Контрольная работа по "Эконометрике"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ  ФИНАНСОВО-

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кировский филиал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По эконометрике

Вариант № 9

 

 

                           Преподаватель:

                           Работу выполнила:

                                                 Студентка 3 курса

                                             

                                                 Факультет М и М

                Специальность ЭТ

                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КИРОВ, 2009

 

Содержание

 

 

 

Задача № 1…………………………………………………………………….3

Задача № 2…………………………………………………………………….16

                 2а………………………………………………………...…………16

                 2б…………………………………………………………………...18

                 2в……………………………………………………………………21

Список литературы…………………………………………………………..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 1.

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (у, млн. руб.) от объема капиталовложений (х, млн. руб.)

 

	12	4	18	27	26	29	1	13	26	5
	21	10	26	33	34	37	9	21	32	14

 

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;
• показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

 

 

Решение:

1. Найдём параметры уравнения линейной регрессии.

       

               Линейное уравнение имеет вид: у = а + bx + ,

где возмущение, случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического.

 

               Найдём параметры а и b с помощью метода наименьших квадратов:

 

  

  

 

n=10 исходя из условия.

Составим расчётную  таблицу 1.1.:

                                                                                                   

                                                                                 Таблица 1.1. Вычисление параметров

 

Подставляем полученные данные в нашу систему:

             237 = 10а + 161b  a=8,12

                 4792 = 161а + 3601b b=0,97

 

- формула для расчёта теоретического значения у.

 

Экономическая интерпретация коэффициента регрессии:

Данная формула показывает, что при увеличении капиталовложений на 1 млн.руб. объём выпуска продукции  увеличится на 970 тыс.руб.

 

2. Вычислим остатки; найдём остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков ; построим график остатков.

После построения уравнения  регрессии мы можем разбить значение у в каждом наблюдении на две составляющих - и ;

                                .                                       

Остаток представляет собой отклонение фактического значения зависимой переменной от значения данной переменной, полученное расчетным путем: ( ).

Для вычисления остатков, остаточной суммы квадратов составим расчётную таблицу 1.2.

Для нахождения дисперсии на одну степень используем формулу:

 

                                                                                    Таблица 1.2. Вычисление остатков.

 

Остаточная сумма квадратов = 11,35 показывает, какое влияние на результат оказывают прочие факторы, следовательно, прочие факторы оказывают незначительное влияние на результат.

 

- дисперсия на одну степень свободы.

 

Построим график остатков (рис. 1.1).

                                                                                                               Рис. 1.1. График остатков

 

3. Проверим выполнение предпосылок МНК.

 

• Первое условие. Математическое ожидание случайной составляющей в любом наблюдении должно быть равно нулю.

Наше уравнение регрессии  включает постоянный член, следовательно, первое условие выполняется автоматически.

• Второе условие. В модели возмущение есть величина случайная, а объясняющая переменная - величина не случайная.

Это условие так же выполнено.

• Третье условие. Отсутствие систематической связи между значениями случайной составляющей в любых двух наблюдениях.

Т.к. наша случайная составляющая в первом наблюдении, например, равна 1,27, а во втором -  -1,99, т.е. то, что она положительна в первом случае не обуславливает то, что она будет такой же в других наблюдениях. Значит, случайные составляющие не зависят друг от друга.

• Четвёртое условие. Дисперсия случайной составляющей должна быть постоянна для всех наблюдений. Это условие равноизменчивости возмущения.

Несмотря на то, что  случайные составляющие не зависимы друг от друга и меняются постоянно  в разном направлении, но они не порождают  большой ошибки.

 

Таким образом, все предпосылки МНК выполнены.

 

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t–статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

                                                                        

Среднеквадратические  отклонения коэффициентов известны как стандартные ошибки (отклонения): 

 

                   

                                                                        

где  - среднее значение независимой переменной х;

 стандартная ошибка;

 

Затем расчетные значения сравниваются с табличными t_табл. Табличное значение критерия определяется при (n-2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости a (0,1; 0,05)

Если расчетное значение t-критерия с (n - 2) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).

Значение t-критерия с (10–2=8) степенями свободы и уровнем значимости a (0,05) = 2,31. Расчетные значения для a и b равны 11,4128 и 25,809 соответственно.

Следовательно tрасч. > tтабл. Отсюда следует вывод, что a и b не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

 

5.  -Вычислим коэффициент детерминации,

     -проверим значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера ,

     -найдём среднюю относительную ошибку аппроксимации.

Сделаем вывод о качестве модели.

 

Определим линейный коэффициент  парной корреляции по следующей формуле:

 

       ;

 

Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений х и объемом выпуска продукции у прямая, очень сильная.

Рассчитаем коэффициент  детерминации:

R² = r²_yx = 0,988

Вариация результата у (объема выпуска продукции) на 98,8 % объясняется вариацией фактора х (объемом капиталовложений), т.е качество модели высокое.

Оценку значимости уравнения  регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

                  

F>F_ТАБЛ = 5,32 для a = 0,05 ; к1=m=1, k2=n-m-1=8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 статистически значимое, т. к. F>F_ТАБЛ .

Определим  среднюю  относительную ошибку аппроксимации:

Среднюю ошибку найдём с  помощью таблицы 1.3.

                                                                                           Таблица 1.3. Ошибки аппроксимации.

В среднем расчетные  значения ŷ для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,97% - модель достаточно точно аппроксимирует исходные данные.

ВЫВОД:

Линейная модель статистически значима, высокого качества.

 

6.   Осуществим прогнозирование среднего значения показателя у при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора х составит 80% от его максимального значения.

 

Прогнозное значение фактора х = 80% * 29 млн.руб. = 23,2 млн.руб.

 

В пункте 1. была построена модель зависимости выпуска продукции от размера капиталовложений:

.

Для того, чтобы определить выпуск продукции при объёме капиталовложений 23,2 млн.руб.  необходимо подставить значение х_прогн в полученную модель.

                       y_{прогноз} = 8,12+0,97*23,2= 3.827=30,63.

 

Данный прогноз называется точечным. Вероятность реализации точечного прогноза теоретически равна нулю. Поэтому рассчитывается средняя ошибка прогноза или доверительный интервал прогноза с достаточно большой надежностью.

доверительные интервалы, зависят от стандартной ошибки , удаления от своего среднего значения , количества наблюдений n и уровня значимости прогноза α. В частности, для прогноза будущие значения с вероятностью (1 - α) попадут в интервал  

 

.    

Для вычисления используем данные, полученные в п. 2.и в таблицах 1.1 и 1.2.

Коэффициент Стьюдента  для   m=8 степеней свободы (m=n-2) и уровня значимости 0.1 равен 3,3554. Тогда

Таким образом, прогнозное значение =30,63 будет находиться между верхней границей, равной 30,63+4,28=34,91 и нижней границей, равной 30,63-4,28=26,35.

 

7. Представим графически: фактические и модельные значения точки прогноза (рис. 1.2.).

 

                                   Рис. 1.2. График фактических, модельных  и прогнозных значений у.

8. Составим уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;
• степенной;
• показательной.

Приведём графики построенных уравнений регрессии.

 

• Построение гиперболической функции 

Уравнение гиперболической  функции : ŷ = a + b / x  .

Произведем линеаризацию модели путем замены Z = 1 / х. В результате получим   линейное уравнение

ŷ = a + b Z.

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 1.4.

                                                           Таблица 1.4. Нахождение параметров гиперболы

 

 

Получим следующее уравнение  гиперболической модели:

ŷ=28 – 23,72 / х .

Изобразим на графике  построенную модель (Рис. 1.3.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                              Рис.1.3. Гиперболическая модель.

 

• Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной  модели имеет вид: