Экономико-математическое моделирование фирмы

 

По сравнению с 4м годом в 5 году средняя и предельная производительность труда увеличились, а средняя и предельная фондоотдача уменьшились. Каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост выпуска продукции. Эластичность ресурсов осталась неизменной, потому что для функции Кобба-Дугласа она зависит от коэффициентов α и β, которые неизменны. Предельная норма замены первого ресурса вторым уменьшилась, а второго первым увеличилась. В 5 году фирма А стала работать менее эффективно с точки зрения использования капитала, т.к. каждая дополнительная единица ресурса давала меньший прирост объема выпуска.

Таблица 11 - Анализ экономико-математических характеристик А для 4 и 5-го года для фирмы В:

a1	2,0056	a2	3,9918
год	x1	x2	AQx1	AQx2	MQx1	MQx2	Ex1	Ex2	Sx1x2	Sx2x1
4	1368,5	884	4,58412	7,09658	2,0056	3,9918	0,4375	0,5625	0,5024	1,9904
5	1458,6	935	4,56442	7,12049	2,0056	3,9918	0,4394	0,5606	0,5024	1,9904

 

Средний продукт по первому ресурсу уменьшился, а по второму увеличился. Предельные продукты остались неизменны, поскольку затраты а1 и а2 остались неизменны. Эластичность первого ресурса увеличилась, а эластичность второго ресурса уменьшилась. Предельные нормы замены первого ресурса вторым и второго первым остались неизменны, т.к. для линейной функции они зависят от коэффициентов а1 и а2, которые остались неизменными. Если судить об эффективности работы по предельному продукту, то эффективность работы в эти годы осталась неизменной.

 

2. Анализ и оптимизация  издержек корпорации

2.1. Фактические издержки  
2.2. Функции спроса на ресурсы

Рассчитаем издержки фирм А и В за ретроспективный период, используя следующие данные:

Коэффициент рентабельности: К=1,5;

Цена на первый ресурс фирмы А: PK=26;

Цена на второй ресурс фирмы А: PL=130;

Цена на второй ресурс фирмы В: Px2=550;

Цена на первый ресурс фирмы В: Px2=CA*KА.

Рассчитаем для фирмы А:

 

Таблица 12 - Расчет функций спроса на ресурсы и издержек для фирмы А

 

Издержки фирмы А: C=PK*K+PL*L=26K+130L

Средние издержки фирмы А: АС=C/Q

Функция спроса на первый ресурс фирмы А: :

Функция спроса на второй ресурс фирмы А:

Функция издержек фирмы А: 

 

Построим графики:

                       

Рисунок14 - Средние издержки фирмы А

По графику средних издержек можно сделать вывод, что эффект расширения масштаба r>1. Проверим: 1

Рисунок 15 - Фактические и теоретические издержки фирмы А

 

           Из графика следует, что фактические издержки больше теоретических.           

                                

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

 

Рисунок 16 - Функция спроса на ресурс х1,  х2 для фирмы А

Проанализировав полученные графики, приходим к выводу, что с увеличением объема производства увеличивается спрос на каждый из ресурсов и при этом, соответственно, увеличиваются издержки фирмы.

Рассчитаем для фирмы В:

Таблица 13 - Расчет функций спроса и издержек для фирмы В

Издержки фирмы В: С=Px1*x1+Px2*x2= Px1*x1+550*x2.

Они будут зависеть от средних издержек фирмы А.

Средние издержки фирмы В: АС=С/Q.

Построим графики:

                                     

Рисунок 17 - Средние издержки фирмы В

                                 

Рисунок 18 -Кривая издержек фирмы В

 

По графику кривой средних издержек можно сказать, что эффект расширения масштаба производства r>1.

r=Ex1+Ex2=0,437502+0,562498=1.

 

2.3. Линии долгосрочного  развития

Построим на графике изокванты Q1,Q3,Q5 и изокосты C1,C3,C5. Проведем линию долгосрочного развития через точки пересечения соответствующих изоквант и изокост.

Уравнение изокванты фирмы А: 

Уравнение изокосты фирмы А:

Уравнение ЛДР для фирмы А: 

Для фирмы А:

 

Таблица 14 - Значение изокост, изоквант и ЛДР для фирмы А

год	K	L	Q	Q1	Q3	Q5	C1	C3	C5	ЛДР
1	1700,00	1054	1188,3	1054,61	1649,475	2093,162	1053,667	1600,734	1975,026	969,2241
2	3400,00	1088	1446,7	826,973	1293,438	1641,356	713,6667	1260,734	1635,026	1938,448
3	5100,00	1122	1638,8	717,33	1121,95	1423,74	373,6667	920,7345	1295,026	2907,672
4	6800,00	1156	1800,3	648,472	1014,251	1287,071	33,66671	580,7345	955,026	3876,896
5	8500,00	1190	1944,8	599,647	937,8853	1190,164	-306,333	240,7345	615,026	4846,121

 

 

            Рисунок 19 - Линия долгосрочного развития фирмы А

На рисунке 27 изокосты C1<C2<C3, изокванты Q1<Q2<Q3. Изокванты выражают технологические ограничения развития, поскольку показывают возможный выпуск продукции, который позволяет обеспечить технологический процесс при различном сочетании ресурсов. Изокосты характеризуют экономические ограничения развития, поскольку показывают сумму издержек фирмы при различном сочетании ресурсов.

