Теория Галуа

Содержание

Введение………………………………………………………………………...	2
Глава1: Необходимые вспомогательные сведения
§ 1. Поле. Основные сведения……………………………………………......	3
§ 2. Подполя……………………………………………….……………………	4
§ 3. Некоторые важные типы расширений……………..………………….	5
§ 4. Алгебраичность конечных расширений.  Строение составного алгебраического расширения…………………………………………………..	6
§ 5. Основная теорема о симметрических многочленах………………….	9
§ 6. Составные конечные расширения..……………………………………	11
§ 7. Теорема о том, что составное алгебраическое расширение является простым.…………………………………………………………………….	14
§ 8. Линейные преобразования, гомоморфизмы и многочлены от n-неизвестных………………………………………………..…………………..	15
§ 9. Композит полей…………………………………………………………...	20
Глава 2: Группы и поля Галуа
§ 1. Нормальные расширения……………………………………………….	21
§ 2. Автоморфизмы полей. Группа Галуа………………………………….	23
§ 3. Порядок группы Галуа…………………………………………………..	26
§ 4. Теорема о сопряженных элементах…………………………………….	28
§ 5. Группа Галуа нормального подполя…………………………………...	30
§ 6. Группа Галуа композита двух полей…………………………………..	31
§ 7. Конечные поля……………………………………………………………	32
§ 8. Основные свойства конечных полей, связанных с числом их элементов…………………………………………………………………………...	37
§ 9. Существование и единственность конечных полей. Критерий конечного подполя……………………………………………………………….	40
Приложение……………………………………………………………………	42
Список  используемой литературы………………………………………….	51

 

ВВЕДЕНИЕ.

    7 ноября 2011 года исполнится 200 лет  со дня рождения Эвариста Галуа (1811-1832), одного из самых знаменитых математиков 19 столетия. Идеи Галуа проникли к настоящему времени в самые разные области математики.

    Работа посвящена основам теории Галуа. В ней содержится 2 главы.

    Глава 1 – это вводная глава. Она содержит обзор некоторых основных алгебраических понятий и теорем, ограничиваясь минимумом, который необходим для изучения данной темы. Основные сведения о поле и подполе, свойства изоморфизмов полей, критерий подполя описаны в первом и втором параграфах. В третьем параграфе рассмотрены некоторые типы расширений, а именно, конечное и алгебраическое расширение. В четвертом параграфе описано строение составного алгебраического расширения. Следующий параграф представляет собой основную теорему о симметрических многочленах. Шестой параграф посвящен составным конечным расширениям. Утверждение о том, что составное алгебраическое расширение является простым описано в седьмом параграфе, в последнем рассмотрен композит полей.

    Глава 2 посвящена структуре групп и полей Галуа, их основным свойствам. Из первого параграфа можно узнать начальные сведения о нормальном расширении поля. Во втором и третьем параграфе вводятся понятие автоморфизм поля и определение группы Галуа. Показано, что порядок группы Галуа G(K,P) равен степени поля К над полем Р. Теорема о сопряженных элементах представлена в следующем параграфе. В пятом параграфе описана группа Галуа нормального подполя, а группа Галуа композита двух полей представлена в шестом параграфе. В восьмом параграфе рассмотрены сведения о конечных полях и представлены простейшие из них. Основные свойства конечных полей, связанных с числом их элементов приведены в девятом параграфе. И в заключении представлены теоремы о единственности и существовании конечных полей, а также критерий подполя конечных полей.  
 
 
 
 
 

ГЛАВА 1: Необходимые вспомогательные

сведения

§ 1. Поле. Основные сведения

Определение 1. Непустое множество F, содержащее хотя бы два различных элемента, с заданными на нем двумя бинарными операциями сложением и умножением называется полем, если выполняются следующие условия:

1. ( a,b є F)( а+b=b+а);
2. ( а,b,с є F)( а+(b+с)=(а+b)+с );
3. ( 0 є F)( а є F)( а+0=а );
4. ( а є F)( -а є F)( а+(-а)=0 );
5. ( а,b є F)( аb=bа);
6. ( а,b,с є F)( а(bс)=(аb)с);
7. ( 1 є F)( а є F)( а1=а);
8. ( а є F)( а^-1 є F)( аа^-1 =1);
9. ( а,b,с є F)(а(b+с)=аb+ас).

Определение 2. Пусть <F₁,+,*>, <F₂,+,*> - поля. Отображение φ, действующее из множества F₁ на множество F₂  , называется изоморфизмом поля F₁ на поле F₂, если:

1. φ – биекция;
2. отображение φ сохраняет операцию сложение поля F₁:                          ( а,b є F₁)( φ(а+b)= φ(а)+φ(b));
3. отображение φ сохраняет операцию умножение поля F₁:                          ( а,b є F₁)( φ(аb)= φ(а)φ(b)).                                                                         

Определение 3. Два поля F₁ и F₂ называются изоморфными, если существует хотя бы один изоморфизм поля F₁ на поле F₂.

Обозначение: <F₁,+,*>=<F₂,+,*>.

Свойства  изоморфизмов полей:

1. Изоморфизм φ поля F₁ на поле F₂ переводит нулевой элемент поля F₁ в нулевой элемент поля F₂.

Пусть элементу 0 соответствует элемент  с’ из F₂. Берем произвольный элемент из F₁ и соответствующий ему элемент ’ из F₂. Тогда элементу α+0 должен соответствовать элемент ’+ с’, но α+0=α, поэтому ’+ с’=’, откуда с’=0’.

2. Изоморфизм φ поля F₁ на поле F₂ переводит противоположный элемент к элементу а₁ из F₁ в противоположный элемент к элементу а₂ из F₂.

Пусть элементу -a соответствует элемент d’ из F₂. Тогда элементу a+(-a)=0 должен соответствовать элемент a’+d’, то есть a’+d’=0’, откуда d’=-a’. 

3. Изоморфизм  φ поля F₁ на поле F₂ переводит единичный элемент поля F₁ в единичный элемент поля F₂.

Пусть элементу 1 соответствует элемент  k’ из F₂. Берем произвольный элемент из  F₁ и соответствующий ему элемент ’ из F₂. Тогда элементу α+0 должен соответствовать элемент ’+ с’, но α+0=α, поэтому ’+ с’=’, откуда с’=0’.

4. Изоморфизм φ поля F₁ на поле F₂ переводит взаимно обратные элементы поля F₁ во взаимно обратные элементы поля F₂. 

Пусть элементу соответствует элемент m’ из F₂. Тогда элементу α=1 должен соответствовать элемент ’+m’, то есть ’+m’=1’, откуда m’=’.                      

    Отношение изоморфизма полей, заданное на каком-нибудь множестве полей является отношением эквивалентности на этом множестве.

(А.Г.Курош. Курс высшей алгебры)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

§ 2. Подполя

Определение 1. Непустое подмножество Н множества F называется подполем поля F, если оно само является полем относительно бинарных операций, заданных в поле F.

Обозначение: <Н,+,*> ≤ <F,+,*> .

Примеры: 1) F≤ F;

                  2) <Q,+,*> ≤ <R,+,*> ≤ <C,+,*>.

Теорема: Критерий подполя.

                Непустое подмножество Н множества F является подполем поля F тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

                 1) Н замкнуто относительно  бинарной операции  сложение, заданной  в поле F: ( а,b є Н)(а+b є Н);

                 2) Н замкнуто относительно  бинарной операции  умножение, заданной в поле F: ( а,b є Н)(аb є Н);

                 3) Н замкнуто относительно  взятия противоположного  элемента:    ( а є Н)( -а є Н);                

                 4) Н замкнуто относительно  взятия обратного  элемента:                    ( а є Н\{0})( а^-1 є Н).

Доказательство:

1. Пусть Н – подполе поля F. Тогда по определению подполя Н само является полем относительно бинарных операций, заданных в поле F, то есть Н замкнуто относительно сложения и умножения и содержит противоположный для каждого своего элемента и обратный для каждого ненулевого элемента.
2. Пусть для множества Н выполняются условия 1 – 4 теоремы. Так как множество Н является подмножеством множества F, то все элементы множества Н содержатся во множестве F. В поле F для всех элементов имеют место коммутативный и ассоциативный законы сложения и умножения, а также дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Следовательно, эти законы имеют место и во множестве Н.                                                                                                                 По условию 3)  ( а є Н)( -а є Н). Тогда (из условия 1) а+(-а)=0 є Н;       следовательно, 0 є Н.

По  условию 4)  ( а є Н\)( а^-1 є Н). Тогда (из условия 2) аа^-1=1 є Н;      следовательно, 1 є Н.

          Следовательно, множество Н –  поле по определению.

Теорема доказана.

(Куликов Л.Я. алгебра и теория чисел) 

§ 3. Некоторые важные типы расширений

    Расширение  К поля Р называется конечным, если в поле К существуют такие элементы a₁ . . ., а_п, что любой элемент βК единственным образом записывается в виде линейной комбинации этих элементов с коэффициентами из поля Р: