Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Июня 2012 в 12:19, курсовая работа
7 ноября 2011 года исполнится 200 лет со дня рождения Эвариста Галуа (1811-1832), одного из самых знаменитых математиков 19 столетия. Идеи Галуа проникли к настоящему времени в самые разные области математики.
Работа посвящена основам теории Галуа. В ней содержится 2 главы.
Введение………………………………………………………………………...
2
Глава1: Необходимые вспомогательные сведения
§ 1. Поле. Основные сведения……………………………………………......
3
§ 2. Подполя……………………………………………….……………………
4
§ 3. Некоторые важные типы расширений……………..………………….
5
§ 4. Алгебраичность конечных расширений. Строение составного алгебраического расширения…………………………………………………..
6
§ 5. Основная теорема о симметрических многочленах………………….
9
§ 6. Составные конечные расширения..……………………………………
11
§ 7. Теорема о том, что составное алгебраическое расширение является простым.…………………………………………………………………….
14
§ 8. Линейные преобразования, гомоморфизмы и многочлены от n-неизвестных………………………………………………..…………………..
15
§ 9. Композит полей…………………………………………………………...
20
Глава 2: Группы и поля Галуа
§ 1. Нормальные расширения……………………………………………….
21
§ 2. Автоморфизмы полей. Группа Галуа………………………………….
23
§ 3. Порядок группы Галуа…………………………………………………..
26
§ 4. Теорема о сопряженных элементах…………………………………….
28
§ 5. Группа Галуа нормального подполя…………………………………...
30
§ 6. Группа Галуа композита двух полей…………………………………..
31
§ 7. Конечные поля……………………………………………………………
32
§ 8. Основные свойства конечных полей, связанных с числом их элементов…………………………………………………………………………...
37
§ 9. Существование и единственность конечных полей. Критерий конечного подполя……………………………………………………………….
40
Приложение……………………………………………………………………
42
Список используемой литературы…………
a, отсюда a-b. Если n=0, то a=b, а если n>0, то a=nt1+r1 и b=nt2+r2. Отсюда r1=r2.
Пусть даны [x]n и [y]n, и [x]n [y]n. Нужно доказать, что у [x]n и [y]n нет общих элементов.
Так как данные классы вычетов не равны, то у них есть хотя бы один различный элемент. То есть существует элемент a, который принадлежит [x]n и не принадлежит [y]n.
Будем доказывать методом от противного. Пусть существует элемент b, который принадлежит [x]n и [y]n. Так как a принадлежит [x]n, то a. Так как b принадлежит [x]n и [y]n, то b и b. Но a не принадлежит [y]n. Отсюда следует, что x, значит и a. Получили противоречие.
A+B=C и AB=D.
a+b=[x]n + [y]n=[x+y]n
Если а принадлежит [x]n, то a
Если b принадлежит [y]n, то b
Следует ли отсюда, что a?
a-x и b-y. Тогда (a-x)+(b-y). Значит (a+b)-(x+y). А из этого следует, что a+b
Докажем, что a.
a-x и b-y. Тогда (a-x)(b-y). Значит (ab-ay-xb+xy)
a(b-y)+y(a-x), так как a-x и b-y. ab-xy(по определению), а значит a
a+bn b+an
a
,
b
,
з
н
а
ч
и
т
a
+
b
=
b
+
a
,
е
с
л
и
у
к
л
а
с
с
о
в
в
ы
ч
е
т
о
в
е
с
т
ь
о
б
щ
и
й
э
л
е
м
е
н
т
. (
C
о
г
л
а
с
н
о
д
о
к
а
з
а
н
н
о
м
у
в
п
е
р
в
о
й
ч
а
с
т
и
).
О
т
с
ю
д
а
[
a
+
b
]
n
=[
b
+
a
]
n
[
a
]
n
+([
b
]
n
+[
c
]
n
)=[
a
]
n
+[(
b
+
c
)]
n
=[
a
+(
b
+
c
)]
n
=[
a
+
b
+
c
]
n
=[(
a
+
b
)+
c
]
n
=[
a
+
b
]
n
+[
c
]
n
=
([
a
]
n
+[
b
]
n
)+[
c
]
n
[x]
n
+[0]
n
=[x+0]
n
=[x]
n
[x]
n
[-x]
n
=[x+(-x)]
n
=[x-x]
n
=[0]
n
[
a
]
n
·([
b
]
n
·[
c
]
n
)
=[a]
n
·
[bc]
n
=
[a(b
·
c
)]
n
=[abc]
n
=[(ab)c]
n
=[ab]
n
·[c]
n
=([a]
n
·[b]
n
)[c]
n
([
a
]
n
+[
b
]
n
)[
c
]
n
=[(a+b)c]
n
=[ac+bc]
n
=[ac]
n
+[bc]
n
=[a]
n
·[c]
n
+[b]
n
·[c]
n
Задача 9:
п
о
к
а
з
а
т
ь
,
ч
т
о
к
о
л
ь
ц
о
в
ы
ч
е
т
о
в
п
о
м
о
д
у
л
ю
n
(
с
м
.
п
р
е
д
ы
д
у
щ
у
ю
з
а
д
а
ч
у
)
б
у
д
е
т
п
о
л
е
м
т
о
г
д
а
и
т
о
л
ь
к
о
т
о
г
д
а
,
к
о
г
д
а
n
–
ч
и
с
л
о
п
р
о
с
т
о
е
.
(
П
р
о
с
к
у
р
я
к
о
в
И
.
В
.
С
б
о
р
н
и
к
з
а
д
а
ч
п
о
л
и
н
е
й
н
о
й
а
л
г
е
б
р
е
.