Уравнение изокванты фирмы В: 

Уравнение изокосты фирмы В:  

Поскольку цена на второй ресурс выше первого, то ЛДР будет проходить по оси абсцисс:

х2=0; х1=Q/a1; C=p1*Q/a1

 

Для фирмы В:

 

Таблица15 - Значение изокост, изоквант для фирмы В

Изокванта	4800,8		Изокоста	642423,1726
х1	Q1		х1	С1
0	1202,66265		0	1168,042132
2393,74144	0		2393,74144	0
	5854,8			783465,0872
х1	Q3		x1	C3
0	1466,70332		0	1424,481977
2919,279574	0		2919,279574	0
	6658,9			891066,4189
x1	Q5		х1	С5
0	1668,14079		0	1620,120762
3320,214313	0		3320,214313	0

 

            Рисунок 20 - Линия долгосрочного развития фирмы В

На рисунке 20  изокосты C1<C2<C3, изокванты Q1<Q2<Q3, ЛДР совпала с осью Ох. Следовательно, можно сделать вывод о том, что для минимизации издержек ресурс х2 не используется.

На 6й год фирма А запланировала увеличить количество ресурсов К и L в 1,5 раза. K=12750, L=1785. В соответствии с ЛДР . Значит, количество ресурса L не соответствует ЛДР.

На 6й год фирма В запланировала увеличить количество ресурсов х1 и х2 в 1,3 раза. х1=1896,18; х2=1215,5. В соответствии с ЛДР х2=0, а х1=1896,18. Значит, запланированное количество ресурсов не соответствует ЛДР.

 

 

 

 

 

2.4. Предельные и  средние издержки

Для фирмы А:

 

 

 

Таблица 16 - Расчет средних и предельных издержек в долгосрочном периоде для фирмы А

год	K	L	Q	AC(Q)	MC(Q)
1	1700,00	1054	1188,3	152,4671	157,0622
2	3400,00	1088	1446,7	153,3739	157,9964
3	5100,00	1122	1638,8	153,9514	158,5912
4	6800,00	1156	1800,3	154,3881	159,0411
5	8500,00	1190	1944,8	154,7477	159,4116

 

Построим график:

 

                               

Рисунок 21 - Средние и предельные издержки в долгосрочном периоде для фирмы А

По графику видно, что эффект расширения масштаба производства r<1. Проверим это

 

Для фирмы В:

AC(Q)=p1/a1

MC(Q)=p1/a1

 

Таблица 17 - Расчет средних и предельных издержек в долгосрочном периоде для фирмы В

год	х1	х2	Q	AC(Q)	MC(Q)
1	938,40	731	4800,8	133,82	133,816
2	1128,80	782	5383,9	133,82	133,816
3	1261,40	833	5854,8	133,82	133,816
4	1368,50	884	6273	133,82	133,816
5	1458,60	935	6658,9	133,82	133,816

 

                               

Рисунок 22 - Средние и предельные издержки в долгосрочном периоде для фирмы А

 

Графики АС и МС накладываются друг на друга и эффект расширения масштаба равен r=1.

 

2.5. Издержки фирмы  А в краткосрочном периоде.

 

Теперь найдем спрос на второй ресурс:

 

 

 

 

 

Таблица 18 - Расчет данных в краткосрочном периоде для фирмы А

год	K	Q	L(Q)	C(Q)	AC(Q)	MC(Q)
5	8500	1944,8	1190,709951	375792,2937	193,2292748	110,7610787
6	8500	2917,2	2093,406932	493142,9012	169,0466547	129,8205942
7	8500	4375,8	3680,45348	699458,9524	159,8471028	152,1598278
8	8500	6563,7	6470,666361	1062186,627	161,8274185	178,3431462
9	8500	9845,55	11376,18595	1699904,173	172,6571063	209,0320306

 

 

 

 

Построим графики:

Рисунок 23 - Функция спроса на ресурс х2

Рисунок 24 - Функция издержек

Рисунок 25 - Средние и предельные издержки в долгосрочном периоде фирмы А

 

Функция издержек в краткосрочном периоде так же, как и в долгосрочном периоде возрастает. Функция предельных издержек так же возрастает. Функция средних издержек в краткосрочном периоде убывает, а на 8 году снова возрастает, а в долгосрочном возрастает.