Теория Галуа

c=b+(c-b)

Причем вектор с - b содержится в подпространстве N(j), так как

(c-b)j=cj-bj=d-d=0

    Из  того, что размерность суммы двух подпространств равна сумме размерностей этих пространств минус размерность их пересечения и вытекает утверждение теоремы.

Определение: Линейное преобразование линейного пространства Р называется невырожденным, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. Ранг преобразования равен n.
2. Областью значений преобразования служит все пространство P.
3. Дефект преобразования равен нулю.
4. Различные векторы пространства Р имеют при преобразовании различные образы.

Действительно, если преобразование обладает свойством 4, то ядро этого преобразования состоит лишь из нулевого вектора, то есть выполняется свойство 3.  Если же векторы a и b таковы, что ab но a, то a-b, но (a-b) =0, то есть свойство 3 не выполняется.

Из 2 и 4 вытекает.

5. Преобразование является взаимно однозначным отображением пространства Р на все это пространство.
6. Для преобразования существует обратное линейное преобразование  .

    Определение: Пусть G и G' – произвольные группы. Отображение группы G в группу G' называется гомоморфизмом (или гомоморфным отображением), если оно произведение переводит в произведение, то есть для любых элементов g₁,g₂ группа G имеет место равенство 

    Определение: Если , то есть для любого элемента              g'существует такой элемент g, что g', то называется эпиморфным отображением (или эпиморфизмом) группы G на группу

    Теорема:  Пусть дан гомоморфизм группы G на группу G' и пусть А - ядро этого гомоморфизма. Тогда группа G' изоморфна фактор-группе G/А, причем существует такое изоморфное отображение групп на вторую, что результат последовательного выполнения отображений и совпадает с естественным гомоморфизмом группы на фактор-группу G/А.

    В самом деле, пусть x' - произвольный элемент группы G', а x – такой элемент группы G, что x. Так как для любого элемента из ядра А (то есть нормального делителя) гомоморфизма имеет место равенство то ( , то есть все элементы смежного класса xА отображаются в элемент x’.

    С другой стороны, если z – любой такой элемент группы G, что , то ,

то есть содержится в ядре  А гомоморфизма . Если мы положим , то z=x, то есть элемент z содержится в смежном классе xA. Таким образом, собирая все те элементы группы G, которые при гомоморфизме отображаются в фиксированный элемент x' группы G', мы получаем точно смежный класс xA.

    Соответствие  , относящее каждому элементу x' из G' тот смежный класс группы G по нормальному делителю А, который состоит из всех элементов группы G, имеющих x' своим образом при , будет взаимно однозначным отображением группы G' на группу G/A. Это отображение будет изоморфизмом, так как если x′, то есть x, то (xy), а поэтому (x'y').

    Наконец, если x – произвольный элемент из G и x, то (x, то есть последовательное выполнение гомоморфизма и изоморфизма на самом деле отображает элемент x в пораждаемый им смежный класс xA. Теорема доказана.

    (А.Г. Курош. Курс высшей алгебры) 

    Пусть - произвольные поля. Их композитом К называется минимальное поле, содержащее как поле , так и поле . Существование поля К следует из того, что его можно определить как пересечение всех полей, содержащих оба поля . Примером композита является расширение Р(), порожденное числами . Это расширение будет композитом расширений Р().

    Простой и пригодный во всех интересных случаях  способ построения композита описывается следующей теоремой.

    Теорема: если поля являются расширениями некоторого поля Р, причем существуют такие числа

    Доказательство: Действительно, так как Р⊂то поле содержит поле . Поэтому в силу минимальности композита К⊂ С другой стороны, , ибо ⊂К и

    Применим  эту теорему к случаю, когда  числа  алгебраичны над Р, то есть к случаю, когда поле является алгебраически порожденным (конечным) расширением поля Р.

    Алгебраические  над полем Р числа алгебраичны и над полем Поэтому любой элемент поля выражается в виде многочлена от с коэффициентами из поля Отсюда вытекает, что любой элемент поля К можно представить в виде  

где (именно cуть некоторые одночлены от ). Таким образом доказывается следующее утверждение.

    Теорема: если хотя бы одно из расширений поля Р конечно, то любой элемент их композита К имеет вид (1).

    (М.М.  Постников. Теория Галуа) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ГЛАВА 2: Группы и поля Галуа

      § 1. Нормальные расширения

    Во  всей этой главе предполагается заданным некоторое фиксированное поле P. Будем называть это поле основным полем. Все другие поля - это расширения основного поля.

    Определение 1: Пусть f(x) - произвольный многочлен над полем P. Расширение P (α₁, …, α_n) поля Р, порожденное всеми корнями α₁, …, α_n многочлена f(x), называется полем разложения этого многочлена. Любой элемент поля Р(α₁, …, α_n) выражается в виде многочлена от α₁, …, α_n с коэффициентами из поля Р.(согласно теореме о разложении элемента на многочлен от s неизвестных § 4 главы 1).

    Определение 2: Конечное расширение К поля Р называется нормальным расширением, если любой неприводимый над Р многочлен, имеющий в К хотя бы один корень, разлагается в К на линейные множители. Т.е. расширение К поля Р нормально, если выполняются следующие два условия:

1. К конечно над Р;
2. если неприводимый над Р многочлен имеет в К хотя бы один корень, то К содержит поле разложения этого многочлена.

    Определение 3: Нормальные расширения основного поля Р также называются нормальными полями.

    Определение 4: Два алгебраических (над полем Р) числа называются сопряженными (над Р), если их минимальные многочлены (над Р) совпадают (отличаются на постоянный множитель). Другими словами, алгебраические числа сопряжены, если они являются корнями одного и того же неприводимого над Р многочлена.

    Понятие сопряженных чисел позволяет  переформулировать определение  нормального расширения.

    Определение 2^*: расширение К поля Р нормально, если

1. К конечно над Р;
2. любое число, сопряженное некоторому числу из К, также принадлежит К.

Эта форма определения нормального  расширения часто наиболее удобна.

    Теорема 1: Любое нормальное поле является полем разложения некоторого многочлена.

    Пусть К – произвольное нормальное расширение поля Р. Так как поле К, по определению, конечно над Р, то существуют такие  элементы α₁, …, α_s принадлежащие К, что К=Р(α₁, …, α_s).

    Пусть f_i(x) – минимальный многочлен числа α_i, i=1,…,s, над полем Р. Так как поле К нормально (т.е. являются нормальным расширением поля Р), то многочлены f_i(x), имеющие в нем корни, разлагаются в К на линейные множители. Следовательно, в поле К разлагается на линейные множители и произведение f(x)=f₁(x)…f_s(x) многочленов f₁(x),…,f_s(x), то есть поле К содержит поле разложения Q многочлена f(x). С другой стороны, числа α₁, …, α_s являются корнями (не всеми!)  многочлена f(x), и потому поле К содержится в поле Q. Следовательно, К=Q. 

    Теорема 2: Любое поле, являющееся полем разложения некоторого многочлена (над полем Р), будет нормальным расширением поля Р.

    Пусть К – поле разложения некоторого многочлена f(x) над полем Р. Тогда, как уже выше отмечалось, любой элемент β поля К записывается в виде многочлена от корней α₁, …, α_n многочлена f(x), т.е. существует такой многочлен       g (x₁, …, x_n) от n неизвестных x₁, …, x_n , что β= g (α₁, …, α_n).

    Рассмотрим  многочлен  (x)= G(x; α₁, …, α_n), где G(x; x₁, …, x_n) – многочлен G(x; x₁, …, x_n)= (x- (x₁, …, x_n)), построенный для многочлена              g (x₁, …, x_n). По определению

    

(x)=

где β_i = g_ai(α₁, …, α_n) принадлежит K.

    Согласно  выше сказанному, коэффициенты многочлена (x) выражаются в виде многочленов над полем Р от элементарных симметрических многочленов от α₁, …, α_n, т.е. выражаются в виде многочленов от коэффициентов многочлена f(x). Следовательно, (x) является многочленом над полем Р.

    Минимальный многочлен h(x) числа β (над полем Р) имеет с многочленом (x) общий корень β=β₁ и поэтому делит многочлен (x). Следовательно, все корни многочлена h(x), т.е. все числа, сопряженные с числом β, содержатся среди чисел β₁, …, β_n! и поэтому принадлежат полю К.

    Таким образом, мы доказали, что все числа, сопряженные с любым элементом расширения К принадлежат К, следовательно, поле К нормально.

(М.М.  Постников. Теория Галуа) 

    § 2 Автоморфизмы полей. Группа Галуа

    Определение 1: взаимно однозначное отображение S некоторого поля К на себя называется автоморфизмом, если оно сумму переводит в сумму, а произведение в произведение, т.е. если для любых элементов α, β поля К

    (α+β)^s=a^s+β^s,

                    (αβ)^s=α^sβ^s                            (1)

(элемент,  в который при автоморфизме  S переходит элемент α, мы обозначаем через α^s).

    Подчеркнем, что автоморфизм должен быть взаимно  однозначным отображением (преобразованием), т.е., кроме условий (1), он должен удовлетворять также следующим требованиям:

1. для любого элемента α принадлежащего К элемент α^s однозначно определен и принадлежит К;
2. если α≠β , то α^s≠β^s;
3. для любого элемента β принадлежащего К существует такой элемент α принадлежащий К, что α^s=β.

    Из  условия 2 следует, что предусмотренный условием 3 элемент α определен однозначно. Следовательно, обозначая этот элемент через :

                                                                 

мы получим  некоторое преобразование S^-1 (так называемое обратное преобразование). Это преобразование однозначно характеризуется тем, что для любого элемента α принадлежащего К      

    (

)^s=α.          (2)

     , из этого следует  , а из условия 2. можем сделать вывод, что  

    Оказывается, что преобразование S^-1 также является автоморфизмом. Действительно, для любых элементов α и β, принадлежащих К

    (

  )^s=( )^s+(   )^s=α+β

    И, следовательно, по определению,

    (α+β)

  =a   +β .

    Аналогично  доказывается, что

      .

    Из  формулы, что 

    Определение 2: Произведением ST двух автоморфизмов S и T называется преобразование, получающееся в результате последовательного выполнения сначала преобразования S,  а затем преобразования Т; для любого элемента α, принадлежащего К, элемент α^ST определяется формулой  α^ST=(α^S)^T.