Способы решение уравнений

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования современного человека. Практически все, что окружает человека – это все так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0. Квадратные уравнения бывают полными, неполными и приведенными. Способы решений таких уравнений различны: выделение квадрата двучлена, по формуле, по теореме Виета, способ переброски, способы основанные на свойствах и закономерностях коэффициентов квадратного уравнения.  В данной работе мы  показали на примерах все эти способы.

В результате выполнения данной работы  можно сделать следующие выводы:

1. Изучение литературы по теме выполненной работы показали, что использование различных способов решения квадратных уравнений является важным звеном  в изучении математики.
2. Основным этапом в решении квадратных уравнений является правильный выбор рационального способа решения.
3. Способы решения квадратных уравнений, могут быть полезными всем, кто любит математику и находится в поиске наиболее рациональных способов решения квадратных уравнений. Их также могут использовать преподаватели в своей работе при подготовке к факультативным занятиям и при подготовке учащихся к экзаменам.

 

 

 

 

 

 

Список литературы

       1.  Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.

Авторы: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. 
         Издательство «Просвещение», Москва 2009

      2. Окунев А.К. Квадратичные  функции, уравнения и неравенства.   

          Пособие  для учителя. - М., Просвещение, 1972.

       3.  http://arm-math.rkc74.ru/DswMedia/

          resheniekvadratnyixuravneniyrazlichnyimisposobami.doc

      4. http://edu.of.ru/attach/17/76716.doc

      5. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре. Пособие для учителя.

          Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1995.

      6. Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. и др. Математика: Сборник заданий

          для подготовки к ГИА в 9 классе.  Издательство «Просвещение», 2012 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Приложение 1

 

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ.

 

1.Проверить каким является квадратное  уравнение полным или неполным.

 

2.Если уравнение неполное, то  решаем, применяя свойства коэффициентов  или правила нахождения корня  уравнения, определив какому из  трёх случаев (ax² = 0, ax² + bx=0 или ax² + c=0) соответствует данное уравнение.

 

3.Если уравнение полное, то решаем 

 

а) либо по свойствам коэффициентов,

 

б) либо по теореме Виета,

 

в) либо применяя формулу дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения.

 

4.Если квадратное уравнение  задано в неявном виде, например, биквадратное или в таком виде  как в разделе III, то придётся  применить способ замены переменной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 2

 

Решение  уравнений различными способами

Решить уравнение х2 – 4х – 5 = 0.

           Способ 1. Разложение левой части уравнения на множители.

х2 – 4х – 5 = х2 + х – 5х – 5= х (х + 1) – 5 (х + 1) = (х + 1) (х – 5) = 0, х1 = 5, х2 =  – 1.

 

Способ 2. Способ выделения полного квадрата.

х2 – 4х – 5 = (х2 – 2 · 2 · х + 4) – 4 – 5 = (х – 2)2 – 9 = 0, х – 2 = 3 или х – 2 = – 3,

х1 = 5, х2 =  – 1.

  Решите  уравнение х2+8х+16=0

Способ 3. Решение уравнения по формуле.

Решим уравнение х2+8х+16=0 .  а = 1, b = 8, с = 16, D = b2 - 4ac = 82 - 4 • 1 • 16 = 0, D = 0, один единственный корень;  х =-b/2a, х = -8/2•1=-4

 

Способ 4. Теорема Виета.

x1 x2 = - 8,

x1 + x2 = 16,  х1 = -4, х2 =  – 4.

 

Способ 5. Учет коэффициентов.

х2 – 4х – 5 = 0. а = 1, b = - 4, с = - 5, а + с = в, значит х1 = – 1, х2 = -с / а = 5 / 1 = 5. 

х1 = 5, х2 =  – 1.

 

Способ 6. Четный коэффициент b, х2 – 4х – 5 = 0. а = 1, b = - 4, с = - 5,

D1 = (-b /2)2 – а с, х = (-b / 2+- VD1) / a, 

D1 = (-2)2 – 1· (-5) = 4 + 5 = 9,   х1 = (2 + 3) / 1 = 5, х2 = (2 – 3) / 1 = – 1,

    х1 = 5, х2 =  – 1.

 

Способ 7. Графический способ.

х2 +4х – 5 = 0,  х2 = -4х + 5 . Построим параболу у = х2 и прямую у = -4х + 5. Прямую

у =-4х + 5, можно построить по двум точкам М (0; 5) и  N (2; -3).