Современная теория портфеля

Поскольку, предлагается переформировать портфель периодически, данная задача является динамической. Она описывается следующим  образом.

Процесс разбивается  на I шагов (портфель переформировывается I раз). (Рис.3.1).

 

                  S0       S1    S2              …                                       SI-1           SI

 

 

     -T     Р-Т         0      Р     2*P          …        (I-1)*P-T      (I-1)*P    I*P

 

                                  Рис. 3.1 Динамический процесс переформирования портфеля ценных бумаг.

T – период времени, предшествующий формированию портфеля на основе статистической информации стоимостей ценных бумаг;

P– период времени (период владения), в течении которого инвестор держит купленные бумаги;

K–сокращенное количество ценных бумаг;

Si– денежные средства инвестора в i-й момент (i=0,I).

Требуется найти такие K,P,T, что:

                                              Si→max/

2. На i-m шаге (i=1,I) решается оптимизационная задача формирования портфеля ценных бумаг по критерию Марковица, которая формулируется следующим образом:

Найти такой  вектор:

Х (x1i, x2i, …, xki),

где xi-доля j-й акции в портфеле, сформированном на i-шаге, таким образом, что ,  xji≥0, (операции вида «короткие продажи» не разрешены), и при этом:

                                                    Epi –α*σpi→max,

где Epi – статистическая оценка ожидаемой доходности портфеля, сформированного на i шаге.

σpi – оценка стандартного отклонения портфеля, сформированного на i-м шаге.

α – коэффициент несклонности к риску.

 

1. Кластеризация и критерии отбора акций при формировании портфеля

Исследуемое множество акций предлагается разбить  на заданное число кластеров таким  образом, чтобы акции из различных  кластеров в некотором смысле максимально отличались друг от друга.

В качестве критериев кластеризации используются основные характеристики случайной  величины: начальный момент первого  порядка и нормализованные центральные  моменты второго, третьего и четвертого порядка или выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочная асимметрия и выборочный эксцесс.

Отметим, что асимметрия и эксцесс являются безразмерными величинами. Поэтому  в качестве третьего критерия кластеризации  будем использовать отношение квадрата математического ожидания к дисперсии, поскольку полученная величина также  является безразмерной.

Учитывая, что  разбиение множества акций происходит на заранее определенное число кластеров, в качестве алгоритма кластеризации  уместнее всего использовать метод  k-средних.

Далее предполагается формировать портфель из множества  акций, выбранных по одной из каждого  кластера. Используются три критерии отбора.

1. По максиму выборочной средней;
2. По минимуму выборочной дисперсии;
3. По максимуму коэффициента Шарпа.

  Коэффициент  Шарпа используется для определения  того, насколько хорошо доходность  актива компенсирует принимаемый  инвестором риск. Коэффициент Шарпа   отражает превышение доходности  актива над доходностью безрискового актива с учетом общего риска актива, в качестве меры которого выступает стандартное отклонение. В качестве безрисковой ставки при расчетах использовалась ставка LIBOR. Чем выше коэффициент Шарпа, тем выше доходность по сравнению с безрисковой ставкой при том же риске.

Коэффициент Шарпа рассчитывается следующим  образом:

                                                 Shj=(сj-Rf)/σj, 

где

cj-средняя доходность акции,

σj-выборочное стандартное отклонение акции,

Rf-доходность безрисковой процентной ставки (ставка LIBOR).

 

 

 

 

 

2. Расчет оптимизационной модели диверсификации портфеля акций

 

В связи  со спецификой российского рынка  акций большой теоретический  и практический интерес представляет вопрос: какое количество бумаг необходимо включать в оптимальный портфель.

Анализ  показывает, что в отечественной  литературе эта проблема не затрагивается  и не исследуется. Более того, широкое  распространение получила практика безоглядно ссылаться на результаты экспериментов 60-х годов, проведенных  американскими учеными, согласно которым  сформированный случайным образом  портфель из 10-20 бумаг позволяет  почти полностью устранить несистематический  риск.

Предлагаемый  подход к решению данной проблемы заключается в разработке аналитической  модели, позволяющей приблизительно установить взаимосвязь между степенью корреляции активов и количеством  бумаг, обеспечивающим получение требуемого (в идеале – максимального) эффекта  от диверсификации.

В целях  упрощения предположим, что все  активы имеют одинаковые значения ожидаемой  премии за риск μi, дисперсии σ²i и взимаемые корреляции p, причем 0˂p˂1. Тогда оптимальный портфель будет состоять из равных долей каждого актива.

Оптимальное значение коэффициента θ для такого портфеля, состоящего из N активов, равно:

 

                                             θN=μ/(∑1/N²*σ²+2                                         (1)

 

упростив, получим:

 

                                                θN=μ/(1/N²σ²+pσ²(1-1/N)),                                                  (2)

 

Из формулы (2) следует, что значение θN растет с увеличением N.Тогда:

 

Поскольку измеряет максимально возможный эффект, получаемый в результате диверсификации портфеля, выражение θN-θ1 измеряет фактический выигрыш от этой процедуры, как функция от числа бумаг в портфеле. Разделив первую величину на вторую, получим меру относительного эффекта GN:

 

                     GN= = /(1- [1/                           (3)

Формула (3) позволяет приблизительно определить число бумаг, обеспечивающих требуемую или заданную относительную  величину эффекта от диверсификации.

Установив GN равным Ψ и решив (3) для N имеем:

 

                                    N=                                             (4)

 

 

Результаты компьютерного моделирования  расчетов числа бумаг N в зависимости от заданных величин Ψ и * приведены в таблице 3.1.

Зависимость числа бумаг в портфеле Т

* Ψ	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
0,1	1,56	1,35	1,27	1,22	1,18	1,16	1,14	1,13
0,2	2,32	1,81	1,60	1,49	1,42	1,37	1,33	1,30
0,3	3,36	2,41	2,04	1,85	1,72	1,63	1,56	1,51
0,4	4,80	3,23	2,64	2,32	2,12	1,98	1,87	1,79
0,5	6,88	4,40	3,48	2,99	2,68	2,47	2,31	2,18
0,6	10,06	6,17	4,76	4,01	3,53	3,20	2,96	2,77
0,7	15,44	9,15	6,89	5,70	4,95	4,44	4,05	3,76
0,8	26,32	15,15	11,18	9,09	7,79	6,90	6,24	5,73
* Ψ	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
0,9	59,14	33,21	24,06	19,29	16,32	14,29	12,80	11,65

 

 

Интересно, что при *=0,5 (т.е. наиболее часто подразумеваемому при проведении теоретических исследований и приводимому в литературе значению коэффициента корреляции) число требуемых бумаг, обеспечивающих достижение 50-90% эффекта, полученного в результате диверсификации портфеля, варьируется от 3 (2,68) до 17 (16,32).

В общем случае из полученных результатов  следует, что чем меньше коэффициент  корреляции между доходностью активов, тем большее значение коэффициента θ можно получить путем увеличения степени диверсификации портфеля.

В российских условиях при выполнении сделанных допущений, диверсифицированный  портфель должен приблизительно включать от 3 до 12-15 бумаг. При этом полученный эффект от диверсификации будет как  минимум в 2 раза ниже, чем на развитых рынках.

Интересно, что в нынешней ситуации интерпретация значений границ, на наш взгляд, может иметь практическое обоснование. Подавляющая часть  наиболее ликвидных и надежных российских акций относится к трем отраслям – нефтегазовой, электроэнергетике  и к телекоммуникациям. Таким  образом, диверсифицированный портфель может включать минимум по одной  акции предприятий из ведущих  отраслей. С другой стороны, общее  число наиболее ликвидных акций (т.н. «голубых фишек») невилико и составляет 10-12.

Проведенный анализ выполнен из предположения 0<ρ<1. Как уже было показано раньше, при идеальной корреляции доходностей  активов в портфеле применение диверсификации не дает никакого эффекта. Соотношение (3-4) корректно описывают такую  ситуацию: при ρ=1 они не имеют  смысла.

Для бумаг, доходности которых отрицательно коррелированны, знаменатель в (1) будет ничтожно мал, поэтому значение Q будет достаточно большим. Таким образом, в этом случае инвестор получает наибольший эффект от применения диверсификации для любого числа N бумаг в портфеле, что полностью согласуется с теорией.

Очевидно, что на практике, приемлемая степень диверсификации портфеля и  соответственно количество обеспечивающих ее активов будут различаться  в зависимости от объективных  и субъективных характеристик инвесторов. Кроме того, проведение диверсификации всегда связано с материальными  затратами.

В дополнение к уже сделанным  выше допущениям о равенстве для  всех активов ожидаемых доходностей, дисперсий и корреляцией предположим, что инвестор имеет начальный  капитал С0, а его нерасположенность к риску характеризуется положительной константой γ (т.е. не зависит от величины С0).

Пусть инвестор стремится максимизировать  функцию полезности:

                                        U=Rx – γVx,                                                 (5)

Где Rx – ожидаемая доходность портфеля X; Vx – дисперсия.

Поскольку мы полагаем, что Ri=Rj=R, а дисперсия σj² и взимаемые корреляции *(0˂*˂1) также равны, оптимальный портфель будет состоять из равных  долей каждого актива. Дисперсия такого портфеля равна:

                                  Vx=(σ²(1-*)/N)+σ²*.                                            (6)

Пусть стоимость включения любого рискового актива в портфель равна  с. Тогда, ожидаемая доходность портфеля равна:

                                        Rx=R – cN/С0.                                                   (7)                                                            

Подставив       в имеем:

                              U=R – cN/С0 - [σ²(1-*)/N+σ²*].                            (8)

Необходимое условие существования  максимума имеет следующий вид:

                             dU/dN= - c/С0+(*σ²(1-*))/N²=0.                            (9)    

Откуда оптимальное число бумаг  в портфеле равно:

 

                                   N*= .                                                     (10)

Из полученного соотношения  следует ряд интересных выводов. Эластичность N* по отношению к объему инвестиций С0 равна ½. С ростом затрат с величина N* уменьшается, так как процедура диверсификации становится все более дорогой.  Из (10) также следует, что оптимальное число бумаг в портфеле увеличивается с ростом величины σ²(1-*), представляющей собой меру диверсифицируемого (несистематического) риска, т.е. разность между риском портфеля из 1 бумаги и «бесконечно» диверсифицированным портфелем.

 

 

                                        Заключение               

 

Основная  цель формирования инвестиционного  портфеля может быть сформулирована как обеспечение реализации разработанной  инвестиционной политики путем подбора  наиболее эффективных и надежных инвестиционных вложений. В процессе формирования портфеля комбинированием  инвестиционных активов достигается  новое инвестиционное качество: обеспечивается требуемый уровень дохода при  заданном уровне риска. В зависимости  от направленности избранной инвестиционной политики особенностей осуществления  инвестиционной деятельности определяется система специфических целей. При  формировании любого инвестиционного портфеля инвестор ставит определенные цели: