Фурье анализ и синтез периодических функций

    Министерство  образования и науки Р.Ф.

    Федеральное государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования 

    «Чувашский  государственный университет имени  И.Н. Ульянова» 

    Факультет радиотехники и электроники

    Кафедра высшей математики 
 
 
 
 
 

    Курсовая  работа по теме:

    «Фурье анализ и синтез периодических функций» 
 
 
 
 
 

    Выполнил:

    студент I курса группы РТЭ-41-11

    Яковлев.Е.С.

    Проверил:

    доцент  кафедры высшей математики

    Тобоев  В.А. 

      Чебоксары 2012 г.

 

Содержание 

   

1. Введение……………………………………………………………………..3
2. Роль анализа Фурье в прикладной математике и технических науках….4
3. Конечные ряды Фурье………………………………………………………6
4. Комплексные ряды Фурье…………………………………………………10
5. Ряды Фурье для непрерывного сигнала…………………………………..11
6. Ряды Фурье для сигналов на бесконечном интервале…………………..12
7. Теорема Парсеваля………………………………………………………...15
8. Быстрые преобразования Фурье…………………………………………..17
9. Заключение...……………………………………………………………….19
10. Приложение №1………………………………………………………….20

 

Введение 

   Одной из тем, рассматриваемых в курсе  математического анализа, является разложение функций в ряд Фурье. В основе этой теории лежит предположение о том, что любая сложная функция может быть представлена в виде сумы простых функций, такими функциями являются косинус и синус. Именно теория разложения различных видов функций является основой Фурье анализа и синтеза функций. Данная тема имеет очень важное значение, так как с помощью теоретических сведений полученных в результате ее изучения можно решать довольно широкий круг практических задач.  

     В данной курсовой работе будет рассмотрена теория разложения трех основных видов функций: конечный дискретный ряд, непрерывная периодическая функция, непрерывная апериодическая функция. Также будет показано, как для каждого из трех типов сигналов можно найти коэффициенты разложения Фурье и как по полученному разложению построить график функции.

   В конце работы будет представлено приложение, в котором будут приведены примеры как прямых, так и обратных преобразований Фурье.

         
Роль анализа Фурье в прикладной математике и в технических науках. Фурье синтез 

   Аналитические методы, развитые Жаном Батистом Жозефом  Фурье (1768 - 1830), сыграли важную роль в развитии прикладной математики. Особенно важны они для трех приложений:

• для изучения периодических решений физических задач, описываемых дифференциальными уравнениями, особенно уравнениями в частных производных, например, для изучения волновых колебаний струн, или для передачи электромагнитных волн по кабелям; 
• для приведения обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к алгебраическим уравнениям;
• для приближения непериодических функций.

   Основной  областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской  Академии Наук свои первые открытия по теории распределения тепла в твердом теле, а в 1822 опубликовал работу «Аналитическая теория тепла», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. "Аналитическая теория тепла" Фурье и примененные в ней методы стали основой для создания теории тригонометрических рядов и разработки некоторых других общих проблем математического анализа. Фурье доказал, что всякую произвольно начерченную линию, составленную из отрезков дуг разных кривых, можно представить единым аналитическим выражением. Хотя Фурье и не доказал, что любую функцию можно разложить в тригонометрический ряд, но его попытки осуществить такое разложение были толчком к ряду исследований по этой проблеме. В последствии это привело к открытию нового метода анализа сигналов – Фурье анализа.

   Основное  применение Фурье  анализа – это приближение непериодических функций с помощью периодических функций. В качестве примера приближения непериодической функции можно использовать детерминированную функцию  времени , которую называют сигналом и которую нужно аппроксимировать с помощью выбранных подходящим образом периодических функций.  Детерминированный сигнал является функцией, которая известна точно для всех моментов времени. Примерами детерминированных сигналов являются

       

   или

   

   Любую непериодическую функцию можно  представить,  используя любой  класс периодических функций. В  анализе Фурье такими функциями  являются синусоидальная и косинусоидальная. Они обладают важным свойством ортогональности, так что коэффициенты можно находить независимо друг от друга.     

  Фурье-синтез исходного сигнала из отдельных гармоник, это есть обратное Фурье-преобразование частичной суммы ряда Фурье.   

     

Рисунок 1.

Обзорная  схема Фурье-синтеза периодических функций. 
 

   Конечные  ряды Фурье 

   Рассмотрим  сигнал, заданный лишь в дискретные моменты времени. Его нужно разложить  по периодическим функциям. Дискретный сигнал можно рассматривать как  полученный из непрерывного сигнала  длительности при отсчете значений сигнала через интервалы времени , (рис. 2а). Это дает выбранных значений , где . Для удобства можно считать, что четное и равно , поэтому может изменяться по целым числам .

   

 

Рис. 2. а – дискретный сигнал, полученный выбиранием из непрерывного сигнала; б – основная синусоида и гармоники.

   Периодические функции, проходящие через значения сигнала в указанные  моментов времени, могут быть выбраны бесконечным множеством способов. Например, конечный ряд Фурье    

 (2.1)

Содержит констант и , которые можно определить так, чтобы дискретные и непрерывные значения совпадали в точках , т.е. . Следовательно, функция даст приближение к исходной непрерывной функции в интервале . Заменяя на в (2.1)  и пологая , получим систему уравнений для неизвестных констант. Уравнения имеют вид

 

(2.2) 
 

   Выбрав  , можно сильно упростить решение системы уравнений (2.2), так как при этом синусы и косинусы будут ортогональны, т.е. будут удовлетворять следующим соотношениям: 

  
 
 
 
 
 

                   (2.3) 
 
 
 
 
 
 
 

   Частота называется основной частотой сигнала ; она соответствует периоду, равному длине записи, как показано на (Рис. 2б). Величина измеряется в периодах в секунду, или герцах, если измеряется в секундах.

   Таким образом, функция  в (2.1) составлена из суммы синусоидальных и косинусоидальных функций, частот которых кратны основной частоте , т.е. являются гармониками основной частоты. Наивысшей из частот является , что соответствует периоду, равному двум интервалам отсчета.

   Коэффициенты  или  в случае можно найти, умножая обе части (2.2) на или и суммируя по , а затем воспользовавшись соотношениями ортогональности (2.3).

   Окончательные выражения для коэффициентов следующие:

   

            

      (2.4) 
 
 
 

где является средним значением, или средним арифметическим, величин . Аналогичные выражения поучаются, когда число точек нечетно, например , при этом единственное  отличие будет в том, что член исчезнет.

   Иногда  удобнее записывать (2.1)  в виде

   

        (2.5) 

где , и ,  . 

 называется амплитудой и  - фазой m-й гармоники относительно некоторого произвольного начала отсчета времени.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Комплексные ряды Фурье 

   Приведенные выше формулы громоздки в обращении, поэтому в большинстве случаев для удобства в работе их записывают в комплексной форме. Выразим сигнал через комплексные амплитуды , для этого воспользуемся формулой Эйлера, которая связывает показательную функцию от чисто мнимого аргумента с функциями косинуса и синуса

                                          

,                                  (3.1)

   

и выразим  и , получим:

,

                                           

.                                      (3.2)

   Исходя  из этих выражений, выразим сигнал через комплексные амплитуды , где

                

,    .                                  (3.3)

Таким образом, (2.2) можно записать в виде

                                 

,                                       (3.4)

,  где звездочка означает  комплексное сопряжение. Тогда формулы  (2.4) переходят в 

                             

, ,                      (3.5)

   Полученные  формулы (3.4) и (3.5) легко можно привести  к вещественному виду, взяв действительную и мнимую части. Например, беря действительную и мнимую части от (3.4), получаем синус- и косинус- преобразования (2.4). 

   Ряды Фурье для непрерывного сигнала  

   Предположим, что нужно получить представление  Фурье для непрерывного сигнала на интервале от до . Если в предыдущих формулах интервал отсчета устремить к нулю, то выбранные точки сигнала будут все полнее прослеживать непрерывный сигал . Непрерывный сигнал , на который накладываются условия, чтобы он проходил через выбранные точки сигнала , должен при этом совпадать с , и поэтому в этом предельном случае представление Фурье будет точным представлением сигнала на интервале от до .

   Коэффициенты  Фурье  , определяемые в (3.5) , можно переписать в виде

                                  

,                                (4.1)

и если и , так что , то , и сумма (4.1) стремится к интегралу

                                     

.                                     (4.2)

Аналогично (3.4) стремится к 

                                      

.                                            (4.3)

   Уравнение (4.3) называется представлением функции  в виде ряда Фурье на интервале .