Задачи по экономико-математическому моделированию

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВАРИАНТ 5

Задача 1

Решить  графическим методом  типовую задачу оптимизации 

1.5. Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.                                                                                                          

    Изучение  рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

    Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам  и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему? 
 

РЕШЕНИЕ:

1. Сформулируем ЭММ задачи на максимизацию выручки

Введем  переменные:

Х₁ – суточная реализация краски Е (тонн);

Х₂ - суточная реализация краски I (тонн);

Составим  целевую функцию:

- суточная  выручка от реализации красок  обоих видов;

Составим  ограничения:

• Функциональные ограничения:

   Ограничение по расходу продуктов А и В:

- расход продута А на производство  красок I и Е;

6 –  запас продукта А.

- расход продута В на производство  красок I и Е;

8 –  запас продукта В.

     По  условию сказано, что суточный спрос  на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Отсюда вытекает ограничение:

   Установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Следовательно,

• Прямые ограничения:

     

     

     

     

       

2. Построим  область решений  системы ограничений

- решением  уравнения является прямая. Найдем  точки, через которые проходит  искомая прямая:

- решением неравенства является  полуплоскость. Подставим в неравенство  координаты точки О (0; 0)

(верно), значит искомая полуплоскость  содержит точку О.

- решением уравнения является  прямая. Найдем точки, через которые проходит искомая прямая:

- решением неравенства является  полуплоскость. Подставим в неравенство  координаты точки О (0; 0)

(верно), значит искомая полуплоскость  содержит точку О.

- решением уравнения является  прямая. Найдем точки, через которые  проходит прямая:

- решением неравенства является  полуплоскость. Подставим координаты  точки О (0; 0)

(верно), следовательно искомая  полуплоскость содержит данную  точку О.

-  решением  является прямая, параллельная оси Х₁

- решением является полуплоскость, содержащая точку О (0; 0)

- решение – прямая, совпадающая  с осью оХ₂

- решение – правая полуплоскость.

- решение – прямая, совпадающая  с осью оХ₁

 - решение – верхняя полуплоскость.

     Решением  системы неравенств является выпуклый многоугольник ОАВСDЕ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Найдем  оптимальное решение.

     Оптимальное решение может быть только в угловых  точках многоугольника т. О, т. A, т. B, т. C, т. D или т.Е.

     Построим  хотя бы одну из линий уровня. Линия уровня – это линия на которой принимает постоянное значение.

     

      .   

Пусть а = 0, тогда - линия уровня

 

     Построим  вектор – градиент . Т.к. вектор перпендикулярен линии уровня, то координаты его будут (3; 2). Начало вектора в точке О (0; 0).

     Поскольку задача стоит на максимизацию выручки, перемещаем линию уровня по направлению вектора . Максимума достигает в угловой точке D.

Найдем  координаты точки D. Она лежит на пересечении прямых -   и .

          

 

Ответ: максимальный суточный доход от производства красок I и Е составит 12666.67 ден. ед. при ежедневном производстве краски I количестве 1.333 т, а краски Е е в количестве 3,333 т.

     При решении задачи на минимум необходимо линию уровня двигать в направлении  противоположном вектору .  В таком случае min f(x) достигнет в точке О (0; 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задача 2

     Использовать  аппарат теории двойственности для экономико-математического  анализа оптимального плана задачи линейного  программирования. 

2.5. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

 

  Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;
• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

 
 
 

РЕШЕНИЕ:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Введем  переменные:

Х₁ – количество единиц изделий I вида;

Х₂ – количество единиц изделий II вида;

Х₃ – количество единиц изделий III вида;

Составим целевую функцию:

- общая стоимость всех изделий;

Составим  ограничения:

     

     

     

     

- расход ресурса труд на производство изделий всех видов;

200 –  запас ресурса труд.

-  расход сырья на производство  изделий всех видов;

80 –  запас сырья.

 расход рабочего времени  оборудования на производство  изделий всех видов;

140 –  запас рабочего времени оборудования.