Анализ данных житлового фонду України у 1990-2009 роках

 

3. Якщо виконується умова:

 t_i > t (α/2, n–2) ,  i = 0, 1;

то даний коефіцієнт є значимим.

 

1. Коефіцієнт значущості α = 0,05:

 t_кр(0,025; 17) = 2,11

 

t₁  > t _кр(0,025; 17)

t₀  > t _кр(0,025; 17)

b₁ є значимим коефіцієнтом;

b₀ є значимим коефіцієнтом, на рівні значущості α = 0,05.

 

2. Коефіцієнт значущості α = 0,01:

 t_кр(0,005; 17) = 2,898

 

t₁ > t _кр(0,005; 17)

t₀ > t _кр(0,005; 17).

b₁ є значимим коефіцієнтом;

b₀ є значимим, на рівні значущості α = 0,01.

 

7. Побудова інтервалів довіри для β₀ та β₁:

 

Інтервали довіри для β₀ та β₁ обчислюються за формулами:

 b_i – t(α/2;n–2) ∙ σ _bi < β_i < b_i + t(α/2;n–2) ∙ σ _bi ,   i = 0,1.

 

1. Коефіцієнт значущості α = 0,05:

1051,21 – 2,11∙  < β₀ < 1051,21 + 2,11 ∙

 

1039,62 < β₀ < 1062,8

 

–0,65 – 2,11 ∙  < β₁ < –0,65 + 2,11 ∙

 

 –0,77< β₁ < –0,53

 

2. Коефіцієнт значущості α = 0,01:

1051,21 – 2,89∙  < β₀ < 1051,21 + 2,89 ∙

 

1035,34 < β₀ < 1067,08

 

–0,65 – 2,89 ∙  < β₁ < –0,65 + 2,89 ∙

 

 –0,82 < β₁ < –0,48

 

8. Побудова інтервалів довіри для прогнозованих значень:

 

Інтервали довіри для прогнозованих значень мають  вигляд:

 

 

 

 

 

Прогнозовані значення:

x_n+1 = ͞ + 0,2 = 67

x_n+2 = 8

y_n+1 = 1007,7

y_n+2 = 1046

 

1. Коефіцієнт значущості α = 0,05:

1007,7 – 2,11 ∙  < y_n+1 < 1007,7 + 2,11 ∙

971,54  < y_n+1 < 1043,8

 

1046 – 2,11 ∙  < y_n+2 < 1046 + 2,11 ∙

1009,15 < y_n+2 <  1082,87

 

2. Коефіцієнт значущості α = 0,01:

1007,7 – 2,89 ∙  < y_n+1 < 1007,7 + 2,89 ∙

958,18  < y_n+1 < 1057,15

 

1046 – 2,89 ∙  < y_n+2 < 1046 + 2,89 ∙

995,52  < y_n+2 <  1096,5

 

 

 

II) Побудова та перевірка багатовимірної регресійної моделі:

 

1. Аналіз та вибір факторів для багатофакторної лінійної регресійної моделі:

 

Оберемо такі фактори для багатовимірної регресійної моделі:

X₁ – Кількість сімей та одинаків, які одержали житло протягом року, тис.

X₂ – У середньому на одного жителя, м²

X₃ – Кількість квартир, усього, тис.

X₄ – Кількість однокімнатних квартир, тис.

X₅ – Кількість двокімнатних квартир, тис.

X₆ – Кількість трикімнатних квартир, тис.

X₇ – Кількість чотири- і більше кімнатних квартир, тис.

X₈ – Кількість сімей та одинаків, які перебували на квартирному обліку на кінець року, тис.

 

2. Математично-статистичний аналіз на мультиколінеарність:

 

Для математично-статистичного аналізу  необхідно побудувати кореляційну  матрицю R:

 

 

Побудуємо кореляційну матрицю для заданих  числових даних:

 

 

 

Якщо |r_xiyi|>0,9 то будемо вважати що між x_i та x_j присутнє явище мультиколінеарності.

