Министерство  образования и  науки Российской Федерации

     НИ  ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

     Кафедра начертательной геометрии и технического черчения

     Реферат:

     «Стереографические  проекции»

Выполнил  студент группы РТФ-10-2:

     Ильгамов  В. Г

                                                     Проверил: доцент Горбань А.В.

 
 
 
 
 
 
 

Иркутск 2010 г.

Оглавление

     сущность метода стереографических проекций 2

     прямая линия и плоскость в стереографических проекциях 3

     Прямая линия 3

     Плоскость 7

     РЕШЕНИЕ  ПОЗИЦИОННЫХ  И  МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ  В СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ 18

     Построение проекций прямой по заданному условию 18

     Построение стереографической проекции плоскости по заданному условию 19

     Взаимное расположение прямой и плоскости 20

     Взаимное расположение двух плоскостей 21

     Список использованной литературы 22

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Сущность метода стереографических проекций

Стереографические проекции нашли  широкое применение в геометрической кристаллографии при составлении проекции кристаллов, а также рои решении горно-геологических задач, связанных с определением  угловых величин, составленных двумя прямыми, двумя плоскостями, прямой и плоскостью и т.д.

    Сущность этого метода заключается в следующем. Заданные в пространстве прямые и плоскости переносят параллельно самим себе и одну точку, около которой описывают сферу. Точки и линии пересечения прямых и плоскостей со сферой проецируют из точки S на горизонтальную плоскость проекций П´ (рис.8.1), проходящую через центр сферы. Точку зрения располагают в нижней точке сферы (точке надира). Плоскость проекции П´ пересекает сферу по окружности (экватору), которая носит название основного круга проекций. Диаметр основного круга равен диаметру сферы и при решении практических задач его берут обычно равным 20 см.

В решении  задач геометрической кристаллографии на плоскости П´ проецируют из двух центров, которые располагаются в нижней и верхней точках сферы.

                                                                                                        Стереографическая проекция обладает следующими свойствами:

1)проекции  всех точек верхней полусферы  располагаются внутри основного  круга;

2)стереографическая  проекция плоскости в общем случае является окружностью. В частном случае её проекция  вырождается в прямую линию (когда изображается вертикальная плоскость);

3)углы, составленные  проекциями плоскостей, равны углам между этими плоскостями  в пространстве, т.е. эти проекции конформны. Указанное свойство и позволяет использовать стереографические проекции при определении угловых величин для решения задач. 
 
 
 
 
 

Прямая линия и плоскость в стереографических проекциях

Прямая  линия

Стереографическая проекция прямой определяется стереографическими проекциями точек пересечения её с поверхностью сферы, через центр которой эта прямая проходит, (рис.8.2,а). Так как прямая  т в пространстве проходит через центр сферы, то её стереографическая проекция т´ будет проходить через центр основного круга - точку О´ (рис.8.2б).Точки пересечения прямой с поверхностью сферы, а также их стереографические проекции могут быть определены по профилю разреза, выполненного плоскостью Λ по направлению прямой т (рис.8.2.в).

    Плоскость разреза Λ пересекает сферу по окружности t₀, а плоскость П´ - по прямой h_0.Пересечение окружности t₀ с профилем т₀ определяет точки М₀ и В₀ пересечения прямой т с поверхностью сферы.Проецирующие лучи, проведённые из точки S к точкам  М₀ и В₀в пересечении с прямой h₀ определяют стереографические проекции этих точек – точки М´₀ и В´₀. Расстояние этих точек от точки О₀ можно на разрезе равно расстоянию

от их стереографических до центра основного круга: О₀В´₀= О´В´ и О´₀М´_0.

Заметим ,что угол В´₀S₀М₀, составленный проецирующими лучами, проведёнными к точкам М₀ и В₀ пересечения прямой со сферой, равен 90⁰ как угол, опирающийся на диаметр В₀М₀ окружности t₀.

    Для построения стереографической проекции прямой достаточно построить проекцию точки М, пересечения прямой с верхней полусферой, так как проекция такой точки всегда располагается в пределах основного круга. Проекция точки М и центр основного круга точка О однозначно определяет на чертеже пространственное расположение прямой т и стереографическая проекция прямой т определяется только одной точкой-проекцией точки пересечения с верхней полусферой. Условимся определитель прямой записывать в следующей форме: т(М´).   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Стереографическую проекцию точки М можно построить совмещением плоскостиразреза Λ с плоскостью основного круга (рис.8.3,а). Вращение производит вокруг линии ОМ´ пересечения плоскости разреза с плоскости П´. При совмещение окружность  t разреза совпадает с основным кругом, главный луч SO займет положение, перпендикулярное  к проекции прямой, центр проекции   S расположится на основном круге в точки О, профиль прямой m пройдет через точку О и составить с направлением восстания угол а.

    Пересечение профиля т₀ с основным кругом определяет точку М₀ пересечения прямой с поверхностью сферы. Точка М´ пересечения проецирующего луча S₀M₀ с направлением восстания прямой является стереографической проекцией прямой т(рис 8.3,б). Стереографическую проекцию точки М можно построить и без разреза сферы по направлению прямой (рис.8.3,в), если учесть, что угол β прямоугольного треугольника S₀O´M´, гипотенуза S₀М´ которого в пересечении со стереографической проекцией прямой т определяет точку М´, равен (90⁰ –а)/2, где угол а - угол падения прямой т. Это равенство вытекает из равнобедренного треугольника S₀O´M´, в котором ÐО´S₀M₀=ÐO´М₀S₀=β, а ÐS₀O´М₀=90⁰+а. Тогда 90⁰+а+2β=180⁰, откуда β= (90⁰-а)/2.

Падение прямой направлено от точки М´ к центру основного круга. Расстояние от стереографической проекции прямой до центра основного круга зависит от угла падения прямой.

    Как видно из рис.8.4, при горизонтальном расположением прямой её стереографическая проекция М´ приближается к центру основного круга. При вертикальном расположении стереографическая проекция прямой совпадает с центром основного круга: Т´≡О´. Если из центра основного круга провести окружность радиусом

О´М´, то каждая точка N´,D´,L´,…этой окружности может быть стереографической проекцией прямых n,d,l,…, углы падения которых равны углу падения прямой т. Эти прямые будут отличаться друг от друга только направлением падения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     
 
 
 

Плоскость

  Как отмечалось выше, стереографическая проекция плоскости является окружность ∑, которая пересекает сферу по окружности d. При проецировании этой окружности на плоскость проекций  П´ проецирующие лучи, проведённые через её точки, образуют в пространстве коническую поверхность, которую относят к группе эллиптических с круговой направляющей d. Плоскость П´ пересекает эту поверхность по кривой d´, которая и будет стереографической проекцией  плоскости ∑. Кривая d´является окружностью.

    Для доказательства этого обратимся к рис. 8.6, а, на котором изображена коническая поверхность с круговой направляющей d, расположенной в горизонтальной плоскости Г.  Диаметр АВ направляющей при своём продолжении пересекает в точке К перпендикуляр, опущенный из точки S на плоскость Г. Перпендикуляр SK и диаметр АВ как две пересекающиеся прямые определяют в пространстве плоскость симметрии этой поверхности – Ω, которая пересекает коническую поверхность по образующим t и t¹.

Коническая  поверхность с круговой направляющей обладает двумя семействами круговых сечений. Первое семейство круговых сечений образует плоскости, проведённые  параллельно плоскости Г. Направление  второго семейства может быть получено пересечением конической поверхности плоскостью Λ, проведённой перпендикулярно к плоскости симметрии Ω так, чтобы линия n пересечения этих плоскостей с образующими t и t¹ составляла углы, равные соответствующим углам, составленным этими образующими и диаметром АВ направляющей d: ÐSCD=ÐSBA;  ÐSDC=ÐSAB.

    Прямая n, пересекаясь с образующими t и t¹ и диаметром АВ, отсекает на плоскости треугольники АСЕ и DBE, в которых по построению<САЕ=<BDE, ÐACE=ÐDBE, а ÐСЕА=ÐBED-углы вертикальные. Из сказанного следует, что треугольники АСЕ и DBE подобны. Плоскость Λ пересекает коническую поверхность по кривой т, точки С и D которой принадлежат образующим t и t´. Полученная кривая является окружностью, а отрезок CD –её диаметром. Доказательством тому служит известное положение: если из произвольной точки R  окружности опустить перпендикуляр RP на её диаметр MN, то МP·PN=PR²и обратно: если для произвольной точки R кривой и некоторой прямой MN имеет место приведённое равенство, то эта кривая является окружностью (рис.8.6,б). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Отпустим из точки F кривой d перпендикуляр FE на диаметр АВ. Так как кривая d является окружностью, то на основании изложенного: АЕ·ЕВ=FE². Но точка F принадлежит кривой т, а отрезок FE перпендикулярен отрезку CD прямой n. В подобных треугольниках АСЕ и DBE имеет место пропорция СЕ/AE=BE/DE, откуда CE·DE=AE·BE. Но АЕ·ВЕ=FE², тогда СЕ·DE=FE². Из последнего равенства следует, что кривая т является окружностью. Таким образом, второе семейство круговых сечений рассматриваемой конической поверхностью образует плоскости, проведённые параллельно плоскости Λ.

    Изложенное положение относится и к расположению плоскостей ∑ и П´ относительно образующих SB´ и SU проецирующей конической поверхности(см. рис. 8.5). Как видно из рис. 8.7,а, на котором изображён профиль разреза сферы по направлению линии падения плоскости ∑, в прямоугольных треугольниках U₀S₀B₀ и B´₀O₀S₀  угол ÐU₀B₀S₀=ÐB₀S₀O₀(равные углы равнобедренного треугольника O₀S₀B₀), тогда и ÐS₀U₀B₀=ÐS₀B´₀О_0. Из последнего равенства вытекает равенство углов в прямоугольных треугольниках U₀B₀S₀ и В´₀S₀U´₀ :<S₀U₀B₀=<S₀B´U´₀, следовательно, и ÐS₀U₀B₀=ÐS₀U´₀B₀. Итак, образующие SB´ и SU конической поверхности (см. рис.8.5) составляет с плоскостями ∑ и П´ углы, попарно равные друг другу (рис. 8.7,а):

ÐS₀B´₀U´₀=ÐS₀U₀B₀;

ÐS₀U´₀B´₀=ÐS₀U₀B_0.

Из равенства  улов следует, что плоскость проекций П´ пересекает проецирующую коническую поверхность по окружности d´, которая и является стереографической проекцией плоскости ∑. На разрезе она изобразилась отрезком B´₀U´₀, длина которого соответствует диаметру окружности.

   Построение стереографической проекции плоскости показано на рис.1.7,б. Положение центра F окружности определяют по профилю разреза: O´F=О₀F₀.