Теория вероятности и математическая статистика

Теория вероятности  и математическая статистика

 

Задание №1. Классическая форма вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

 

Задача 1. Брошены два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков меньше 9?

Решение:

Пусть ω_i – событие, состоящее в том, что на кости выпало i очков. Пространство элементарных исходов для данного опыта будет иметь вид:

W = {ωi, ωj}, i = 1, ... , 6; j = 1, ... , 6.

Тогда:

n = 36, A = {(ω5,ω1), (ω5,ω2), (ω5,ω3), (ω5,ω4), (ω1,ω5), (ω2,ω5), (ω3,ω5), (ω4,ω5)}, k = 8; P(A) = 8/36 = 2/9.

 

Задание №2. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

 

 

Задача 2. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный, а во втором – 1 белый и 4 черных. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Кеакова вероятность того, что выбранный шар окажется белым?

Решение:

Выбрана первый ящик - это первая гипотеза Н1, событие - выбран второй ящик - вторая гипотеза Н2. Н1 и Н2 - несовместные события, которые образуют полную группу. Найдем их вероятности: Р(Н1)=1/3, Р(Н2)=1/5. Если выбран первый ящик, то вероятность вынуть белый шар (событие А) равна 2/3, причем эта вероятность условная. Вероятность того, что шар вынут из первого ящика и он белый, вычислим по теореме умножения вероятностей для зависимых событий:

Р(Н₁)Р_Н1(А) = 1/3 * 2/3 = 2/9

Если выбран второй ящик, то вероятность события А равна 1/5. С помощью аналогичных рассуждений вычислим вероятность того, что шар вынут из второго ящика и он белый:

Р(Н₂)Р_Н2(А) = 1/5 * 1/5 = 1/25

Тогда вероятность того, что наудачу вынутый шар - белый, вычислим по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(Н₁)Р_Н1(А) + Р(Н₂)Р_Н2(А) = 1/3 * 2/3 + 1/5 * 1/5 = 2/9 + 1/25 = 0,26

Предположим , что проведен опыт и событие А наступило. Установим, как изменятся после этого  вероятности гипотез, то есть найдем условную вероятность РА(Нi) для каждой гипотезы по формуле Бейеса:

РА(Нi) = Р(Н_i)Р_Нi(А) / Р(А)

РА(Н1) = Р(Н₁)Р_Н1(А) / Р(А) = 2/9 : 0,26 = 0,85

РА(Н2) = Р(Н₂)Р_Н2(А) / Р(А) = 1/25 : 0,26 = 0,15

 

Задание №3. Случайные величины.

 

Задача 3. Сделано два высокорискованных вклада: 10 тыс. Руб. В компанию А и 15 тыс. Руб. – в компанию В. Компания А обещает 50% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,4. Компания в обещает 40% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,2. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, определить ожидаемую доходность и уровень риска.

 

Решение:

Обозначим за Х – общую  сумму прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год и предположим следующие варианты событий:

Х = -25 – обе компании лопнули (-10+(-25) = -25)

Х = -10 – компания А  выплатила 50% годовых, а компания В  лопнула (10000*0,5 + (-15) = 5 – 15 = -10)

Х = -4 – компания А лопнула, а компания В выплатила 40% годовых    (-10 + 15000*0,4 = -10 + 6 = -4)

Х = 11 -  компания А выплатила 50% годовых, а компания В выплатила 40% годовых (10000*0,5 + 15000*0,4 = 5+6 = 11)

Тогда:

Р(Х=-25) = 0,08

Р(Х=-10) = 0,12

Р(Х=-4) = 0,32

Р(Х=11) = 0,48

Хi	-25	-10	-4	11
Рi	0,08	0,12	0,32	0,48

 

Ожидаемая доходность от двух компаний:

∑Р_i = 1

М(Х) = ∑Х_iP_i = -25*0,08 + (-10)*0,12 + (-4)*0,32 + 11*0,48 =

= -2 - 1,2 - 1,28 + 5,28 = 0,8 тыс. руб.

Уровень риска от вложения в обе  компании составляет 0,6 или 60%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

 

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей  и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 2007.

2. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей  и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 2001.

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: ЮНИТИ, 2000.