Контрольная работа по "Эконометрика"

 

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Новосибирский государственный  университет экономики и управления «НИНХ»

 

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра высшей математики

 

Учебная  дисциплина: ____Эконометрика___________________________

Номер варианта контрольной работы: __________19_____________________

Номер группы: _______ФКП02А______________________________________

Наименование специальности: _____Финансы и кредит___________________

Ф.И.О. студента и  номер  его зачетной книжки:  Гуляева Ирина Анатольевна № 110326

Дата регистрации представительством: “____” _____________________2012_ г.

Дата регистрации институтом: “_____” __________________________ 2012__ г.

Дата регистрации кафедрой: “_____” _____________________________ 2012__ г.

 

 

 

Проверил: _________________________________________________________

                                              (фамилия, имя, отчество преподавателя) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

ЗАДАЧА 1

В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.

Для анализа зависимости  цены автомобиля Y от его возраста X₁ и мощности двигателя X₂ из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1..1

Таблица 1.1

Номер автомобиля  i	Цена  (тыс.у.е.)  yi	Возраст  (лет)  xi1	Мощность  двигателя  (л.с.)  xi2
1	11,3	4,0	115
2	9,5	3,0	83
3	6,9	5,0	73
4	4,8	7,0	98
5	6,6	7,0	106
6	7,3	7,0	128
7	15,2	3,0	159
8	11,3	5,0	149
9	11,4	3,0	103
10	13,5	3,0	127
11	12,8	4,0	146
12	12,0	3,0	109
13	12,0	3,0	99
14	12,8	3,0	116
15	6,3	7,0	122
16	5,0	7,0	98

1. Парные зависимости

1.1. Построить поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X₁, а также для цены Y и мощности двигателя X₂. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от X₁ и Y от X₂ и записать их математически.

1.2. Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии: , .

1.3. С помощью коэффициентов парной  корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9.

1.4. Проверить статистическую значимость  параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9.

1.5. Построить доверительные полосы надежности 0,95 для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.

1.6. На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

2. Множественная зависимость

2.1. По методу наименьших  квадратов найти оценки коэффициентов  множественной линейной регрессионной модели

.

2.2. Проверить статистическую значимость  параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9.

2.3. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.

 

3. Экономическая  интерпретация

На основе полученных в пунктах 1 и 2 статистических характеристик  провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.

 

Решение:

1. Парные зависимости

1.1 На основе анализа поля рассеивания (рисунок 1.1), построенного на основе таблицы 1.1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены y от возраста автомобиля x₁ описывается линейной моделью вида:

,

где - неизвестные постоянные коэффициенты.

 

Рисунок 1.1 – Поле рассеяния  «возраст-цена автомобиля»

 

Аналогично, на основе анализа поля рассеяния (рисунок 1.2), также построенного на основе таблицы 1.1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены y от мощности автомобиля x₂ описывается линейной моделью вида:

,

где точно так же - неизвестные постоянные коэффициенты.

Рисунок 1.2 – Поле рассеяния «мощность-цена автомобиля»

 

1.2 На основе таблицы 1.1 исходных данных для вычисления оценок параметров моделей составляется вспомогательная таблица 1.2. Найдем оценки и .

Так как  , получаем:    

 

Таблица 1.2 – Промежуточные расчеты для оценок параметров

 

1	11,3	127,69	4,0	16,0	45,2	1	11,3	115	13225	1299,5
2	9,5	90,25	3,0	9,0	28,5	2	9,5	83	6889	788,5
3	6,9	47,61	5,0	25,0	34,5	3	6,9	73	5329	503,7
4	4,8	23,04	7,0	49,0	33,6	4	4,8	98	9604	470,4
5	6,6	43,56	7,0	49,0	46,2	5	6,6	106	11236	699,6
6	7,3	53,29	7,0	49,0	51,1	6	7,3	128	16384	934,4
7	15,2	231,04	3,0	9,0	45,6	7	15,2	159	25281	2416,8
8	11,3	127,69	5,0	25,0	56,5	8	11,3	149	22201	1683,7
9	11,4	129,96	3,0	9,0	34,2	9	11,4	103	10609	1174,2
10	13,5	182,25	3,0	9,0	40,5	10	13,5	127	16129	1714,5
11	12,8	163,84	4,0	16,0	51,2	11	12,8	146	21316	1868,8
12	12,0	144,00	3,0	9,0	36,0	12	12,0	109	11881	1308
13	12,0	144,00	3,0	9,0	36,0	13	12,0	99	9801	1188
14	12,8	163,84	3,0	9,0	38,4	14	12,8	116	13456	1484,8
15	6,3	39,69	7,0	49,0	44,1	15	6,3	122	14884	768,6
16	5,0	25,00	7,0	49,0	35,0	16	5,0	98	9604	490
Сумма	158,7	1736,75	74,0	390	656,6		158,7	1831	217829	18793,5