В цьому випадку один із факторів   треба виключити з моделі. Виключаємо той фактор для якого |r_xiyi| буде меншим.

Аналізуючи  значення їх значення відкидаємо такі фактори: X₁, X₃, X₄, X₅, X₆.

Отже маємо таблицю:

 

Рік	y	x2	x7	x8
1995	978,3	19,2	1781	2411
1996	995,2	19,7	1812	2297
1997	1002,6	20	1850	2164
1998	1008,4	20,2	1878	2029
2000	1015	20,7	1899	1765
2001	1026,13	21	1920	1624
2002	1031,7	21,3	1930	1533
2003	1035,7	21,6	1938	1460
2004	1040	21,8	1950	1414
2005	1046,4	22	1967	1323
2006	1049,2	22,2	1987	1300
2007	1057,6	22,5	2006	1252
2008	1066,6	22,8	2025	1216
2009	1072,2	23	2039	1174
Середнє	1030,36	21,29	1927,29	1640,14

 

3. Оцінка невідомих параметрів b₀…b_m.:

 

Вибірка з багатофакторної регресійної  моделі має вигляд:

 

,де

 

x_1i … x_mi  – значення x₁ … x_m в i – ому спостережені.

 

Введемо позначення:

 

 

 

 

Тоді вибірка з багатофакторної  регресійної матиме вигляд:

 

 

 

Невідомі параметри b₀…b_m обчислюються за формулою:

 

 b = (X '∙X)^-1∙X'∙Y

Знайдемо невідомі параметри  b₀…b_m:

 

 

 

Отримана регресійна модель буде мати вигляд:

 

 

 

4. Перевірка на адекватність за допомогою критерія Фішера:

 

Для перевірки будемо розглядати нульову  гіпотезу H₀:

H₀ = β₀= β₁= …= β_m=0;

Проти альтернативної:

H₁ = β_i ≠ 0.

 

Для того, щоб перевірити нульову гіпотезу необхідно:

 

1. Обчислити розрахункове число Фішера F_m,n–m–2;

 

 

 

Обчислимо число Фішера:

F_3,9  = 902,08;

 

2. Задати коефіцієнт значущості α;

 

3. Якщо F_m,n–m–2 > F_кр(m; n – m – 2), то гіпотеза H₀ відхиляється, дана регресійна модель адекватна спостереженим даним.

 

Перевіримо  модель на адекватність:

1. Коефіцієнт значущості α = 0,05:

F_кр(3; 9) = 3,86;

F_3,9  > F_кр(3; 9).

 

Гіпотеза H₀ відхиляється

Модель є адекватною спостережуваним  даним на рівні значущості 5%.

 

2. Коефіцієнт значущості α = 0,01:

F_кр(3; 9) = 6,99;

F_3,9  > F_кр(3; 9).

 

Гіпотеза H₀ відхиляється

Модель є адекватною спостережуваним  даним на рівні значущості 1%.

 

5. Побудова множинного коефіцієнта кореляції:

 

y – весь житловий фонд, загальної  площі, млн.м² ;

х₂ – у середньому на одного жителя, м² ;

х₇ – кількість чотири- і більше кімнатних квартир, тис. ;

х₈ – кількість сімей та одинаків, які перебували на квартирному обліку на кінець року, тис.;

 

Вибіркова багатофакторна лінійна  регресійна модель має вигляд:

 

,  де

 

 – це помилка (відхилення),

 – це випадкові величини.

 

Для наших початкових даних вона приймає такий вигляд:

 

 

 

Корисною мірою ступеня відповідності  даних ŷ ( ) одержаних з регресійної моделі фактичним даним є коефіцієнт множинної кореляції . Він визначається як коефіцієнт кореляції між змінними ŷ та у, тобто:

 

 

де:

 – коваріаційний коефіцієнт,

 та

 – дисперсії величин ŷ та у.

