Шпаргалка по "Теории и методике развития математических представлений у детей"

В колич. теории натур. число с самого начала восприним-ся как число эл-ов (мощность, численность) конеч. мн-ва.

 Рассмотрим всевозможные  конечные мн-ва (говорят «класс, или  семейство, множеств») и установим  для них отношение эквивалентности  следующим образом: два мн-ва А  и В будем называть эквивалентными (обозначается это через А~В), если между элементами этих мн-в можно установить взаимно однозначное соответствие.

 Установленное таким  образом отношение мн-в явл. отношением  типа эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Для  любых множеств А, В, С:

 а) А~А; б) если А~В, то В~А; в) если А~В и В~С, то А~С.

 Поэтому введенное  отношение порождает разбиение  данного семейства мн-в на классы  эквивалентности так, что любые  два мн-ва одного класса эквивалентны, а любые два мн-ва различных  классов неэквивалентны.

Эквивалентные мн-ва не совпадают полностью, всеми своими св-ми: мн-во пальцев человеч. руки и мн-во, состоящее из пяти столов, различные, но эквивалентные мн-ва.

Каждый класс эквивалентности характ-ся мощностью, т. е. любые два мн-ва одного класса равномощны (имеют одинаковую мощность). Так как мы имеем дело лишь с конечными мн-ми, то равномощность означает равночисленность. Мощность, или класс, равночисленных конечных мн-в и называют натур. числом.

Таким образом, каждому конеч. мн-ву  приписывают в кач. хар-ки натур. число т(А), определяющее его принадлежность определенному классу эквивалентности. При этом мн-твам, принадл-щим одному классу эквивалентности, приписывается одно и то же натур. число:

 если А~В, то т(А)=т(В); мн-вам, принадл-щим различным классам эквивалентности,— различные натур. числа:

 если А~В, то т (А)^т(В). Так как А и В — конеч. мн-ва, то натур. числа т(А) и т(В) обозначают числа элементов (численность) этих мн-в.

 В основе такой концепции  натур. числа лежит абстракция  отождествления: отношение эквивалентности  мн-в отождествляет мн-ва, принадлежащие  одному классу эквивалентности  по их числ-ти.

 В результате этого  отождествления от мн-в, принадл-щих  одному классу эквивалентности, абстрагируется их общее св-во, характ-щее этот класс, в виде  самост. понятия — натур. числа.

 Название «колич. теория»  связано с тем, что в этой  теории натур.е число обозначает кол-во эл-ов мн-ва.

Число-одно из осн. матем. понятий. Ему характерна абстрактность. Характ-ки числа:-колич-я  (отношение числа к един.счета),  –порядковая(на место числа в ряду).  Стадии разв. числа соотносились со стадией разв. счета. 1 Число –качество-абстрактного понятия числа нет. Человек устан-ет соотнош. м-ду кол-вом и кач-ми эл-ов мн-ва. 2.Ручной счет – когда начин. обмен, люди стали искать эквивалент обмена. Устанавливается соответствие между элементами конечного множества и конечностями человека. 3.Число совакупность –установление соотв-я идет между совокупн-ми, кот. имеют название предметов и характ-ют кол-во (мешками, корзинами). 4. узловые числа- спец. слова, обозначающие кол-во (10,12). 5. промежут. число- приобретает абстрактный хар-р появл-ся слова обозначающие не предметы,а их кол-во. Изучая числа, ученые заметили, что есть числа, обозн-е кол-во натур. объектов – натур.е числа. Располагая их в порядке возрастания, получили натур. ряд чисел – бесконеч. мн-во, в кот. каждое предыдущее число больше предыдущего на 1 и каждое предыдущее меньше послед. на 1. Обладает опред-ми св-ми: ограничен слева – имеет начало;- безграничен справа; -строго упорядочен. мн-во –упорядочены связи и отношения между смежными числами. Натур. ряд:-дискретное-прерывистое мн-во, т.к. перескакивает ч/з дробные числа

В д/в знакомят с цифрами как условными знаками числа, символами. В 5лет- хорошо разбир-ся в цифрах. Необх-мо знакомить с цифрами попарно, выделяя их схожесть (1,4,7;2,5; 6 и 9; 3 и 8)+ худ.слово и нижеперечисл. приемы.

Показывать и объяснять смысл цифры рекоменд-ся тогда, когда дети закрепят колич. счет в соответ-их пределах:

-воспоминание о том, где  дети видели эту цифру; -объяснение конфигурации (круги, линии):

-рисование в воздухе;-сравнение с предметами или явлениями;

-отражение цифры с  пом. своего тела;-найти цифры на рисунках;

-поставить цифру к  тем предметам, количество которых  соответствует данной цифре.

Цифры можно использовать в различных играх. Когда дети познакомятся со всеми цифрами, можно предложить им разделить их на 2 группы-округлые и сотоящие из линий, можно предложить составить пары из похожих цифр. Возможно составление смежных цифр (В ср/гр до 5, В ст/гр до 10). Для формир. понятия числа, ознакомл. с цифрами- новый этап; лучшему усвоению начертания цифры способствует ее анализ и зарисовка движениями в воздухе или из ниточки, выкладывание из палочек.

Развитие у детей понятия числа, действия, счета.

Счетная деят-ть- практич. деят-ть, включ-ая элементы отсчитывания предметов, движений звуков, явлений.

Счетные операции:

-называние чисел по  порядку;-сопоставление каждого числа с 1 предметом;

-счет слева направо;-последнее число обозначает общее кол-во;

2 этапа обучения  счету:

1. Дети должны усвоить цель счета, счет, операции выполн-е восп-ем, дети лишь наблюдают.

2.Самост. выполн-е счет.операций, с называнием итогового числа.

3.Знак-во с числом происх. на восприятии двух мн-в, выраж-ми смежными числами, эл-ты которого расположены в ряд и друг под другом. Знакомясь с любым числом, начинается занятие с показа того, как образовывалось предыдущее.

Ошибки детей: -считать со слова «раз»(надо один)

-считая дают названия  предметов;-итоговое число -не называя говорят «Много»

- неправильное изменение  сущ-х и числит-х в роде, числе, падеже при назывании итогового рез-та.

В р/в под влиянием активных действий с предметами совокупностей у детей склад-ся рече-слухо-двигательный образ натур. числа. На 3г.жизни дети пыт-ся считать, проявляя большой интерес к счетной деят-ти. Счет в этот пер-д однообразен. Дети назыв-ют числит-е, показывая при этом на предметы, но на вопрос «Сколько» начинают пересчитывать. Это свойственно всем детям этого возраста. Они осваивают процесс счета, но последнее числительное не соотносят со всем мн-ом. Такой счет назыв-ся безытоговым. Часто в этот период дети неправильно соотносят число с предметом. Ребенок называет числит., показывая при этом на два предмета и наоборот. В 3-4года дети, освоившие счет, не могут назвать какое число идет до, а какое после заданного числа. Затрудняются они и с нахождением числа большего, чем заданное на единицу.

В 4-5лет дети усваивают послед-ть и наименования числит-х, точно соотнося числит-е с каждым множ-ом предметов, независимо от их качест. особенностей и форм расположения. Усваивается значение последнего числит-го как итогового. У детей постарше склад-ся огранич-ое представление о единице. Она ассоц-ся с отдельным предметом. Под влиянием обучения дети учатся относить единицу к группе предметов, это подводит к пониманию десятичной системы счисления.

Методика ознакомления с цифрами (3 – 5 лет)

Ознак. с названием и внешним видом цифры идет в возр-те до четырёх лет, а после обучения счету детей знакомят с сущностью цифр.

1 этап.

• Восп-ль в различных ситуациях знакомит детей с именем и внешним видом цифры (в процессе прогулки обращает внимание на номера домов, машин; на номера страниц).
• Восп-ль читает стишки, в которых опис-ся внеш. вид цифр . (С.Маршак «Веселый счет», Г. Виеру «Считалочка»).

2 этап: (ср.возр.)

Как только дети научились считать в соотв-их пределах, их необходимо познакомить с сущностью каждой цифры последовательно. Предлаг-ся обозначить в гр. кол-во предметов разными способами: соответ-им кол-ом счетных палочек, соотв-ей числ. карточкой, и, наконец, с пом. цифр.

Можно предложить детям рассм-ть таблицу, где нарисовано одно и то же кол-во разных предметов и все они обозначены одной цифрой.

Подводим детей к тому, что одинак. кол-во предметов всегда обозначается одной и той же цифрой.  Отличие понятия «число» и «цифра» (лiк – число, лiчба - цифра): цифра - значок или рисунок, с помощью которого можно написать число или указать количество предметов. Надо понимать, что число изобр-ся не только с помощью цифры. Можно познакомить детей с римской нумерацией – изображением числа с помощью рисунков. Или предложить цветные числа – палочки Кьюизенера.

Упр-я на закрепление сущности цифр:

- Подобрать цифру для  соответ-го мн-ва.

- Создать (найти) группу предметов, соотв-ю по кол-ву показанной  цифре.

Игры:

«Найди пару»  (лото).«Найди свой домик».

Знакомство с цифрой 0.

Детям предлагается 3 блюдца: на одном - 3 предмета, на другом - 5, на третьем - ни одного. Просим обозначить с помощью цифр кол-во предметов в каждом блюдце.  Дети могут сообразить, что на пустое блюдце надо положить «0». Если дети затруд-ся, то воспитатель читает стих-е про «0»: Цифра вроде буквы «О» - это «ноль» иль «ничего».

 А затем поясняем, что  отсутствие предметов также обозначаем  цифрой, это – цифра «0».

Знакомство с изображением числа 10.

Надо показать детям, что число 10 изобр-ся с пом. двух цифр «1» и «0». Восп-ль читает соотв-ий стих.

Круглый ноль такой хорошенький, но не значит ничегошеньки.

Ну, а если рядом с ним единицу примостим –

Он побольше станет весить, потому что это - десять. (С.Я.Маршак)

Для закрепл.подходят те же игры, что и для других цифр. В игры и упр-я включаем 0 и 10.

Этапы историч. развития числа

1 этап. Сравн. групп предметов по кол-ву с пом. установления взаимнооднозначного соответ-я между эл-ми мн-в (1 шкура  -  1 горшок).

2 этап. Исп-е мн-в-посредников для сравнения по кол-ву (зарубки на палке о количестве в прошлом году).

3 этап. Испол-е универс. мн-в для обозначения кол-ва (1 луна; 5 пальцев на руке).

4 этап. Возникн-е числит. и нумерации, абстрагирование числа от конкрет. мн-ва.

5 этап. Становление теорий числа: колич. и порядковой.

18. Натуральное число. Натуральный ряд чисел. Термин «натур.число» впервые применил римский гос. деятель, философ, автор трудов по матем. и теории музыки Боэций (480 - 524 гг.), но еще греч. мат-к Никомах из Геразы говорил о натур-ом, то есть природ.ряде чисел.

Понятием «натур. число» в соврем. его понимании послед-но пользовался выдающийся франц. матем-к, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

Первоначал. представления о числе появились в эпоху камен. века, при переходе от простого собирания пищи к ее актив. произв-ву, примерно 100 веков до н. э. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления,  он придумал числа: «один» и «два». Остальные кол-ва для него оставались неопред-ми и объединялись в понятии «много».

Росло произв-тво пищи, добавлялись объекты, которые треб.учитывать в повседн. жизни, в связи с чем придум. новые числа: «три», «четыре»…

Вначале предел был «семь», дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные кол-ва моделировались громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в рус. метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов, бочка-сороковка - сорок ведер и т.д.

Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое мн-во) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков - мириада), равное 10 000, а запределом - «тьма тьмущая», равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 106, «легион» - 1012, «леодр» - 1024, «ворон» - 1048, «колода» - 1096, после чего добавляли, что большего числа не существует.

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в «исчислении песчинок» - до числа 10, возведенного в степень 8х1016 , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах - до бесконечности.

Натур. числа имеют две осн. функции:

 Хар-ка количества  предметов; хар-ка порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядк. числа  и колич. числа .

Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натур. чисел от единицы до бескон-ти:1, 2, …. Натур. потому, что ими обозначались реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи…

Будем обозначать класс эквивалентности мн-ва A относительно биекций как [A]. Тогда осн. арифм. операции определяются следующим образом:

[A][B] = [AB],где  — дизъюнктное  объединение мн-тв,  — прямое  произведение, AB — мн-во отображений  из B в A. Можно показать, что полученные  операции на классах введены  корректно, то есть не зависят  от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными  определениями.

Осн. св-ва                Коммутат-ть сложения.  Коммут-ть умножения. Ассоциативность сложения.  Ассоциативность умножения    Дистрибутивность умножения относительно сложения.

Натур. ряд:- дискретное -прерывистое мн-во, т.к. перескакивает ч/з дробные числа.

В ран. в-сте дети от хаотического познания числит-х под влиянием обучения переходят к усвоению последов-ти  чисел в организ-ом отрезке натур. ряда. Далее увелич-ся отрезок запоминания числит. Дети начинают осознавать, что каждое из них всегда занимает свое опред.место, хотя и не могут объяснить почему 3 всегда следует за 2. В усвоенной цепочке невозможна замена слова раз словом один. Встречаются случаи, когда ребенок первые 2-3 числит.воспринимает как 1 слово (раз два) и относит его к одному предмету. Т.о. в р/в у детей складывается рече-слухо-двигательный образ натур. ряда чисел. После этого у детей 3-4 лет успешно формир. слуховой образ натур. ряда. Вначале упорядочивается лишь некот. мн-во числит., а после- числит. наз. с промежутками, но всегда в возрастающем порядке (1,2,3,4,5,8,12,15) Усвоив числит. первого десятка, дети легко переходят ко второму и считают так 29, 20-десять, 20-одиннадцать, но поправив ребенка и назвав после 29 число 30, стереотип восстан-ся. Некоторые дети понимают, что после 29,39,49 идут слова которые они еще не знают, и сделав паузу, ждут помощи взрослых.