Использование переменного тока в производстве консервов

U(t)=U_св(t)+U_в(t)    (40),

где функция U_св(t) является общим решением (26) однородного уравнения (23). Эта функция описывает так называемые свободные колебания. Функция U_в(t)    есть частное решение уравнения (39). Она описывает вынужденные колебания, обусловленные действием подключенного к контуру генератора. Свободные колебания затухают с течением времени. Вынужденные колебания совершаются до тех пор, пока не перестанет действовать генератор. После того, как прекратятся свободные затухающие колебания (т.е. обратится в ноль первое слагаемое в формуле (40), описывающие эти колебания), в контуре будут происходить только вынужденные колебания, которые в таком случае называют установившимися.

Функция, описывающая вынужденные  колебания напряжения на конденсаторе выглядит следующим образом:

  (41),

где амплитуда вынужденных  колебаний напряжения на конденсаторе

   (42).

Как видно из формулы (42), амплитуда вынужденных колебаний напряжений на конденсаторе зависит от частоты генератора электродвижущей силы. При генератор вырабатывает постоянное напряжение . В этом случае ток в контуре отсутствует и напряжение на конденсаторе равно напряжению на клеммах генератора . При увеличении частоты генератора амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе увеличивается, достигая наибольшего значения, когда частота генератора принимает значение , называемое резонансной частотой; а затем при дальнейшем увеличении уменьшается до нуля. График зависимости U_m=U_m(), определяемой формулой (42), представлен на рисунке 6. Такого вида кривые называются резонансными, а само явления увеличения амплитуды вынужденных колебаний, когда их частота приближается к резонансному значению, - резонансом.

Резонансную частоту можно найти из условия максимума функции U_m=U_m()     

Подставив это условие  в производную функции (42), получим  уравнение

, из которого  найдем, что

(43).

Этому значению частоты соответствует  наибольшее (резонансное) значение амплитуды  напряжения

(44)

Анализируя формулу (43), приходим к выводу, что функция U_m=U_m()      имеет максимум при условии, что , т.е. когда коэффициент затухания принимает достаточно низкие значения. Если свободные колебания в контуре затухают очень быстро, то резонанс невозможен. Чем меньше коэффициент затухания , тем ближе значение резонансной частоты к собственной частоте контура и тем больше резонансное значение U_mp амплитуды напряжения, как это видно из формулы (44).

Подставив функцию (41) в формулу (8), найдем зависимость силы тока от времени

 (45),

которая описывает установившиеся вынужденные колебания силы тока в контуре. Амплитуда этих колебаний, как следует из формул (42) и (45), будет

(46)

Нетрудно видеть, что это  выражение при любых значениях  частоты  не отрицательно. При и амплитуда силы тока обращается в ноль. Найдем наибольшее значение амплитуды силы тока из условия .

Подставив функцию (46) в это  условие, после ее дифференцирования  и элементарных преобразований полученного  уравнения найдем, что амплитуда I_m силы тока достигает наибольшего значения при , т.е. резонансная частота для силы тока равна собственной частоте контура. График функции I_m= I_m() представлен на рисунке 7.

Резонансное значение силы тока

(47)

Интересно отметить, что  это значение совпадает со значением  силы постоянного тока, который проеткает  по проводнику сопротивления R, когда к нему приложено постоянное напряжение .

Найдем значения частоты  , которым соответствует значение амплитуды силы тока в раз меньше резонансного значения:

   (48)

При помощи формул (46) и (47) это  уравнение можно записать так:

 

После возведения этого уравнения  в квадрат и простых преобразований придем к уравнению

 

Из этого уравнения  найдем, что ширина (рис. 7) резонансной кривой на уровне  I_m/

 

Так как для частот справедливо приближенное равенство , будем иметь

  (49)

При помощи соотношения (34) которое  справедливо при , этой формуле можно придать вид

(50)

Таким образом, приходим к  заключению, что относительная ширина резонансной кривой обратно пропорциональна добротности контура Q. Отсюда следует, что чем выше добротность контура, тем «острее» резонансная кривая.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4 Метод комплексных амплитуд.

В практической электротехнике приходится иметь дело с электрическими цепями, состоящими из проводников, конденсаторов  и катушек индуктивности, по которым  текут переменные токи, обусловленные  включенными в эти цепи генераторами переменных напрпяжений одной и  той же частоты. Для расчета таких  цепей, т.е. для определения переменных токов на различных участках цепи, применяют метод комплексных  амплитуд. В электротехнике мнимую единицу, т.е. , принято обозначать символом j. Квазистационарные токи в электрических цепях можно найти при помощи правил Кирхгофа (26) и (27):

,   (51)

Когда цепь состоит из проводников, конденсаторов и катушек индуктивности, уравнения (51) будут представлять собой  линейные дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями  являются токи, заряды на конденсаторах  и напряжения. Примером дифференциального  уравнения, которое может быть получено из правил Кирхгофа, является уравнение (39). Общее решение системы линейных уравнений (51) равно сумме двух функций. Первая функция является общим решением однородных уравнений. Эта функция  описывает собственные колебания, которые в реальных случаях, всегда затухают с течением времени. Вторая функция является частным решением неоднородных уравнений (51), которые  содержат в своих правых частях ЭДС  генераторов, включенных в рассматриваемую  электрическую цепь. Именно это частное  решение уравнений Кирхгофа представляет практический интерес в электротехнике, так как на практике важно знать переменные токи, которые протекают в электрических цепях, подключенных к продолжительное время работающих генераторам переменного напряжения.

Для решения этой задачи в электротехнике реальные зависимости  токов и напряжений от времени  заменяют комплексными величинами. Пусть, например, на некотором участке цепи протекает переменный ток, т.е. ток, сила которого изменяется со временем по закону

 (52)

где – амплитуда тока; – частота; – начальная фаза колебаний тока.

Рассмотрим комплексную  функцию

(53)

Очевидно, что функция  является реальной частью функции :

   (54)

Пусть на рассматриваемом  участке цепи есть переменное напряжение

  (55)

где – амплитуда напряжения, – начальная фаза колебаний напряжения.

Комплексная функция   (56) связана с напряжением (55) соотношением       (57)

Аналогично вырабатываемую генератором переменную ЭДС

 (58)

где – амплитуда ЭДС; – начальная фаза,

можно представить как  реальную часть комплексной функции

  (59), т.е.   (60)

Функции , и содержат в себе множитель . Значения , и этих функций называют комплексными амплитудами.

Ввиду линейности уравнений (51) для комплексных функций , и справедливы такие же уравнения , ,     (61)

Нетрудно видеть, что применение к этим уравнениям операции Re преобразует их в уравнения (51). Преимущество уравнений (61) заключается в простоте их решения.

Пусть участок цепи представляет собой проводник с сопротивлением R. Сила тока и напряжение на этом участке подчиняются закону Ома:

  (62), т.е.

  .

Из этого равенства  следует, что амплитуды напряжения и тока связаны соотношением  , а начальные фазы этих функций равны: .

В таком случае говорят, что  колебания напряжения и силы тока совпадают по фазе. Соотношению (62) соответствует  соотношение  (63) , связывающее комплексные амплитуды.

Пусть есть сила тока, протекающего по катушке индуктивности L, а - напряжение на концах этой катушки. Сопротивление катушки будем считать арвным нулю. Напряжение на катушке равно с обратным знаком ЭДС индукции , которая возникает при изменении силы тока в ней:      .

По закону Фарадея   . Этому равенству можно придать вид

  или

  (64).

Из этого равенства  следует, что амплитуды напряжения на катушке индуктивности и силы тока в ней связаны соотношением   , а начальные фазы этих функций таковы, что   .

