Разработка комплекса заданий для практических занятий по разделу «Основы векторной алгебры»

Глава 2. Применение векторной  алгебры в аналитической  геометрии 

2.1. Определение положения точки при помощи радиуса-вектора. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами. Основные формулы

    Положение точки в пространстве может быть определено одним вектором, который  называется радиусом-вектором этой точки.

     Чтобы осуществить такое определение, необходимо выбрать в пространстве произвольную точку О, называемую полюсом. Как только полюс О выбран, каждой точке М соответствует единственный вектор ОМ, связывающий полюс с этой точкой, и наоборот, каждому вектору r соответствует единственная точка – конец вектора r, отнесенного к полюсу (рис. 1). То, что точке М соответствует радиус-вектор r, записывают так: М (r).

   r            М   М

        r r'

     0 0 r₀ 0'

Рис. 1.                                                               Рис. 2.

    Если  мы изменим полюс, например за полюс  выберем новую точку О' (r₀), то точке М будет соответствовать другой радиус-вектор r', который связан с прежним радиусом-вектором этой точки r и с радиусом-вектором нового полюса r₀ следующим образом (рис.2):    r = r' + r₀      или     r' = r – r₀.     (1)

        B                                     Если даны две точки A (r₁) и B (r₂), то вектор, их                             

                         r₂ – r₁ соединяющий, равен разности радиус-векторов

      этих  точек:               ,              (2)

        r₂ A причем из радиуса-вектора конца вектора надо

         r₁ вычесть радиус-вектор начала (рис. 3).

      Если  даны две точки A (r₁) и B (r₂), то радиус-

O Рис. 3.                 вектор r точки С, делящей вектор в отношении                      

λ (рис.4), т.е. = λ, определяется по формуле:  z

 B C

                                        A  k

 o j y

      O  i

      Рис. 4. X Рис.5

     = .               (3)

    В частности, радиус-вектор середины (λ = 1) вектора равен полусумме радиус-векторов его концов:                                  .                   (4)

    Чтобы связать векторный метод решения  задач с методом координатным и чтобы включить векторы в  число тех геометрических объектов, операции над которыми могут быть заменены алгебраическими вычислениями, рассмотрим их в связи с системой координат.

    Пространственная  система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных осей координат, вполне устанавливается  выбором начала координат и ортов  всех трех осей. Условимся раз навсегда обозначать орт оси х через i, орт оси y – через j и орт оси z – через k. Таким образом, i, j и k являются взаимно перпендикулярными единичными векторами (рис. 5), составляющими правую связку, т.е. они удовлетворяют следующим условиям:

    ,          ,        ,          (5)

    (ij) = 0,        (jk) = 0,      (ki) = 0          (6)

    ,      ,               (7)

    Любой вектор а может быть разложен по трем некомпланарным векторам i, j и k. Обозначив коэффициенты этого разложения X, Y и Z, получим:

    a= Xi + Yj + Zk.          (8)

    Векторы Xi, Yj и Zk называются компонентами вектора а по осям координат; это – векторы, коллинеарные соответствующим осям; они же служат ребрами того параллелепипеда, для которого а является диагональю (рис. 6).

      z

    

      

    

    

      О y

                

       x                          Рис. 6.       

    Что же касается коэффициентов разложения X, Y, Z, то они равны модулям компонентов, взятым с соответствующим знаком, другими словами, они являются проекциями вектора а на соответствующие оси координат:

                (9)

    Иначе их можно рассматривать как скалярные  произведения вектора а на орты соответствующих осей:                                         (10)

    Проекции (X, Y, Z) вектора а на три оси координат называются координатами вектора.

    Каждому вектору соответствует единственная тройка координат благодаря однозначности разложения вектора по трем некомпланарным ортам i, j, k, и, обратно, каждая тройка координат X, Y, Z определяет единственный вектор а, так как из (8) имеем:                       ,                 (11)

т.е. длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат, а из соотношений (10) и (11) получаем возможность определить направление вектора:

        (12)

где α = , β = , γ = .

