Стереографические проекции

Отрезок ED, являющийся линией пересечения плоскости ∑ с плоскостью проекций П´, будет линией простирания (горизонталью) плоскости, а точка U´ - стереографической проекцией её линии падения. Истинное падение плоскости направленно от точки U´ к точке O´.

    Центр стереографической проекции плоскости можно определить и совмещением плоскости разреза, проходящей через линию падения плоскости, с плоскостью основного круга (рис.1.8). При совмещении центр проекций S₀ совпадает с точкой D, а профиль линии падения U₀B₀ составит с её проекцией угол а^∑. Проецирующие лучи S₀U₀B и S₀B₀, проведённые к точкам U₀ и B₀ пересечения линии падения плоскости с поверхностью сферы, определят на чертеже точки U´ и B´ ,принадлежащие искомой окружности d´.Отрезок B´U´ является её диаметром. Разделив его пополам, определяет центр стереографической проекции плоскости – точку F.

   Точку F можно найти, не прибегая к построению точки B´. Так как построенные точки E,U´ и D принадлежит окружности d´, являющейся стереографической проекцией плоскости ∑, то перпендикуляр, проведённый через середину хорды DU´ (или EU´) в пересечении с направлением падения плоскости определит точку F- её центр.

    В решении практических задач  стереографическую проекцию плоскости изображают дугой окружности в пределах основного круга (рис.8.9). Дуга ED является проекцией верхней полудуги окружности d – линией пересечения плоскости ∑ с верхней полусферой . Проекцию нижней полудуги, которая выходит за пределы основного круга, на чертеже не показывают. Стереографическую проекцию плоскости можно построить и без выполнения разреза по линиям падения плоскости. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Вернёмся к рис. 8.7, а, на котором изображён профиль такого разреза. Точка F₀ делит гипотенузу прямоугольного треугольника B´₀S₀U´₀ пополам, следовательно, она является центром описанной около этоготреугольника окружности. Треугольник B´₀F₀S₀, стороны F₀B´₀ и F₀S₀ которого равны как радиусы этой окружности, является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы равны: ÐF₀B´₀S₀=ÐF₀S₀B₀. Но выше было доказано, что ÐF₀B´₀S₀=ÐB₀U₀S₀=β. Тогда ÐF₀B´₀S₀=ÐF₀S₀B´₀=β. Проецирующий луч SF, проведённый из точки S к центру окружности - точке F, составляет с главным лучом угол φ, величину которого можно определить из прямоугольного треугольника B´₀O₀S₀, в котором ÐO₀B´₀S₀ +ÐO₀S₀B₀=90⁰или 2β+φ=90⁰. Ноβ=(90⁰-а^∑)/2, где а^∑ - угол падения плоскости ∑. Подставив значение угла β, получим: 2(90⁰-а)/2+φ=90⁰, откуда  φ=а.

   Из рис. 8.9 видно, что прямоугольный треугольник SOF равен прямоугольному треугольнику DOF, расположенному в плоскости основного круга (они имеют общий катет OF, а катеты OS и OD равны как радиусы сферы).Следовательно, ÐFSO=ÐFDO=а^∑. Доказанное равенство углов позволяет значительно проще определить центр стереографической проекции   плоскости. Построения при этом проводят в следующем порядке. (рис. 1.10);

   стрелкой отмечают направления падения плоскости и проводят линию простирания плоскости, которая пересекает основной круг в точках Е и D;

   определяют центр стереографической проекции плоскости, для чего в точке D (или E) строят угол а^∑, равный углу падения плоскости. Пересечение его стороны с направлением падения плоскости и определяют искомую точку F. Следует заметить, что точка F всегда расположена от точки О в сторону падения плоскости;

  стереографическую проекцию плоскости записывать в следующей форме : ∑(˘ED).

   Нормаль n к плоскости ∑, проведённая в точке О, пересекает сферу в точке N, которая носит название полюса плоскости(см. рис. 8.9 и 8.11). Угол падения нормали дополняет угол падения плоскости до 90⁰:

                                            аⁿ+а^∑=90⁰.

Стереографическую проекцию нормали можно построить  вышеизложенным способом как проекцию прямой, заданной направлением и углом падения:

βⁿ=(90⁰-аⁿ)/2. Но аⁿ=90⁰-а^∑, тогда βⁿ=а^∑/2. Стереографическую проекцию полюса – точку N´называют гномостреографической проекцией

плоскости ∑ (рис. 8.12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

В геометрической кристаллографии проводят нормали к каждой грани кристалла и получают пучок прямых, сходящихся в центре сферы. Этот пучок точно и однозначно передаёт угловые соотношения  положения граней кристаллов. Совокупность проекций полюсов называют стереографической проекцией кристалла.

    При изменении пространственного расположения плоскости изменяется и её стереографическая проекция, а следовательно, и проекция полюса (рис. 8.13).При горизонтальном расположении плоскости Г её стереографическая проекция совпадает с основным кругом проекции: Г≡h. Проекция полюса этой плоскости совпадает с центром основного круга: О´≡N¹_Г. При увеличенииугла падения плоскости кривизна дуги её стереографической проекции уменьшается, а проекция полюса приближается к основному кругу. При вертикальном расположении плоскости её  стереографическая проекция вырождается в прямую линию, проекция полюса расположится на основном круге.

   Если из центра основного круга провести окружность радиусом  ОU´^∑  (точкаU´^∑ является стереографической проекцией линии падения плоскости ∑(˘АВ)), то любая точка U´^∑ этой окружности может быть стереографической проекцией линии падения другой плоскости Λ(ED) пространства, имеющей  такой же угол падения (рис.8.14). Плоскости ∑ и Λбудут отличаться друг от друга только направлением падения (азимутов падения ).

   Прямая, принадлежащая плоскости, должна иметь две общие точки с этой плоскостью. Точкой, общей для прямой и плоскости, является прежде всего центр сферы, через который проходят и прямая и плоскость. Второй общей для них точкой будет точка пересечения прямой с дугой окружности, по которой плоскость пересекает верхнюю полусферу (рис. 8.15). Из сказанного следует, что стереографические проекции прямых а и т, принадлежащих наклонной плоскости ∑(´ЕD), расположатся на дуге ED – стереографической проекции этой плоскости. Проекции прямых b и h, принадлежащих горизонтальной плоскости , расположатся на основном круге. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Углы между кривыми, принадлежащими поверхности сферы, проецируются на плоскость проекций равными им углам, составленными стереографическими проекциями этих кривых. Под углом между кривыми понимают линейный угол, составленный касательными к этим кривым, проведённым в точке их пересечения. На рис.1.17 через точку А сферы проведены кривые lи tи касательные к ним прямые т и n. Докажем, что стереографическая проекция угла равна величине самого угла: ÐСА´В=ÐСАВ. Для этого продолжим максимальные касательные т и n до пересечения их в точках Е и D, c плоскостью Г, проведённой через точку S параллельно плоскости проекции П´. Точки Е и D соединим прямыми линиями с точкой S. Треугольники EAD и ESD равны, так как имеют общую сторону ED, а стороны ЕА=ES и DA=DS как отрезки касательных к сфере, проведённых попарно из точек E и D. Из равенства треугольников вытекает равенство углов <ESD=<EAD. Стороны углов ESD и CA´B являются линиями пересечения граней EAS и DAS трёхгранного угла параллельным плоскостям П´ и Г. Тогда ÐESD=ÐCA´B как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонам. Из последнегоравенства следует, что угол , составленный касательными к двум кривым на сфере, проецируется в стереографической проекции без искажения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     РЕШЕНИЕ ПОЗЦИОННЫХ И МЕТРИЧЕСКИХ  ЗАДАЧ В СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИХ  ПРОЕКЦИЯХ

  Как  отмечалось выше , стереографические проекции применяют в основном для решения метрических задач, связанных с определением углов , составленных двумя направлениями, двумя плоскостями, и т.д. Однако методом стереографических проекций возможно решение и некоторых позиционных задач , связанных с расположением двух геометрических элементов относительно друг друга: построение проекции прямой или плоскости по заданному условию, проведение через прямую плоскости, построение линии пересечения двух плоскостей  и т.п. Ниже приведены примеры решения некоторых позиционных и метрических задач, служащих графической основой решения целого ряда практических задач горного и геологоразведочного производства. 

Построение  проекции прямой по заданному условию

Построить стереографическую проекцию наклонной прямой т (аз. пад. ЮВ 117° Ð 28⁰) и горизонтальной прямой h (аз. пр. СВ 63°) (рис.1.18).

Решение

1. Из центра основного круга — точка О'  проводят прямую, 
составляющую  угол   117°  с  северным  направлением  меридиана.

2. Исходя из величины угла падения прямой, определяют угол β:

Β= 90-α=90-28=31

3.      Через точку О' перпендикулярно к направлению падения проводят прямую до пересечения ее в точке S₀ с основным кругом стереографической проекции. Построив в точке 5 угол β= 31°, продолжают его сторону до пересечения в точке М' с направлением восстания прямой. Точка М' и будет стереографической проекцией наклонной прямой т.

          Прямая h горизонтальна, поэтому ее стереографическая проекция будет располагаться на основном круге. Для построения этой проекции через точку О' проводят прямую, которая с северным направлением меридиана составляет угол 63°. Точка Н’ пересечения этой прямой с основным кругом и является стереографической проекцией горизонтальной прямой h. 
 
 
 
 
 
 
 

     Построение  стереографической  проекции плоскости  по заданному условию

Построить стереографические проекции наклонной  плоскости Σ (аз. пад. ЮЗ 118° Ð35°) и вертикальной плоскости Л (аз. пр. СВ 63°)

Решение

1. Из  точки О' проводят прямую, составляющую угол 118° с северным направлением меридиана. Стрелкой отмечают направление падения плоскости.

2. Через точку О' перпендикулярно к направлению падения про 
водят линию простирания плоскости, которая пересекает основной 
круг в точках Е и D.

3. В точке Е (или D) строят угол, равный углу падения плоскости. 
Пересечение его стороны с направлением падения определяет 
центр FΣ" стереографической проекции плоскости. Из точки FΣ  радиусом 
FΣE проводят дугу ED, которая и является стереографической 
проекцией плоскости Σ. Стереографической проекцией линии 
падения этой плоскости будет точка U' пересечения направления 
восстания с дугой ED — стереографической проекцией плоскости.

Для построения проекции плоскости Λ через точку  О' проводят прямую, которая составляет с северным направлением меридиана угол, равный 63°. Отрезок  АВ и будет стереографической проекцией вертикальной плоскости Λ. 
 
 
 
 
 
 
 

     Взаимное  расположение прямой и плоскости

Через прямую т (М') провести плоскость Σ, азимут простирания которой был бы равен ЮВ 127° Определить угол падения плоскости (рис. 8.22).

Решение

1)Через  точку О´ проводят линию простирания плоскости. С северным направлением меридиана её проекция составляет угол 127⁰. Отмечают точки Е и В пересечения линии простирания с основным кругом проекции.

2)Определяют направление падения плоскости, учитывая при этом, что с направлением простирания оно составляет угол 90⁰ и стереографическая проекция прямой т (М ´) должна располагаться от точки О ´ в направлении восстания плоскости ∑.

 3)Определяет центр стереографической проекции плоскости – точку F. Точки Е, М´ и D принадлежат дуге, являющейся стереографической проекцией плоскости ∑.

 Перпендикуляр  к хорде М´ D, проведённый через её середину, в пересечении с направлением падения плоскости определит искомую точку F. Дуга окружности, проведения из точки F радиусом F´M´ до  пересечения её в точках Е и D с основным кругом, является стереографической проекции плоскости ∑. Для определения угла падения плоскости точку соединяют с точкой Е (или D). Построенный угол FEO равен углу падения плоскости: а=27⁰.