Синтез алгоритмов оптимального управления цифровой системы по квадратичному критерию качества

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ,

МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

Кафедра АТ

 

 

Отчет по лабораторной работе №1

по дисциплине: «Математические  методы оптимизации»

Синтез алгоритмов оптимального управления цифровой системы по квадратичному критерию качества

Вариант 3

 

 

 

 

Выполнил:

ст. гр. СУА-12м

Приходько Н.

Проверил:

Хорхордин А.В.

Чернышев Н.Н.

 

 

 

 

 

 

 

Донецк 2013 г.

задание

Цель работы: Решение задачи квадратичного оптимального управления цифровой динамической системой путем решения уравнения Риккати относительно матрицы , синтеза алгоритма оптимального управления в виде матрицы обратной связи , вычисления минимального значения критерия оптимальности , а также исследование поведения собственных значений матрицы перехода замкнутой системы в зависимости от изменения весовых коэффициентов и периода дискретности

 

Таблица 1 – Исходные данные

№ варианта
3	4	7	3	0.3	0.7	3

 (1)

 (2)

Где

 (3)

 

Задание лабораторной работы будем  выполнять в программной среде  MATLAB.

Листинг программы.

 

%% Задание параметров модели

%Коэффициенты 

a1 = 4;

a2 = 7;

a3 = 3;

%Периоды дискретности

T = [0.3 0.7 3];

%Матрицы в пространстве  состояний

A = [0 1 0; 0 0 1; -a3 -a2 -a1];

B = [0; 0; 1];

C = [1 0 0];

D = [0];

%Матрицы-параметры для  функционала качества

S = eye(3);

Q = eye(3);

R = [1];

%Переход к цифровой системе 

[G,H] = c2d(A,B,T(1));

 

%% Расчет

x0 = [1; 0; 0];      %Начальные условия

for T=[T1 T2 T3]

    disp (['---------- Ts=',num2str(T(i)),' ----------']);

    Pnext = S;

    [G,H] = c2d(A,B,T(i));

    disp('Матрица G='); pretty(vpa(G,3));

    disp('Матрица H='); pretty(vpa(H,3));

    for i=0:200

        P=Q+G'*Pnext*inv(eye(3)+H*inv(R)*H'*Pnext)*G;

        Pnext=P;

        K=inv(R)*H'*inv(G')*(P-Q);

        if i==10

            disp('--- Шаг №10 ---');

            P

            K

        end

        if i==40

            disp('--- Шаг №40 ---');

            P

            K

        end

        if i==80

            disp('--- Шаг №80 ---');

            P

            K

        end

        if i==120

            disp('--- Шаг №120 ---');

            P

            K

        end

        if i==160

            disp('--- Шаг №160 ---');

            P

            K

        end

    end

    disp ('Установившиеся значения P и К (шаг №200):');

    P

    K

    disp ('Минимальный критерий оптимальности Jmin:');

    Jmin = 0.5*x0'*Pnext*x0

    disp ('Собственные числа матрицы G='); pretty (vpa(eig(G),3));

   

    %%Построение графиков

    t=-pi:0.1:pi;

    figure;

    set (gcf, 'Name', 'График1');

    plot (eig(G),'x', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);

    grid on;

    hold on;

    axis square;

    plot (exp(t*j),'-r'); xlabel('Re'); ylabel('Im');

    hold off;

    pause;

end

 

 

 

 

 

 

В результате работы программы были получены следующие графики:

Рисунок 1.1 – Положение собственных чисел матрицы

(слева на право период дискретности равен 0.3 с, 0.7 с, 3 с)

 

Значение функционала качества на каждом шаге:

Jmin =  3.4156 (Период дискретности равен 0.3 с)

Jmin =  1.5749 (Период дискретности равен 0.7 с)

Jmin = 0.5481 (Период дискретности равен 3 с)

 

Изменим параметры матрицы  Q:

Q = diag([1 100 1000]);

Рисунок 1.2 – Положение собственных чисел матрицы

после изменения матрицы Q

 

Значение функционала качества на каждом шаге:

Jmin =  60.9219 (Период дискретности равен 0.3 с)

Jmin =  24.6794 (Период дискретности равен 0.7 с)

Jmin =  4.8633 (Период дискретности равен 3 с)

 

Изменим параметры матрицы Q:

Q = diag([1000 100 1]);

Рисунок 1.3 – Положение собственных чисел матрицы

после изменения матрицы Q

 

Значение функционала качества на каждом шаге:

Jmin =  1.5140e+03 (Период дискретности равен 0.3 с)

Jmin =  836.7131 (Период дискретности равен 0.7 с)

Jmin =  502.6269 (Период дискретности равен 3 с)

 

Вывод по работе: в данной лабораторной работе был синтезирован оптимальный регулятор. Функционал качества принимает различные значения в зависимости от периода дискретности, а также параметров S,Q,R. Так, наилучших результаты были получены при использовании Q = eye(3), т.е. значение функционала было наименьшим.