Лекции по «Моделирование процессов и объектов в металлургии»

• Технический критерий оптимальности (извлечение металла в целевой продукт, удельная производительность аппарата, удельные затраты энергии и др.).
• Технико-экономический критерий (себестоимость продукции, рентабельность и др.).
• Экологические критерии.

Как правило, при постановке оптимизационной задачи, не удаётся сформулировать единственный критерий оптимальности. На начальном этапе реальные оптимизационные задачи являются многокритериальными. Решения многокритериальных задач часто не являются однозначными – улучшая часть критериев оптимальности, мы ухудшаем другие критерии. Всегда при постановке оптимизационной задачи следует стремиться к формулировке обобщённого единственного критерия оптимальности. Математические методы решения оптимизационных задач при наличии нескольких критериев разработаны недостаточно.

 

 

 

 

Методы построения обобщённых критериев оптимальности

 

В том случае, когда имеется несколько частных критериев оптимальности, имеет смысл попытаться свести задачу к однокритериальной. Для этого существует несколько методов построения обобщенных критериев оптимальности.

1. Аддитивный метод: , где Ki – частный критерий оптимальности;

ai – весовой коэффициент при этом критерии.

 

Весовые коэффициенты имеют положительные и отрицательные знаки, в зависимости от того, в каком направлении действует частный критерий оптимальности. Так например, частным критерием оптимальности выбрано извлечение. Понятно, что при весовом коэффициенте выбирается знак плюс, поскольку улучшение частного критерия способствует улучшению обобщенного. Наоборот, если частный критерий – удельные энергозатраты, то знак весового коэффициента уместно выбирать отрицательным: увеличение удельных энергозатрат снижает значение обобщенного критерия оптимальности. Величина весового критерия выбирается в зависимости от степени важности частного критерия. Выбор величин весовых коэффициентов вносит элемент субъективности в формирование обобщенного критерия. Для уменьшения этой субъективной составляющей выбор величин весовых коэффициентов проводят с использованием метода экспертных оценок. Для этого привлекается коллектив экспертов, знающих особенности работы оптимизируемого объекта.

 

2. Мультипликативный метод: . Обобщенный критерий в этом случае является произведением частных критериев оптимальности. Например, сквозное извлечение по технологической схеме переработки сырья без оборотных материалов является произведением величин извлечения по всем стадиям технологической схемы. Аналогом в механике является к.п.д.: для всего механизма он является произведением к.п.д. отдельных частей этого механизма.

При постановке оптимизационных задач следующим шагом является назначение ограничений. Не будет преувеличением сказать, что все реальные задачи оптимизации являются задачами с ограничениями. Наличие ограничений способно радикально влиять на результат решения оптимизационной задачи, изменяя его в очень сильной степени. Поэтому к выбору ограничений следует подходить весьма серьезно.

Ограничения 1-го рода наложены на входные величины, поэтому являются более простыми.

Ограничения 2-го рода касаются выходных характеристик системы. Они являются более сложными, поскольку требуют ответа на вопрос: какие ограничения первого рода (на входные характеристики) требуется установить, чтобы не нарушались ограничения второго рода. Примером ограничений второго рода являются требования по химическому составу полученного продукта. Обычно они регламентированы соответствующими документами (ГОСТ, технические условия и т.п.). Возникает вопрос: какие ограничения на фиксированные входные характеристики (состав сырья) и управляющие воздействия (время пребывания вещества в аппарате, температура и др.) должны быть приняты, чтобы не нарушались ограничения первого рода (т.е. состав полученного продукта соответствовал требуемому)? Разумеется, выбор ограничений – это задача для специалиста, глубоко знающего оптимизируемый технологический процесс.

Следующим этапом постановки задачи является выбор оптимизирующих факторов. Выбираются из вектора управляющих воздействий те величины, которые влияют на выход системы, и которые мы можем изменять в пределах выбранных ограничений. Большинство задач оптимизации содержат эти ограничения.

В реальных задачах оптимизации технологических систем в цветной металлургии в качестве оптимизирующих факторов могут рассматриваться :

-массовые соотношения между компонентами шихты (соотношение между массами концентратов разных производителей и флюсов различного состава),

- время пребывания вещества в технологическом аппарате (фактически определяет, как полно пройдут необходимые физико-химические превращения компонентов сырья в продукт),

-температура,

-давление,

-условия перемешивания и т.п.

 Как и выбор ограничений, выбор оптимизирующих факторов  способен выполнить только специалист, глубоко знающих оптимизируемый  процесс.

Последним этапом постановки оптимизационной задачи является формулирование вида целевой функции. Она является математическим выражением зависимости критерия оптимальности от оптимизирующих факторов. Целевая функция далеко не всегда представляет собой аналитическое выражение этой зависимости, значительно чаще эта связь представляет собой алгоритм вычислений, иногда достаточно сложных, следуя которому мы по известным значениям оптимизирующих факторов можем рассчитать значение целевой функции.

Для решения оптимизационной задачи необходима математическая модель процесса или объекта, который мы оптимизируем.

В математической форме оптимизационная задача сводится к следующему:

 

F(x, u, V, t) → max (min)

a1≤u1≤b1

a2≤u2≤b2

. . . . . . .

an≤un≤bn.

 

имеются  управляющие воздействия u1, u2, …, un, которые могут изменяться в интервалах разрешённых ограничений a1 – b1, a2 – b2, …, an – bn. Целевая функция (F) отображает зависимость критерия оптимальности от управляющих воздействий u1 –un. Требуется отыскать такие управляющие воздействия u1 –un, которые, с одной стороны не нарушают ограничений поставленной задачи, а с другой – обращают целевую функцию в максимум или минимум.

Таким образом, на этапе постановки оптимизационной задачи требуется участие специалиста предметной области – металлурга по цветным металлам, глубоко разбирающегося в особенностях оптимизируемого объекта. Для оптимизации также необходима математическая модель оптимизируемого объекта.

Когда оптимизационная задача формализована, т.е. поставлена в математической форме, переходят к выбору математического метода ее решения. Выбор метода определяется свойствами самой оптимизационной задачи: какова задача, таков и адекватный задаче метод решения. Методы решения многих классов оптимизационных задач математически разработаны довольно хорошо, алгоритмы этих методов описаны, на базе алгоритмов разработаны и пакеты прикладных программ для решения оптимизационных задач.

Если знаний металлурга в этой области недостаточно (а это естественно), то на этапе решения оптимизационной следует привлечь к работе специалистов по прикладной математике, программистов и т.п. На этапе постановки задачи от специалистов этого профиля помощи ждать бессмысленно.

Выбор метода решения задачи зависит от ее свойств. В этой связи необходимо познакомиться с классификацией оптимизационных задач по их свойствам.

 

Классификация оптимизационных задач

 

Все множество оптимизационных задач можно разделить на несколько классов по следующим признакам:

 

1. Вид экстремума целевой функции. Нас может интересовать поиск максимума или минимума целевой функции. Как известно, переход от поиска минимума к поиску максимума не представляет труда: минимум функции y=f(x) достигается при тех же условиях, что и максимум функции –y=–f(x). Таким образом, для смены знака экстремума достаточно целевую функцию умножить на минус единицу. Пример пояснен на рисунке.

2. Число критериев оптимальности. По этому признаку все множество задач оптимизации можно разделить на два подмножества:

а) однокритериальные задачи;

б) многокритериальные задачи.

В первом случае в задаче может быть сформулирован единственный критерий оптимальности. При необходимости он может быть получен из нескольких частных критериев оптимальности одним из ранее описанных методов (аддитивный, мультипликативный).

Во втором случае в задаче по принципиальным соображениям нет единственного критерия оптимальности. Решение такой задачи часто бывает неоднозначным, а математические методы решения разработаны хуже, чем для однокритериальных задач. По этой причине всегда имеет смысл попытаться построить единственный критерий оптимальности путем свертки нескольких частных критериев.

3. По числу оптимизирующих факторов. Здесь также можно выделить два подмножества:

а) однофакторные задачи;

б) многофакторные задачи.

В первом случае в задаче имеется единственный оптимизирующий фактор (единственное управляющее воздействие не объект, которое мы можем изменять в заданных пределах). Математически это означает, что целевая функция зависит от величины единственного своего аргумента.

Во втором случае целевая функция зависит от нескольких (двух и более) аргументов. Имеется два и более управляющих воздействия, изменяя которые в заданных пределах, мы управляем объектом.

 

4. Наличие ограничений.

Большинство реальных задач содержат ограничения. Наличие ограничений существенно влияет на получение решения оптимизационной задачи. Некоторые задачи можно рассматривать как задачи безусловной оптимизации. В таких задачах ограничения очень широкие и не влияют на результат решения задачи.

 

5. По особенностям целевой функции.

Целевая функция может быть задана математически различными способами:

• Аналитический способ F = (u1, u2, …, um). Имеется некое аналитическое выражение, при подстановке в которое значений аргументов может быть определено значение функции.
• Алгоритм, т.е. последовательность вычислений, в результате выполнения которых определяется значение целевой функции при заданных значениях ее аргументов (оптимизирующих факторов).

Целевая функция может быть линейной или нелинейной относительно оптимизирующих факторов. В задачах линейного программирования, например, целевая функция линейная. Существует много задач с нелинейно-заданной функцией.

Итак, выбор математического метода решения оптимизационных задач зависит от свойств поставленной задачи. К настоящему времени существует достаточно много математических методов решения оптимизационных задач. По особенностям их реализации методы можно объединить в три группы:

1. Аналитические.
2. Поисковые.
3. Экспериментальные.

 

 

Аналитические методы решения оптимизационных задач

 

Для реализации аналитических методов целевая функция должна быть задана аналитически. Аналитические методы могут использоваться для решения однофакторных и многофакторных задач.

1. Однофакторные задачи.  Пусть целевая функция зависит от единственного аргумента. Для поиска ее экстремума (скажем, минимума) используем известные приемы математического анализа. Достаточно взять производную функции и приравнять ее к нулю, а затем решить полученное уравнение. Для определения типа экстремума (минимум, максимум или точка перегиба) потребуется также взять вторую производную. Знак второй производной указывает на тип экстремума: положительное значение говорит о том, что найден минимум, отрицательное – максимум функции.

 

y = f (x) → min  

y = 2x2 + 4x – 8 → min

y'=0    4x + 4 = 0

x = -1

y''Є(- ∞; +∞ )  y'' = 0 – точка перегиба

y'' < 0 – максимум функции

y'' > 0 – минимум функции.

 

Аналитический метод для однофакторных задач предъявляет высокие требования к целевой функции: она должна быть задана аналитически и иметь 1-ю и 2-ю производные. В этом случае поиск решения может быть осуществлен методами математического анализа.

2. Многофакторные задачи.

 

В многофакторных задачах целевая функция зависит от двух и более аргументов.

F(x1, x2, …, xn) – функция нескольких переменных (≥2). Пусть, например, аналитическое выражение целевой функции имеет следующий вид:

 

у = 2х12 + 3х22 + 4х1 + 5х2 – 16.

 

 

   4х1 + 4 = 0

   6х2 + 5 = 0.

 

Для решения воспользуемся методами математического анализа применительно к функции нескольких переменных. Возьмем частные производные по каждому аргументу и приравняем их к нулю. Получим систему уравнений, решая которую определим условия экстремума целевой функции.  В нашем примере получаем систему линейных уравнений, решая которую находим условия экстремума целевой функции: х1=-1; х2=-5/6.