      То, что вектор а имеет координаты X, Y, Z, обозначается так:  a

      Если  дано несколько векторов своими координатами: 

a₁ , a₂ , … , a_n ,

то координаты суммы этих векторов     c = a₁ + a₂ + … + a_n

равны алгебраическим суммам одноименных координат слагаемых векторов, т.е.  c .    (13)

    Координаты  разности двух векторов равны разностям  одноименных координат этих векторов, т.е. если  a , b и c = a – b, то

    c .          (14)

    Координаты  произведения вектора a на скаляр α равны произведениям координат вектора на тот же скаляр:         αa .    (15)

    Если  даны координаты двух векторов a и b , то скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений их одноименных координат:                 ab = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂.             (16)

    Угол  между этими двумя векторами  вычисляется по формуле:

            (17)

    Условие перпендикулярности двух векторов: . (18)

    Условие коллинеарности двух векторов:                   .       (19)

Если  даны координаты двух векторов a и b , то координаты их векторного произведения вычисляются по формулам:

                  (20)

или, проще, эти координаты являются определителями матрицы

,             (21)

составленной из координат данных двух векторов.

    Можно векторное произведение тех же двух векторов представить с помощью  определителей третьего порядка:

     .      (22)

    Скаляр  abc, представляющий смешанное произведение трех данных векторов a , b и с , равняется определителю третьего порядка, составленному из координат этих трех векторов:

    ;                (23)

    Отсюда  вытекает условие компланарности трех векторов:

.                   (24)

    Чтобы связать координаты вектора с  координатами точки, надо иметь в  виду, что координаты точки М (x, y, z) равны координатам ее радиуса-вектора , если полюс совпадает с началом координат, т.е.

    X = x,       Y = y,      Z = z.       (25)

    Если  вектор задан своими конечными точками A и                B , то координаты этого вектора равны разностям одноименных координат конца и начала вектора:

    X = x₂ – x₁, Y = y₂ – y₁, Z = z₂ – z₁.          (26)

    Чтобы перейти от векторной формулы, например от формулы  = , (3) к соответствующим координатным формулам, можно воспользоваться разложениями радиус-векторов по основным ортам i, j, k:

    r = xi + yj + zk;           r₁ = x₁i + y₁j + z₁k;            r₂ = x₂i + y₂j + z₂k.       

Вставив эти выражения в данную формулу (3), получим:

xi + yj + zk = .        (3')

Принимая  во внимание однозначность разложения вектора, можно приравнять коэффициенты при одинаковых ортах в левой  и правой частях равенства (3'):

,             ,                             (3'')

    Можно было бы при  решении этой же задачи применить другой способ, а именно, спроектировать вектор последовательно на каждую из осей координат, т.е. скалярно помножить обе части равенства (3) последовательно i, j и k.

    При умножении на i получим:             

или, принимая во внимание, что   (ri) = x,   (r₁i) = x₁, (r₂i) = x₂,  получим:

        и т.д. [5] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Геометрическое  значение векторных  уравнений

    В аналитической геометрии положение  точки в пространстве определяется тремя координатами; поэтому, чтобы  задать точку, надо или непосредственно  дать все три ее координаты, или  дать три уравнения, из которых можно  было бы их определить. Если дано лишь одно или два уравнения, связывающих  пространственные координаты точки, то они не могут определить одну-единственную точку; им удовлетворяют координаты бесчисленного множества точек, которые заполняют или некоторую  поверхность (случай одного уравнения), или линию (случай двух уравнений). В  таком случае мы говорим, что данное уравнение определяет поверхность, или что система двух уравнений определяет в пространстве некоторую линию.

    Если  же воспользоваться векторным определением положения точки, то для определения  точки достаточно знания одного вектора  – радиуса-вектора этой точки, который может быть дан непосредственно или может быть получен из уравнения. Вопрос о том, определяет ли данное уравнение одну точку или целую поверхность, или линию, не разрешается в общем виде, как при координатном методе, а в каждом отдельном случае решается в зависимости от характера уравнения.

    Например, если дано уравнение         = ,      (27)