Способы запоминания чисел

Появилась десятичная система, вероятно, в Индии. Выбор графических  изображений для цифр, разумеется, не принципиален. Современные изображения  цифр – простая стилизация древних  арабских цифр. Марокканский историк  Абделькари Боужибар считает, что арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры.

В десятичной системе каждая цифра несет двойную информацию: свое собственное значение и место, которое она занимает в записи числа (разряд). Такие системы счисления  называются позиционными. Римскую систему  счисления можно скорее назвать  аддитивной, поскольку чосло образуется при сложении и вычитании значений специальных значков. В аддитивных системах счисления выполнять арифметические действия безнадежно – неудивительно, что такие системы не прижились.

Вот запись из дневника одного математика:

«Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился  на 34-летней девушке. Незначительная разница  в возрасте – всего 11 лет –  способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного  лет у меня была уже и маленькая  семья из 10 детей. Жалования я  получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 мне приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц» и т. д.

На первый взгляд странная биография, но только на первый. Разберемся в чем тут дело.

А все дело в том, что  отрывок написан с использованием недесятеричной системы счисления, такой привычной для большинства людей. Можно легко догадаться, какую именно систему использовал автор. Секрет выдается фразой: «Спустя год (полсе 44 лет), 100-летним молодым человеком…» Если в от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, значит цифра 4 – наибольшая в этой системе счисления, т. е. основанием системы является 5. Немного сложнее перевести остальные числа в «родную» десятичную. Например, несложно догадаться, что одна единица третьего разряда равна 5 во второй степени, т. е. 25 (так же в десятичной системе одна единица третьего разряда равна 100, т. е. 10²). А единица второго разряда равна 5¹, третьего – 5⁰. Теперь несложно восстановить реальную биографию чудака-автора.

При желании можно создать  собственную биографию в таком  же роде. Скажем, вам 17 лет. Воспользуемся  для записи возраста четвертичной системой счисления. Разделим 17 на 4:                                               

17 : 4 = 4, остаток 1

Остаток – это и есть число единиц первого разряда. Результат  целочисленного деления снова поделим  на 4:                                              

        4 : 4 = 1, остаток 0

Теперь остаток – число  единиц второго разряда. Ну а последнее  частное – единицы третьего разряда. Теперь составим из наших ответов  число. Получили 101, т. е. 17₁₀=101₄.         

 Помеха может возникнуть  вследствие того, что в некоторых  случаях не будет доставать  обозначений цифр. При изображении  чисел в системах с основаниями  больше 10 может явиться надобность  в цифрах «десять», «одиннадцать»  и т. д. [№1, стр. 56-57]

Обычно для обозначения  их применяют латинский алфавит: «десять» обозначают буквой «А», «одиннадцать» - буквой «В». Когда буквы заканчиваются, ничего не поделаешь – придется обозначать двумя, тремя буквами  сразу, да еще и обводить, скажем, кружочком, чтобы было видно, что  это цифра, а не двузначное число.         

 Нетрудно производить  арифметические действия в разных  системах счисления. Только надо  помнить, что переходить через  разряд надо, когда цифра превышает  максимально допустимую в данной системе. Легко догадаться, что для любой системы такая цифра на единицу меньше основания. Заметим, что в самой «маленькой» из систем – двоичной – выполнять разнообразные арифметические действия с точки зрения умственной нагрузки легче всего, хотя для этого понадобится много времени и бумаги (если считать столбиком). Ну а в целом это дело привычки.        

 Легко доказать, что  в любой системе счисления  выполняются такие положения  (если в системе имеются соответствующие  цифры):                           

121 : 11 = 11                           

144 : 12 = 12                           

21 • 21 = 441. [№1, стр. 67]

 

Глава 2.   Способы запоминания чисел.

§ 1  Различные приспособления для запоминания чисел.

Вероятно, самый древний  способ запоминания чисел – камешками. Сколько камешков – столько предметов надо запомнить. Когда камешков не стало хватать, человек придумал разрядность (системы счисления). Число в таком виде записать легче, например, при помощи узелков. Так делали древние перуанцы, завязывая узелки на нескольких сплетенных вместе веревках. Такой «прибор» назывался «квипос». Он был в принципе эквивалентен нашим счетам и ,без сомнения, связанный с ними общностью происхождения. На таких счетах однократно завязанный узел означал 10, двукратно – 100 и т. д. Однако пользоваться таким прибором нелегко: на завязывание – перевязывание узелков уходит много времени. Выход нашелся – сделать систему подвижной.