С учетом формулы    (65), соотношению (64) при помощи формул (53) и (66) можно придать вид

  (66)

Смысл этого равенства  заключается в том, что операция Re преобразует его в равенство (64). Равенство (66) по виду напоминает Закон Ома и его принято записывать следующим образом:

  (67),

где чисто мнимая величина   (68)  называется комплексным сопротивлением катушки индуктивности, а величина – индуктивным сопротивлением.

Пусть есть сила тока, притекающего к обкладкам конденсатора, а – напряжение на них. Сила тока равна производной по времени от заряда Q на конденсаторе:  , а напряжение прямопропорционально заряду Q:  .

Исключив из этих равенств заряд, придем к равенству . Для переменных напряжения и тока это равенство можно записать так:

, или

(69).

Из этого равенства  следует, что амплитуды напряжения на конденсаторе и силы тока связаны  соотношением  , а начальные фазы этих функций таковы, что .

С учетом формул (53) и (56) соотношению (69) можно придать вид

 (70)

Смысл этого равенства  заключается в том, что операция Re преобразует его в равенство (69). Равенство (70) принято записывать так:

  (71),

где чисто мнимая величина   (72)  называется комплексным сопротивлением конденсатора, а величина     - емкостным сопротивлением.

Согласно формулам (63), (67) и (72) комплексные амплитуды напряжений и токов на проводнике, катушке  индуктивности и конденсаторе подчиняются  закону Ома, который теперь принимает  вид 

   (73),

где – комплексное сопротивление участка цепи, или его импеданс.

Рассмотрим участок цепи, состоящий из двух последовательно  соединенных элементов, комплексные  сопротивления которых равны  Z₁ и Z₂ (рисунок 8). В силу (73) , . Напряжение на этом участке цепи равно сумме напряжений на его элементах , и через эти элементы протекает один и тот же ток:  .

Полученные равенства  приводят к формуле (73), в которой Z=Z₁+Z₂   (74).

Рассмотрим участок цепи, состоящий из двух параллельно соединенных элементов, комплексные сопротивления которых равны Z₁ и Z₂ (рисунок 9). В силу (73) можно запсиать , .

Ток, втекающий на этот участок, разветвляется и равен сумме  токов в его элементах:  , а напряжение на каждом из этих элементов равно напряжению на всем участке:  . Полученные равенства приводят к формуле , где (75).

Формулы (74) и (75) дают возможность  находить комплексные сопротивления  участков цепи, состоящих из нескольких элементов.

В общем случае комплексное  сопротивление участка цепи имеет  вид

Z=R+jX (76),

где действительная часть R называется активным сопротивлением участка, а мнимая часть X – его реактивным сопротивлением. Комплексное число Z удобно представить в показательной форме

   (77),

где модуль этого числа  (78),

а его аргумент таков, что

  (79).

Предположим, что для некоторого участка цепи известно его комплексное  сопротивление. В таком случае из соотношения (73) можно установить, как  связаны амплитуды напряжения и  тока на этом участке и их начальные фазы. Для этого подставим в соотношение (73) выражения (53), (56) и (77). Получим

 

Из этого равенства  следует, что амплитуды напряжения и силы тока связаны соотношением    (80), и начальные фазы таковы, что

    (81)

В качестве примера рассчета цепи методом комплексных амплитуд найдем комплексное сопротивление  участка цепи в схеме, изображенной на рисунке 10. На этой схеме проводник  сопротивлением R и катушка индуктивности L соединены последовательно. Параллельно этому участку присоединен конденсатор емкости C, на который подается переменное напряжение. По формулам (74) и (75) найдем комплексное сопротивление цепи Z:

.

С учетом формул (68) и (72) будем иметь .

После несложных преобразований получим формулу

 

Умножим и разделим эту  дробь на комплексно сопряженное  знаменателю выражение   . Придем к формуле

 

Из полученных формул найдем модуль и аргумент комплексного сопротивления: