Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Июня 2013 в 12:23, реферат
С небольшими числами иметь дело очень просто: наборы из трех-четырех предметов легко узнать «в лицо», так что считать их нет необходимости. Но как, к примеру, выяснить, не потерялась ли овца из большого стада? Здесь уже не обойтись без подсчета. Чтобы пересчитать стадо, проще всего использовать камешки: один камешек – один объект, в данном случае овца.
Считать при помощи камешков удобно и просто, если объектов немного.
Делить на 2 очень просто.
Гораздо сложнее прием деления на 3: он состоит в замене деления умножением на бесконечную периодическую дробь 0,333... (известно, что 0,333.. = ) Умножать с помощью счетов на 3 мы умеем; уменьшить в 10 раз тоже несложно: надо лишь переносить делимое одной проволокой ниже. После недолгого упражнения этот прием деления на 3, на первый взгляд длинноватый, оказывается довольно удобным на практике.
Деление на 4, конечно, заменяется двукратным делением на 2.
Еще проще деление на 5: его заменяют делением на 10 и удвоением результата.
На 6 делят в два приема: сначала делят на 2, потом полученное делят на 3.
Деление на 7 выполняется с помощью счетов чересчур сложно, и потому здесь излагать его не буду.
На 8 делят в три приема: сначала на 2, потом полученное вновь на 2 и затем еще раз на 2.
Очень интересен прием деления на 9. Он основан на том, что = 0,1111 ... Отсюда ясно, что вместо деления на 9 можно последовательно складывать 0,1 делимого + 0,01 его и т. д.
Всего проще, как видим, делить на 2, 10 и 5 и, конечно, на такие кратные им числа, как 4, 8, 16, 20, 26, 40, 50, 75, 80, 100. Эти случаи деления не представляют трудности и для малоопытного счетчика. [№1, стр.36-38]
Попробовав на своем опыте нехитрые вычисления на счетах, я осознал всю легкость такого счета. Конечно, мне не хватало долговременной практики, но я уверен, что у опытного мастера счеты в руках – отличная замена карманному калькулятору. Понаблюдать за работой опытного «счетчика» я пошел в ближайший овощной магазин. Там работает продавец, которого я помнил с тех пор, как переехал на свою последнюю квартиру. Уже пожилой торговец, как часто бывает, не мог бросить старый метод и в начале 21-го века все считал на счетах. Да не просто считал, а считал чуть ли не быстрее «продвинутых» с электронными калькуляторами. Это ли не доказательство того, что счеты – изобретение на века?
§2 Умножение и деление без приборов.
Длительное время счет чисел выполняли только устно с помощью каких-либо предметов – пальцев, камешков, ракушек и др., а позже на специальных приборах – абаке, счетах. Только после того, как была изобретена позиционная система счисления и числа стали записывать цифрами индийские мудрецы нашли способ сложения чисел в письменном виде. При вычислениях они записывали числа папочкой на песке, насыпанном на специально приготовленную доску. Цифры, изображенные на песке, легко было стирать, а на их месте записывать другие. Вероятно, этим можно объяснить некоторые особенности индийского приема сложения чисел.
В Древней Индии было принято записывать слагаемые в столбик — одно под другим; сумму же записывали над слагаемыми, сложение начинали с наивысшего разряда, т. е. слева направо. Если записанная в сумме цифра при сложении последующего низшего разряда изменялась, то ранее записанную цифру стирали, а на ее место вписывали новую.
С XV века способ письменного сложения чисел принял современный вид.
Привожу краткую справку о том, когда впервые появились общеупотребительные теперь знаки арифметических действий и другие математические операторы:
+ и - в рукописях Леонардо-да-Винчи (1452-1519). В начале XV века действие сложения стали обозначать начальной буквой слова «плюс» (по латыни Р), что означало «сложить». До этого долгое время слагаемые просто записывали друг против друга без всякого знака. Древние египтяне обозначали сложение особым знаком – рисунком шагающих ног. Название «слагаемое» впервые встречается в работах математиков XIII в., а понятие «сумма» до XV века означало результат любого из четырех арифметических действий. Для обозначения вычитания в III в. до Н. э. В Греции использовали перевернутую букву пси (Ψ). Итальянские математики пользвались для обозначения вычитания буквой μ, начальной в слове «минус». Торговцы XVI в., отливая для продажи вино из бочек, черточкой мелом обозначали число мер проданного вина (вероятно, так произошел знак -). Чтобы отличить знак минус от тире, Л.Ф.Магницкий обозначал вычитание знаком ÷.
Х в сочинении Утреда (1631). Для обозначения действия умножения в XVI в. в Европе употребляли букву М, которая была начальной в латинском слове, обозначавшем увеличение – «мультипликация». В конце XVIII в. большинство математиков стали употреблять для обозначения умножения точку, но допускали и употребление косого креста.
. и : в сочинении Лейбница (1646-1716). На протяжении тысячелетий действие деления не обозначали каким-либо знаком – его просто называли и записывали словом. Индийские математики первыми стали обозначать деление первой буквой этого слова. До знака : у некоторых математиков встречался знак ÷ для обозначения деления.
в сочинении Фибоначчи (1202). Арабы ввели для обозначения деления черту. От арабов этот знак перенял итальянский математик Фибоначчи.
аn в сочинении Шюке (1484)
= в сочинении Р. Рекорда (Риккорда) (1557). Сам Риккорд объяснял этот знак так: «Никакие два предмета не могут в большей степени быть равны между собой, как две параллельные линии». Знак = стал общепризнанным благодаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница.