Древние   народы — египтяне,   греки,   римляне — употребляли при вычислениях счетный прибор   «абак».   Это была доска (стол), разграфленная на полосы, по которым передвигали особые шашки, игравшие роль косточек наших счетов Такой вид имел греческий абак Абак римский имел форму медной доски с желобами (прорезами), в которых передвигались кнопки. Родственен абаку перуанский «квипос» — ряд ремней или бечевок с завязанными на них узлами этот счетный прибор получит особенное распространение среди первых обитателей Южной Америки, но, без сомнения, был в употреблении также и в Европе.  В средине века, вплоть до XVI века, подобные приспособления были широко распространены в Европе. Но теперь видоизмененный абак — счеты — сохранился, кажется,   только   у  нас,  да   в   Китае   (семикосгочковые счеты — «суан-пан» *) и   Японии   (тоже   семикосточковые счеты — «соробан»).   Каждый   грамотный   человек умеет там выполнять на таких счетах четыре арифметических действия   Между тем Запад почти не знает счетов, — вы не найдете их ни в одном магазине Европы, и только в начальных    школах имеются    огромные счеты  — наглядное классное  пособие при обучении нумерации. Быть может, потому-то мы и не ценим  этого   счетного    прибора   так высоко, как он заслуживает, а смотрим на него как на наивную  кустарную самодельщину в области счетных приборов    Японцы ценят свои счеты высоко. Вот как отзывается  о соробане один японский ученый «Несмотря на свою древность, соробан превосходит все современные счетные приборы легкостью  обращения с ним,  простотою устройства и дешевизною»

Мы тоже вправе были бы гордиться  нашими конторскими счетами, так как при изумительной простоте устройства они по достигаемым на них результатам могут соперничать в некоторых отношениях даже со сложными, дорого стоящими счетными машинами. [№1, стр.34-36, 39-40]

Об арифметических действиях  на счетах будет написано в главе 3.

§2 Современные способы  запоминания чисел.

Самая простая система  счисления – двоичная, так как  она использует только две цифры: ноль и один. Именно такую систему  счисления используют современные  компьютеры. В основном из-за того, что  такой «язык» легок для «понимания»  электронных устройств: наличие  электрического сигнала означает единицу, его отсутствие – ноль. А дальше открываются поистине безграничные возможности для запоминания  самой разной информации – ведь любой ее вид, будь то текст, изображение, звук или видео, можно представить  в виде набора чисел. Ввели даже единицу  информации: информация, говорящая  об  одном из 256 равновероятных событий, имеет объем в один байт.

Информацию в виде двоичного  кода можно размещать на разнообразных  носителях. Например, на гибких магнитных  лентах – в виде намагниченных  и ненамагниченных областей, на поверхности лазерного диска – в виде углублений (питов) и выступов, в интегральных микросхемах – сложным сочетанием полупроводниковых приборов, выполненным на единой подложке из диэлектрика.

В настоящее время разобрав калькулятор, не увидите там ничего из электроники, кроме маленькой интегральной микросхемы, залитой небольшой каплей эпоксидной смолы. Это наглядно иллюстрирует тот факт, что будущее современной техники в ее миниатюрности. Такой прибор починить не представляется возможным:узор из тысяч плоских транзисторов величиной в доли микрона невозможно изменить лучшему специалисту. Так и делают современные микросхемы, защищая их раз и навсегда прочной оболочкой.

Такая сложность вычислительной техники является результатом многовекового  развития. Перфокарты (картонные карточки в отверстиями) впервые были применены в 1787 г., когда французский ткач Робер Фалькон использовал их для управления механическим ткацким станком. Позже эта система была усовершенствована другим ткачем, Жозефом Жаккаром. Ряды отверстий (перфорация) в наборе карт использовались для хранения деталей узора. При замене карточек ткацкий станок ткал другой узор.

«Жаккардовый станок выполнит любой узор, который в состоянии  представить себе воображение», - говорил  англицский математик Чарльз Бэббидж. Его настолько потрясло разнообразие, которое давали перфокарты, что в 1832 г. он начал проектировать то, что назвал «аналитической машиной», однако, в то время построить такой механизм было невозможно из-за его сложности. Но с этого началась эра электронной информации. [№3.2, стр. 99-100]

Принцип работы перфокарт  весьма прост: в том месте, где  в карте проделано отверстие, могут соприкасаться два электрода, и через них потечет ток. Понятно, что ток при относительно малом  напряжении не сможет пробить картонную  карту – сигнала не будет. Получается, что перфокарта тоже использовала двоичный код для записи информации в позиционной  системе счисления – каждое отверстие  или его отсутствие несут двоякую информацию – о своем местоположении и об одном из двух фактов – есть дырка или же ее нет.

§3 Память на числа.

Поразительная сила образов (или эйдосов, как их называли древние греки) была известна человечеству с древнейших времен. В настоящее время эйдетизм рассматривается как разновидность образной памяти, выраженной в сохранении ярких, наглядных образов предметов. Обладающий эйдетизмом человек не воспроизводит в памяти воспринимавшиеся им предметы, а продолжает как бы видеть их.