З
а
д
а
ч
а
№
1743)
Решение:
т
а
к
к
а
к
п
о
л
е
–
э
т
о
к
о
л
ь
ц
о
с
е
д
и
н
и
ц
е
й,
т
о
о
с
т
а
е
т
с
я
п
р
о
в
е
р
и
т
ь
,
ч
т
о
с
у
щ
е
с
т
в
у
е
т
[
a
]
n
-1
,
т
а
к
о
е
ч
т
о
[
a
]
n
·
[
a
]
n
-1
=[1]
n
.
П
у
с
т
ь
[
a
]
n
[0]
n
.
Т
о
г
д
а
a
н
е
п
р
и
н
а
д
л
е
ж
и
т
[0]
n
.
О
т
с
ю
д
а
a
н
е
с
р
а
в
н
и
м
о
c
0
п
о
м
о
д
у
л
ю
n
,
и
,
з
н
а
ч
и
т
,
a
н
е
д
е
л
и
т
с
я
н
а
n
.
Е
с
л
и
n
–
п
р
о
с
т
о
е
,
т
о
а
–
в
з
а
и
м
н
о
п
р
о
с
т
о
е
.
З
н
а
ч
и
т
Н
О
Д
(
a
,
n
)
=1.
О
т
с
ю
д
а
и
з
а
л
г
о
р
и
т
м
а
Е
в
к
л
и
д
а
1=
ax
+
ny
,
г
д
е
x
,
y
Z
.
[1]
n
=[
a
]
n
·[
x
]
n
+[
n
]
n
·[
y
]
n
,
т
а
к
к
а
к
n
п
р
и
д
е
л
е
н
и
и
н
а
n
д
а
е
т
о
с
т
а
т
о
к
0 ([
n
]
n
=0),
т
о
[1]
n
=[
a
]
n[
x
]
n
+[
n
]
n
·[
y
]
n
=[
a
]
n
·[
x
]
n
.
О
т
с
ю
д
а
[
x
]
n
=[
a
]
n
-1
.
Н
а
п
р
и
м
е
р
,
в
о
з
ь
м
е
м
[3]
5
.
Н
О
Д(3,5)=1.
5 3
П
о
а
л
г
о
р
и
т
м
у
Е
в
к
л
и
д
а
5=3
·
1
+2
2=5-3
1
3=2
·
1
+1
1=3-2
·
1
1=3-(5-3
1)
1=3-5
·
1
+3
·
1
1=3
·
2
-5
·
1
[1]
5
=[3]
5
·[2]
5
-[5]
5
Т
а
к
к
а
к
[5]
5
=
[
0]
5
[3]
5
-1
=[2]
5
Т
е
п
е
р
ь
д
о
к
а
ж
е
м
,
ч
т
о
д
а
н
н
о
е
к
о
л
ь
ц
о
в
ы
ч
е
т
о
в
б
у
д
е
т
я
в
л
я
т
ь
с
я
п
о
л
е
м
т
о
л
ь
к
о
т
о
г
д
а
,
к
о
г
д
а
n
–
п
р
о
с
т
о
е
.
П
у
с
т
ь
n
н
е
п
р
о
с
т
о
е
,
т
о
г
д
а
n
=1
,
л
и
б
о
n
с
о
с
т
а
в
н
о
е.
Е
с
л
и
n
с
о
с
т
а
в
н
о
е,
т
о
г
д
а
n
м
о
ж
н
о
р
а
з
л
о
ж
и
т
ь
н
а
м
н
о
ж
и
т
е
л
и
.
n
=
xy
,
з
н
а
ч
и
т
x
≠
±
1,
y
≠
±
1,
x
≠
±
n
,
y
≠
±
n
.
[
n
]
n
=[
x
]
n
·[
y
]
n
,
а
т
а
к
к
а
к
[
n
]
n
=0
,
т
о
0=[
x
]
n
·
[
y
]
n
(*)
Д
л
я
к
а
ж
д
о
г
о
э
л
е
м
е
н
т
а
н
е
р
а
в
н
о
г
о
н
у
л
ю
и
м
е
е
т
с
я
о
б
р
а
т
н
ы
й
э
л
е
м
е
н
т
.
Н
о
е
с
л
и
[
x
]
n
=[0]
n
,
т
о
п
о
о
п
р
е
д
е
л
е
н
и
ю
э
т
о
б
ы
о
з
н
а
ч
а
л
о
,
ч
т
о
x
0(
mod
n
)
,
а
з
н
а
ч
и
т
x
-0
n
и
x
n
,
а
и
з
э
т
о
г
о
с
л
е
д
у
е
т
,
ч
т
о
[
x
]
n
≠
[0]
n
.
А
н
а
л
о
г
и
ч
н
о
д
о
к
а
з
ы
в
а
е
т
с
я,
ч
т
о
y
≠0
.
Е
с
л
и
[
y
]
n
=[0]
n
,
т
о
п
о
о
п
р
е
д
е
л
е
н
и
ю
э
т
о
б
ы
о
з
н
а
ч
а
л
о
,
ч
т
о
y
0(
mod
n
)
,
а
з
н
а
ч
и
т
y
-0
n
и
y
n
,
а
и
з
э
т
о
г
о
с
л
е
д
у
е
т
,
ч
т
о
[
y
]
n
≠
[0]
n
.
У
м
н
о
ж
и
м (1)
н
а
э
л
е
м
е
н
т
о
б
р
а
т
н
ы
й
к
x
.
[0]
n
[
x
]
-1
n