Экономико - математические методы и модели

…..

Е_{n -m} – последняя ошибка

Окончательная точность прогноза – это средняя между  всеми этими ошибками.

 

 

 

 

 

МНОГОФАКТОРНЫЕ  МОДЕЛИ 

ЭКОНОМИЧЕСКОГО  РАЗВИТИЯ

 

1. Производственные функции  и функции производственных затрат;

2. Определение параметров  многофакторных моделей;

3. Коэффициент множественной  корреляции. Частный коэффициент  множественной корреляции;

4. Понятие предельной  эффективности ресурса и эластичности  производства;

5. Линейные и степенные  производственные функции;

6. Динамические производственные  функции.

 

1. Производственные функции и функции производственных затрат.

Под производственной функцией понимается зависимость выпуска продукции от затрат различных ресурсов. Обозначим у – выпуск продукции. Ресурсы (фактор) – х₁, х₂, … х_m.

Т.е. мы будем строить  зависимость у = f (х₁, х₂, … х_m). Эта функция является моделью предприятия, зависит от технологии предприятия, что влияет на соотношение затрат и выпуска продукции. Чтобы построить производственную функцию нужна статистика, наблюдения: i – номер наблюдения.

y_i        x_1i,  x_2i, … x_mi.

Таких наблюдений надо много, допустим   n – штук (представительная статистика).

Производственная функция  нужна для анализа и прогнозирования  исследуемого показателя (выпуск продукции, например).

Факторы: труд, капитал, сырье, стоимость ОС. В качестве исследуемого показателя может быть – производительность труда.

Функция производственных затрат – это зависимость затрат какого-либо ресурса х_i = j (y₁, y₂, … y_m) от объемов выпускаемой продукции. Упрощенный вариант х_i = j (y₁) – наиболее простая модель – то зависимость с/с продукции от объема производства  с = j (y),   где с – с/с.

j’ (y) = 0 (min с/с)

           с

           

 

 

                                                   с = j (y)

 

      c_min

                                                        y

                                                        

                                   y^*  (min с/с)

 

2.  Определение параметров многофакторных моделей.

При построении многофакторных моделей надо пройти следующие этапы:

1. постановка проблемы (производительность труда, прибыль…);

2. выбор ли определение факторов (этот процесс соединяет формальные и неформальные методы);

3. выбор вида функции и расчет параметров;

4. Оценка результатов;

5. Окончательный выбор функции.

Линейная зависимость: = а₀ + а₁ × х₁ + а₂ × х₂ + … + а_m × x_m    (1).    В данном случае используют метод наименьших квадратов. Строим уравнение регрессии (1), чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений от вычисленных по уравнению регрессии была минимальной.

Функция будет зависеть от параметров: 

F (a₀, a₁, … a_m) = ® min

Берем частные производные:

    , 

                               Отсюда находим 

      …….                          параметры  a₀,   a₁, а₂  … a_m.

    .

При исследовании многофакторных моделей в процессе исследования стараются уменьшить количество факторов. Желательно иметь два, три  фактора.

Линейная зависимость  от 2-х факторов: = а₀ + а₁ × х₁ + а₂ × х₂

i – номер наблюдения,  i = ;    у – объем производства

y_i ,  х_1i ,  х_2i  – статистические данные для каждого наблюдения.

F (a₀, a₁, a₂) = ® min

;        

;                           

;    

                                или

    n × a₀ + S х_1i × a₁ +  S х_2i × a₂ = S y_i,

    S х_1i × a₀ + S (х_1i)² × a₁ +  S х_1i × х_2i × a₂ = S y_i × х_i,        (2)

    S х_1i × a₀ + S х_1i  × х_2i  × a₁ +  S (х_2i)² × a₂ = S y_i × х_i.

Из системы находим  параметры.

 

ПРИМЕР:

Имеем десять однородных предприятий, хотим исследовать  зависимость объема производства от количества рабочих и энерговооруженности.

Пусть линейная зависимость  у = а₀ + а₁ × х₁ + а₂ × х₂, где у – объем производства,  х₁ – численность рабочих,  х₂ – энерговооруженность,  n = 10.

Для того чтобы определить параметры необходима статистика:

уi, млн. руб	х1i, тыс. чел/дн	х2i, кв-ч	х1i × yi	х2i × yi			х1i × х2i
10	2	1	20	10	4	1	2
12	2	2	24	24	4	4	4
17	8	10	136	170	64	100	80
13	2	4	26	52	4	16	8
15	6	8	90	120	36	64	48
10	3	4	30	40	9	16	12
14	5	7	70	98	25	49	35
12	3	3	36	36	9	9	9
16	9	10	144	160	81	100	90
18	10	11	180	198	100	121	110
137	50	60	756	908	336	480	398

    10 × а₀ + 50 × а₁ + 60 × а₂ = 137

    50 × а₀ + 336 × а₁ + 398 × а₂ = 756

    60 × а₀ + 398 × а₁ + 480 × а₂ = 908

Отсюда  а₀ = 9,39;  а₁ = 0,13;  а₂ = 0,62.

Производственная функция:  у = 9,39 + 0,13 × х₁ + 0,62 × х₂ – характеризует общую тенденцию изменения объема выпуска от 2-х факторов. Эту модель можно использовать для анализа:

Для предприятия 1 подставим  фактические значения х₁ и х₂ в функцию и найдем расчетное значение  у, сравним его с уi. Если фактическое значение больше, то предприятие работает эффективно. Если меньше, то предприятие неправильно использует свои ресурсы.

Можно использовать для  прогнозирования:

Пусть на следующий год  для предприятия 1 будет известно значение х₁ и х₂, то мы можем сделать прогноз на следующий год. Гарантировать, что прогноз точный нельзя.

у_t = [ ± t_a × ],   где   - значение прогноза, - стандартная ошибка.

;   где    k = 3 – число параметров,  n = 10 – количество наблюдений.

Если же зависимость степенная:  у = а₀ × х₁^a1 × х₂^a2

Чтобы использовать метод  наименьших квадратов левую и правую части логарифмируем:

ln y = ln a₀ + a₁ × ln x₁ + a₂ × ln x₂   –   получим линейную зависимость, для которой можно использовать формулу (2)

  у_i         x_1i        x_2i

ln у_i     ln x_1i    ln x_2i

Можно прологарифмировать все статистические значения и подставить в зависимость. Вместо  а₀   будет а₀’ = ln a₀,   a₀ = .

 

Множественная корреляция. (лабораторная работа № 5)

Дана статистика по годам  и кварталам. Вариант 85 означает, что  нужно взять статистику начиная  с 85 г. за 5 лет, по 4 квартала – 20 наблюдений.  i = .

y_i – производительность труда. 

9 факторов: х₄ – капиталовложения (по номеру колонки),  х₅ - фондовооруженность  … х₁₃ – коэффициент производительности оборудования.

х_i – фактор,  i - номер колонки.

Этапы:

1) Выбрать 2-3 существенных фактора:

1.1.  Рассчитать коэффициенты  корреляции между   у  и х_i: 

х₄:    r = … ,

x₅:    r = … ,

    ……. 

x₁₃:   r =  …

Коэффициент корреляции покажет насколько сильно связаны  у  и   х_i. Выбираем 6-7 факторов с мах  r  (r > 0,95).

1.2.  Посмотреть экономический  смысл показателей, они могут  быть близки по смыслу –  необходима автокорреляция (например, фондовооруженность и машиновооруженность).

	x4	x6	…	x13
x4	…
x6		…
…			…
x13				…

Определяем автокорреляцию между 6-7 факторами. Если автокорреляция между двумя факторами высокая  r = 0,99, то они дублируют друг друга, один из них убираем. Оставляем 2-3 фактора.

у = f (х₄,  х₁₂,  х₁₃) – на производительность труда в большей степени влияют капиталовожения, коэффициент производительности оборудования …

2) Линейная зависимость: строим модель:  у = а₀ + а₁ × х₄ + а₂ × х₁₂ + а₃ × х₁₃.

3) Спрогнозировать у  на   I квартал 1990,   II квартал 1990

Берем значения факторов из статистики, подставляем в модель и находим расчетное значение    и .

Оценка точности прогноза:  на сколько расчетные значения ушли от фактических в %:

× 100%, 

 Е₂ = …

Окончательная точность – средняя между Е₁ и Е₂. Результаты исследований правильны, если  Е_ср £ 5%. Если  Е_ср > 5% - то лабораторная работа сделана неверно, необходим пересчет.

 

3. Коэффициент множественной корреляции. Частный коэффициент множественной корреляции;

Коэффициент множественной корреляции R характеризует степень влияния всех исследуемых факторов на показатель.

R = ,       где      ;     - общая средняя;    ;  - значения, рассчитанные по уравнению регрессии.