( ) и [ ] в сочинении Жирара.
Предки наши пользовались гораздо более громоздкими и медленными приемами счисления. И если бы школьник XX века мог перенестись за четыре, за три века назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих арифметических выкладок. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера счетного дела.
Принято думать, что арифметические знаки до известной степени интернациональны, что они одинаковы у всех народов европейской культуры. Это верно лишь по отношению к большинству знаков, но не ко всем. Знаки + и -, знаки х и : употребляются в одинаковом смысле и немцами, и французами, и англичанами. Но точка, как знак умножения, применяется не вполне тождественно разными народами Одни пишут 7 . 8, другие — 7 • 8, поднимая точку на середину высоты цифры. То же приходится сказать о знаке дробности, т. е. о знаке, отделяющем десятичную дробь от целого числа. Одни пишут как мы, 4,5, другие 4.5, третьи 4·5, помещая точку выше середины. Англичане и американцы совсем опускают ноль перед десятичной дробью, чего на континенте Европы никто не делает. В американской книге вы встречаете такие обозначения, как .725 или •725, или даже ,725 — вместо нашего 0,725.
Расчленение числа на классы обозначается также не однообразно. В одних странах разделяют классы точками (15.000.000), в других — запятыми (15,000,000). У нас привился разумный обычай не помещать между классами никакого знака, а оставлять лишь пробел (15000000).
Поучительно проследить за тем, как меняется способ наименования одного и того же числа с переходом от одного языка к другому. Число 18, например, мы называем «восемнадцать», т. е. произносим сначала единицы (8), потом десятки (10). В такой же последовательности читает это число немец: achtzehn, т. е. 8-10. Но француз произносит иначе: 10-8 (dix-huit). Насколько разнообразны у разных народов способы наименования того же числа 18, показывает следующее извлечение из таблицы, составленной одним исследователем:
по-русски ....….. 8-10
по-немецки ..... 8-10
по-французски…10-8
по-армянски ...…10+8
по-гречески ...…. 8+10
по-латыни ....….. без 2 20
по-новозеландски 11+7
по-валлийски …..3+5-10
по-литовски ...…..8 сверх 10
по-айносски …….10 — 2 сверх 10
по-коряцки …….. 3-5 сверх 10
Курьезно наименование для того же числа 18 у одного гренландского племени: «с другой ноги 3». При всей своей необычности это название, естественно, объясняется способом счета по пальцам рук и ног. Сходным образом объясняется карибское наименование числа 18: «все мои руки, 3, моя рука».
Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления — особенно последнее, «Умноженье — мое мученье, а с делением — беда», — говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.
В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках». Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был также и очень интересный, точный, легкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что приделении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. На протяжении своей книги в 640 страниц Леонтий Магницкий («Арифметика» - старинный русский учебник математики, которую Ломоносов называл «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия.
Упоминаются такие способы, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки.
Любимым приемом проверки
был так называемый «способ девятки».
Этот изящный прием нередко
Проверка девяткой основана на «правиле остатков», гласящем: остаток от деления суммы на какое-либо число равен сумме остатков от деления каждого слагаемого на то же число. Точно так же остаток произведения равен произведению остатков множителей. С другой стороны, известно также, что при делении числа на 9 получается тот же остаток, что и при делении на 9 суммы цифр этого числа; например, 758 при делении на 9 дает остаток 2, и то же получается в остатке от деления (7 + 5 + 8) на 9. Сопоставив оба указанных свойства, мы и приходим к приему проверки девяткой, т. е. делением на 9.
Интересно, что и наш
способ умножения не является совершенным;
можно придумать еще более
быстрые и еще более надежные.
Одно из таких усовершенствований увеличивает
надежность выполнения умножения. Оно
состоит в том, что при многозначном
множителе начинают с умножения
не на последнюю, а на первую цифру
множителя. Выглядит это так:
Х 264
52278
2300232
Последнюю цифру каждого частного произведения подписывают под той же цифрой множителя, на которую умножают.
Преимущество подобного расположения в том, что цифры частных произведений, от которых зависят первые, наиболее ответственные цифры результата, получаются в начале действия, когда внимание еще не утомлено и, следовательно, вероятность сделать ошибку – меньшая.
Самым, на мой взгляд, «родным» и легким способом умножения является способ, который был употребителен у русских крестьян. Этот прием вообще не требует знания таблицы умножения дальше числа 2. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. В случае нечетного числа надо откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. [№1, стр. 50] Например:
23 х 17 ·
11 х 34 ·
5 х 68 ·
2 х 136
1 х 272; результат 272 + 68 + 34 + 17 = 391.
§3 Устный счет.
Жизнь для внимательного человека не только удивительно разнообразна, но и гениально проста. В полной мере эта фраза относится и к устному счету. Часто при арифметических действиях над числами можно облегчить свой труд, если знать основы арифметики и обладать некоторой смекалкой. Д.Р.Гончар рассказывает о следующих особенностях чисел, помогающих упростить счет:
Промежуточное приведение к «круглым» числам. Если хотя бы одно слагаемое близко к «круглому» числу десятков, сотен и др., т. е. А*10n – z, где z – сравнительно малое число, то вычисления можно упростить, приведя одно из слагаемых к ближайшему «круглому» числу и выполнив более легкое вычисление (затем, разумеется, учтя поправку).