У разных лиц бывает и  различная память по отношению к  числам, годам, ценам; различие это зависит  от неодинаковой степени развития математических способностей. Лицо, широко развившее  эти способности, будет неизменно  сохранять ясное и прямое впечатление  о числах и обо всем, связанном  с ними, тогда как лицо со слабо  развитыми способностями найдет затруднительным помнить что-либо подобное, даже усиленно занимаясь  умственными вычислениями, но последние, однако, могут развить эту способность. [№6, В.В.Аткинсон]

Есть, по моему мнению, различие между запоминанием, скажем, дат, цен  и формул, получившихся при решении  арифметических задач. Несмотря на то, что во всех трех случаях объектом запоминания служит число, некоторым  людям довольно сложно сопоставить  несколько запомненных дат или  цен с определенными событиями  или товарами. В то же время этот человек может безошибочно рассказать все подробности своих вычислений на недавней контрольной работе по математике. Здесь, на мой взгляд, весьма существенным фактором является заинтересованность лица в запоминании числа. Если историю  учить неинтересно, то и даты не смогут уложиться в мозгу. Хотя я соглашаюсь с В. Аткинсоном в том, что память можно развивать, считаю, что при крайней незаинтересованностью предметом это сделать весьма сложно.

Числа могут объединяться со всяким предметом, с которым они естественно связаны. Но если такой подходящий предмет, с которым можно было бы связать число, отсутствует, то нужно ограничиться лишь способом "простого созерцания". Этот способ состоит в том, что данное число фотографируется в уме, пока последний не воспроизведет все детали и вид числа, как детали и общий вид какой-нибудь картины. Вам следует представить себе числа, написанные жирным белым шрифтом на черном поле. Не упускайте умственной картины, пока вы не будете полностью видеть ее своим мысленным взором. Искусство это возрастает с практикой. Но, однако, было бы лучше связывать числа с какими-нибудь подходящими предметами. Теория такого "созерцательного" способа со связыванием или без него основана на том факте, во-первых, что многие умы воспринимают и удерживают зрительные впечатления гораздо скорее и лучше, чем простую абстрактную идею без конкретного изображения, и, во-вторых, что закон ассоциации дает умственной картине с большим числом возможностей легко возвращаться в поле сознания, когда эту картину затребует мысль о предмете. . [№6, В.В.Аткинсон, стр. 436]

 

Глава 3.   Счисление.

§ 1  Умножение и деление на счетах.

Есть много полезных вещей, которые мы не ценим только потому, что, находясь постоянно у нас  под руками, они превратились в слишком обыденный предмет домашнего обихода. К числу таких недостаточно ценимых вещей принадлежат и наши конторские счеты — русская народная счетная машина, представляющая собою видоизменение знаменитого «абака» или «счетной доски» наших отдаленных предков.

Наверное, очень многие умеют  складывать, вычитать и делить на два  на счетах.

Вот несколько приемов, (пользуясь  которыми, всякий умеющий быстро складывать на счетах сможет проворно выполнять встречающиеся на практике примеры умножения.

Умножение на 2 и на 3 заменяется двукратным и троекратным сложением.

При умножении на 4 умножают сначала на 2 и складывают этот результат с самим собой.

Умножение числа на 5 выполняется  на счетах так: переносят все число  одной проволокой выше, то есть умножают его на 10, а затем делят это 10-кратное число пополам (как делить на 2 помощью счетов — мы уже объяснили  выше, на стр. 33).

Вместо умножения на 6 умножают на 5 и прибавляют умножаемое. Вместо умножения на 7, множат на 10 и отнимают умножаемое три раза.

Умножение «а 8 заменяют умножением на 10 минус два.

Точно так же множат на 9: заменяют умножением на 10 минус один.

При умножении на 10 переносят, как мы уже сказали, все число  одной проволокой выше.

Читатель, вероятно, уже сам  сообразит, как надо поступать при умножении на числа, больше 10, и какого рода замены тут окажутся наиболее удобными. Множитель 11 надо, конечно, заменить 10 + 1. Множитель 12 заменяют 10 + 2, или практически 2+10, т. е. сначала откладывают удвоенное число, а затем прибавляют удесятеренное. Множитель 13 заменяется 10 + 3 и т. д.

Легко видеть, между прочим, что с помощью счетов очень  удобно умножать на такие числа, как  на 22, 33, 44, 55 и т. п.; поэтому надо стремиться при разбивке множителей пользоваться подобными числами с одинаковыми цифрами.

К сходным приемам прибегают  и при умножении на числа, больше 100. Если подобные искусственные приемы утомительны, мы всегда, конечно, можем  умножить с помощью счетов по общему правилу, умножая каждую цифру множителя и записывая частные произведения — это все же дает некоторое сокращение времени, 

Выполнять с помощью конторских счетов деление гораздо труднее, чем умножать: для этого нужно  запомнить целый ряд особых приемов, подчас довольно замысловатых.