тому, какая информация используется. Дискретная модель составляется, т.к. информация по годам. Также модели бывают однопродуктовые и многопродуктовые, одноэтапные и многоэтапные.

8. Анализ полученных результатов и рекомендации: в результате решения задачи мы получили ответы на вопросы: где строить предприятие и какой мощности; как будет удовлетворяться потребность на продукцию; будут установлены оптимальные взаимосвязи; будет определена потребность в капитальных вложениях для развития отрасли.

 

2. Однопродуктовые отраслевые модели развития и размещения производства:

Наиболее простая модель для решения этой задачи – открытая транспортная модель. Потребители продукции известны:   1, 2,…, n, известна потребность каждого потребителя:      b₁, b₂, …, b_n  эти данные определены из других исследований. Известны предполагаемые пункты строительства новых объектов, реконструкция старых и действующие.

1, 2,…, m - пункты производства. a_i – максимально возможная мощность, на которую можно выйти.

- реально задача может существовать  при этом условии.

x_ij – количество продукции, которое необходимо поставить от i-того производителя к j-ому потребителю.

c_ij – затраты на единицу продукции, ее производство в i-том пункте и затраты на транспортировку к j-тому потребителю

z =   ® min  - целевая функция включает все затраты.

Ограничения:  ,  j = (2) – количество груза, поставленное j-ому потребителю, равно его потребности.

,    i =     (3) – суммарное количество вывозимого груза из i-того пункта, не больше максимальной мощности этого пункта.

х_ij ³ 0

	B1	B2	…	Вn	Bn+1
а1	с11  x11	с12    x12	…	с1n     x1n	0    x1n+1
а2	с21  x21	с22    x22	…	с2n     x2n	0   x2n+1
…	…	…	…	…	…
аm	сm1 xm1	сm2    xm2	…	сmn    xmn	0   xmn+1

b_n+1 = ,     количество переменных   m × (n +1).

x_i = -  оптимальная мощность.

a_i   не более 20%. Если оптимальная мощность отличается не более чем на 10 – 20%, то этот пункт включается в план развития.

Недостаток: для некоторых  предприятий сокращение мощности не желательно, не реально от проектной мощности.

 

ПРИМЕР: 

Пусть имеется  n потребителей;   b₁,  b₂,…, b_n  – потребностей;  1, 2, …i …, m – предполагаемые пункты производства. Для каждого пункта разработано несколько проектов, которые различаются по мощности:  А_i¹ ,  А_i² , … А_i^k - мощности.

c_ij – коэффициенты затрат (включают затраты на производство в i-том пункте и транспортировку в j-тый пункт). Требуется определить оптимальный план развития производства, для этого надо ответить на вопрос: в каких пунктах и какой мощности должны быть предприятия, чтобы удовлетворить потребностям с min издержками.

х_ij – количество продукции i-того пункта, которое должны поставить в j-тый пункт.

Модель:   z = ® min       (1)

,         j =                              (2)   – потребности должны быть удовлетворены.

                        (3)

x_ij ³  0                                                      (4)

из  i-того пункта количество вывозимого груза должно равняться нулю, если невыгодно строить или количество вывозимого груза из  i-того пункта равной одной из проектируемых мощностей.

Метод решения  задачи: метод коэффициентов интенсивности. Процесс решения задачи итерационный. Каждая операция это решение транспортной задачи. Для каждого пункта строительства берут max проектные мощности и решают открытые транспортные задачи, где обязательно будет условный потребитель.

Коэффициент интенсивности – это отношение поставок реальных потребителей к мощности:

< 1,   если 1 – выгодно строить.

Дробное самое маленькое  число – для этого пункта переходят  к новой меньшей мощности и  снова решают открытую ТЗ, до тех  пор пока не будет дробных коэффициентов, только 1 и 0.

Процесс этот сходится, т.к. при переходе от одного проекта к  более меньшему проекту затраты  на 1 единицу увеличиваются.

 

ЗАДАЧА: 

Имеется  4 потребителя:  1,    2,    3,    4

Потребность тыс. руб.:   15     5    10   10

Вариант	Мощность, тыс. руб.	Затраты на ед., руб.
		А1	А2	А3
1	15	24	23	22
2	20	21	20	21
3	25	20	19	-

 

 

Вариант	Трудовые  затраты, руб.
	А1	А2	А3
1	7	3	3
2	3	2	6
3	1	4	4