R = ® 1, если уравнение регрессии хорошо описывает статистику и существует сильная связь. Если связь слабая и уравнение регрессии ничего не дает, то  R ® 0. Это сравнительная оценка. R  показывает совокупное влияние факторов на исследуемый показатель.

     у = f (х₁,  х₂, … х_m)

Нужно оценить влияние  каждого фактора на исследуемый  показатель в данной совокупности факторов  х₁, х₂, … х_m.  Пусть мы рассматривали 1 фактор, построили зависимость   у = f₁ (x₁). Насколько хорошо построена эта зависимость покажет дисперсия.

,       i – номер наблюдения.

Рассмотрим зависимость  от двух факторов:  у = f₂ (x₁, х₂). Мерой ошибки является дисперсия: .

Если ошибка при построении 2-х факторов намного меньше, чем при одном факторе, то 2-й фактор очень важен и его надо учитывать.

r₂ = – коэффициент частной корреляции  2-го фактора

Если  r₂ ® 1 – значит этот фактор очень важен,  х₂  включаем в исследование.

Если  r₂ ® 0 – х₂  не используем.

Если исследуется зависимость  от 3-х факторов  у = f₃ (x₁, х₂, х₃).    Рассчитаем влияние 2-го фактора в общей совокупности:

r₂ =   – коэффициент частной корреляции.

 

4. Понятие предельной эффективности ресурса и эластичности производства

у = f (х₁,  х₂, … х_m) – уравнение регрессии.

Влияние фактора на выпуск продукции оценивается двумя  показателями:

- средняя эффективность  ресурса; 

- предельная эффективность  ресурса.

Средняя эффективность ресурса – затраты ресурса на единицу выпускаемой продукции (m_i),     i – номер ресурса.

  m_i = х_i / y.

ПРИМЕР:   у = 9,39 + 0,13 × х₁ + 0,62 × х₂

m₁ = х₁ / (9,39 + 0,13 × х₁ + 0,62 × х₂) – зависит от двух факторов.

Предельная  эффективность ресурса  характеризует приращение выпуска продукции при увеличении затрат соответствующего фактора (ресурса) на малую единицу (n_i),  i – номер ресурса.

n_i = lim (Dx ® 0) Dx / Dy = ¶f / ¶x  - частная производная по  х_i.

ПРИМЕР: n₁ = ¶f / ¶x₁ = 0,13.

При изменении фактора х₁ на единицу, прирос выпуска составит 0,13 единиц.

Эластичность  выпуска по тому или иному фактору – характеризует предел отношения относительно приращения выпуска продукции к относительному приросту фактора (d_i), i – номер фактора.

d_i = lim (Dx ® 0) (Dy / y) / (Dx_i / x_i)  = lim (Dx ® 0) (Dy / Dx_i) × (x_i / y) = (¶f / ¶x_i) × (x_i / y),

       где  ¶f / ¶x_i – предельная эффективность  i -того фактора.

d_i показывает на сколько % увеличится выпуск продукции, если затраты соответствующего ресурса (фактора) увеличить на 1%. То же, что и n i, только в относительных единицах.

ПРИМЕР:   d₁ = (¶f / ¶x₁) ×  (x₁ / y) = 0,13 × (x₁ / y).

 

5. Линейные и степенные производственные функции. Функция Кобба-Дугласа

При построении многофакторных моделей в экономике используют два вида функций: линейная и степенная.

Эти функции непрерывные, имеют производные высоких порядков, их параметры имеют экономический  смысл.

Линейная функция:  у = f (х₁, х₂, … х_m)

у = а₀ + а₁ × х₁ + а₂ × х₂ + … + а_m × x_m        (1)

а₀ – параметр, не зависящий от влияния рассматриваемых факторов.

a₁,  а₂ … a_m – предельная эффективность соответствующего фактора (ресурса).

n_i  = ¶у / ¶x_i = a_i – на сколько увеличится  у, если  x_i  увеличить на 1.

d_i = (¶у / ¶x_i) ×  (x_i / y) = a_i × (x_i / y) =  a_i × (x_i / а₀ + а₁ × х₁ + а₂ × х₂ + … + а_m × x_m) – эластичность изменяется, зависит от всех факторов.

Степенная функция:        (2)

При построении этой функции  учитываются только те факторы, без  которых нельзя обойтись, которые невозможно заменить, т.е.   x_i ¹ 0.

Если   x_i = 0, то   у = 0  (производства нет).

Если вместо статистических данных брать логарифмы: ln у    ln x₁   ln x₂ … ln x_m, тогда методом наименьших квадратов можно легко построить зависимость (как линейную)