 

Позитивне значення свідчить про прямий зв'язок, а негативне про зворотній.

Значення  коефіцієнту лежить в межах  . Якщо значення коефіцієнта кореляції близьке до нуля, то статистичний зв'язок між ŷ та у відсутній. На практиці будемо вважати, що якщо – то статистичний зв'язок відсутній. А якщо значення коефіцієнта близьке до 1 – , то вважається, що вплив є значним.

 

Порахуємо множинний коефіцієнт кореляції  для наших початкових даних:

 

 

 

Вплив є значним. Знайдені дані точно відповідають фактичним.

 

6. Побудова варіаційно-коваріаційної матриці параметрів багатофакторної регресійної моделі:

 

Дисперсійно-коваріаційна матриця має вигляд:

 

 

В матричному вигляді вона записується так:

 

 

Варіаційно-коваріаційна матриця може бути обчислена за формулою:

 

,  де  - це є дисперсія випадкової величини .

 

Оцінку  будемо робити за допомогою величини:

 

,  де    e_i = ŷ_i – у_i°°

 

Можна показати, що  .

 

Тоді  величина – перепишеться :

 

.

 

Спираючись  на наші початкові данні ми отримаємо:

 

 

 

тоді  варіаційно-коваріаційна матриця має вигляд:

 

 

 

7. Перевірка значущості коефіцієнтів b_i побудованої багатофакторної регресійної моделі:

 

Для перевірки будемо розглядати нульову  гіпотезу H₀:

H₀ = β₀= β₁= …= β_m=0;

Проти альтернативної:

H₁ = β_i ≠ 0.

 

Для перевірки справедливості нульової гіпотези будується так звана t-статистика:

,   .

Задаємо рівень значущості та і користуючись таблицею критичних точок розподілу Стьюдента знаходимо .

Зробити висновок чи є параметри  значимими (якщо , , то не виконується і відповідні параметри побудованої багатофакторної регресійної моделі  є значимими).

 

Спираючись  на наші початкові данні ми маємо:

 

Обираємо  та , тоді

 

 t(0,01/2; 14 – 3 – 1) = t(0,005; 10) = 3,17 

 

 t(0,05/2; 14 – 3 – 1) = t(0,025; 10) = 2,23

 

t0 > t(0,005; 10)	t0 > t(0,025; 10)
t1 > t(0,005; 10)	t1 > t(0,025; 10)
t2 < t(0,005; 10)	t2 < t(0,025; 10)
t3 < t(0,005; 10)	t3 < t(0,025; 10)

 

Отримані  нами данні говорять про те, що на рівні значущості α = 0,01 та α = 0,05 коефіцієнти b₀ та b₁ є значимими, а коефіцієнт b₂ та b₃ не є значимим.

 

8. Побудова інтервалів довіри для знайдених параметрів b_i :

 

Інтервали довіри для коефіцієнтів мають вигляд:

 

, .

 

Робимо інтервальну оцінку для по даній вибірці. але він знаходиться в межах інтервалу з довірчою імовірністю .

 

Спираючись на наші початкові данні  ми маємо:

 

165,65 < β0 < 572,88	226,30 < β0 < 512,50
6,16 < β1 < 28,64	9,49 < β1 < 25,31
–0,02 < β2 < 0,30	0,03 < β2 < 0,25
–0,01 < β3 < 0,03	–0,003 < β3 < 0,02

 

9. Побудова інтервалів довіри для прогнозного значення і його математичного сподівання:

 

Якщо побудована регресійна модель є адекватною, а це можна перевірити за допомогою критерію Фішера, то можна  знаходити прогнозне значення залежної змінної  y. Нехай нам відомі значення в – період, тоді прогнозне значення нашого показника в цей період дорівнює:

 

 

 

З іншого боку

, де 

.