Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними. (За угол между векторами принимают угол между содержащими их прямыми, величина которого принадлежит промежутку [0,π ]).

Скалярное произведение векторов  ,   обозначается символом   (порядок записи сомножителей безразличен, то есть  ).

Если угол между векторами  ,   обозначить через  , то их скалярное произведение можно выразить формулой

 (1)

Скалярное произведение векторов  ,   можно выразить также формулой

, или  .

Из формулы (1) следует, что  , если   - острый угол,  , если   - тупой угол;   в том и только в том случае, когда векторы   и   перпендикулярны (в частности,  , если   или  ).

Скалярное произведение   называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом  . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

.

Если векторы   и   заданы своими координатами:

,  ,

то их скалярное произведение может  быть вычислено по формуле

.

Отсюда следует необходимое  и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

.

Угол   между векторами

,  ,

дается формулой  , или в координатах

.

Проекция произвольного вектора   на какую-нибудь ось u определяется формулой

,

где   - единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы  ,  ,  , которые оси u составляет с координатными осями, то   и для вычисления вектора   может служить формула

.