 

 

Следовательно,

Таким образом,

                                                          (1.1)

Аналогично находятся оценки коэффициентов  второй парной регрессионной модели . При этом используется правая часть таблицы 1.1: . Окончательно получаем:

                                                          (1.2)

1.3 Подставляя соответствующие  значения из таблицы 1.1 (предварительно, дополнив ее столбцом  для расчета ), получим:

В нашей задаче 1,761. Для получаем:

Условие выполняется, следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, и существует сильная линейная отрицательная связь между и .

Для получаем:

Условие также выполняется, следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, и существует сильная линейная положительная связь между и .

Коэффициент парной корреляции связан с коэффициентом уравнения регрессии следующим образом:

Для нашей задачи получаем результаты, совпадающие с полученными выше:

1.4 Для нашей задачи получаем:

для зависимости  от :

,

то есть вариация цены на 77% объясняется  вариацией возраста автомобиля;

для зависимости  от :

,

то есть вариация цены лишь на 30% объясняется вариацией мощности двигателя.

Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера:

 для зависимости  от

 для зависимости  от

В нашем случае при уровне значимости табличное значение Поэтому для зависимости от выполняется неравенство, гипотеза отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии. Для зависимости от выполняется неравенство , гипотеза отклоняется, и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

1.5 Рассмотрим первое уравнение  парной регрессии  . Для удобства построения в Microsoft Excel графика доверительных интервалов, рассчитаем при значениях , соответствующих выборочным значениям .

Дополним левую часть таблицы 1.2 новыми колонками представленными  в таблице 1.3.

 

Таблица 1.3

							Корень
1	11,3	4,0	10,9	0,4	0,2	0,4	0,266	0,764	10,14	11,66	1,4	2,0
2	9,5	3,0	12,5	-3	9	2,66	0,344	0,987	11,51	13,49	-0,4	0,2
3	6,9	5,0	9,3	-2,4	5,8	0,14	0,256	0,735	8,57	10,04	-3	9,0
4	4,8	7,0	6,1	-1,3	1,7	5,62	0,424	1,217	4,88	7,32	-5,1	26,0
5	6,6	7,0	6,1	0,5	0,3	5,62	0,424	1,217	4,88	7,32	-3,3	10,9
6	7,3	7,0	6,1	1,2	1,4	5,62	0,424	1,217	4,88	7,32	-2,6	6,8
7	15,2	3,0	12,5	2,7	7,3	2,66	0,344	0,987	11,51	13,49	5,3	28,1
8	11,3	5,0	9,3	2	4	0,14	0,256	0,735	8,57	10,01	1,4	2,0
9	11,4	3,0	12,5	-1,1	1,2	2,66	0,344	0,987	11,51	13,49	1,5	2,3
10	13,5	3,0	12,5	1	1	2,66	0,344	0,987	11,51	13,49	3,6	13,0
11	12,8	4,0	10,9	1,9	3,6	0,4	0,266	0,764	10,14	11,66	2,9	8,4
12	12,0	3,0	12,5	-0,5	0,3	2,66	0,344	0,987	11,51	13,49	2,1	4,4
13	12,0	3,0	12,5	-0,5	0,3	2,66	0,344	0,987	11,51	13,49	2,1	4,4
14	12,8	3,0	12,5	0,3	0,1	2,66	0,344	0,987	11,51	13,49	2,9	8,4
15	6,3	7,0	6,1	0,2	0	5,62	0,424	1,217	4,88	7,32	-3,6	13,0
16	5,0	7,0	6,1	-1,1	1,2	5,62	0,424	1,217	4,88	7,32	-4,9	24,0
Сумма	158,7	74,0	158,4		37,4	47,8						162,9
Среднее	9,9	4,63			2