Основные элементарные функции, их свойства и графики

• Функция y = sinx вогнутая при  , 
  выпуклая при  .

• Координаты точек перегиба  .

• Асимптот нет.

Функция косинус y = cos(x).

График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx.

• Область определения функции косинус:  .

• Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи:  .

• Функция обращается в ноль при  , где  , Z – множество целых чисел.

• Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно:  .

• Функция косинус - четная, так как  .

• Функция убывает при  , 
  возрастает при  .

• Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках  , 
  локальные минимумы в точках  .

• Функция вогнутая при  , 
  выпуклая при  .

• Координаты точек перегиба  .

• Асимптот нет.

Функция тангенс y = tg(x).

График функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx.

• Область определения функции тангенс:  , где  , Z – множество целых чисел. 
  Поведение функции y = tgx на границе области определения   
  Следовательно, прямые  , где  , являются вертикальными асимптотами.

• Наименьший положительный период функции тангенс  .

• Функция обращается в ноль при  , где  , Z – множество целых чисел.

• Область значений функции y = tgx:  .

• Функция тангенс - нечетная, так как  .

• Функция возрастает при  .

• Функция вогнутая при  , 
   
  выпуклая при  .

• Координаты точек перегиба  .

• Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Функция котангенс y = ctg(x).

Изобразим график функции котангенс (его называют "котангенсоида"):

Свойства функции котангенс y = ctgx.

• Область определения функции котангенс:  , где  , Z – множество целых чисел. 
  Поведение на границе области определения   
  Следовательно, прямые  , где   являются вертикальными асимптотами.

• Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи:  .

• Функция обращается в ноль при  , где  , Z – множество целых чисел.

• Область значений функции котангенс:  .

• Функция нечетная, так как  .

• Функция y = ctgx убывает при  .

• Функция котангенс вогнутая при  , 
  выпуклая при  .

• Координаты точек перегиба  .

• Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Функция арксинус y = arcsin(x).

Изобразим график функции арксинус:

Свойства функции арксинус y = arcsin(x).

• Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно:  .

• Область значений функции y = arcsin(x):  .

• Функция арксинус - нечетная, так как  .

• Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при  .

• Функция вогнутая при  , выпуклая при  .

• Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.

• Асимптот нет.

Функция арккосинус y = arccos(x).

График функции арккосинус имеет вид:

Свойства функции арккосинус y = arccos(x).

• Область определения функции арккосинус:  .

• Область значений функции y = arccos(x):  .

• Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

• Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при  .

• Функция вогнутая при  , выпуклая при  .

• Точка перегиба  .

• Асимптот нет.

Функция арктангенс y = arctg(x).

График функции арктангенс имеет вид:

Свойства функции арктангенс y = arctg(x).

• Область определения функции y = arctg(x):  .

• Область значений функции арктангенс:  .

• Функция арктангенс - нечетная, так как  .

• Функция возрастает на всей области определения, то есть, при  .

• Функция арктангенс вогнутая при  , выпуклая при  .

• Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.

• Горизонтальными асимптотами являются прямые   при   и   при  . На чертеже они показаны зеленым цветом.

Функция арккотангенс y = arcctg(x).

Изобразим график функции арккотангенс:

 

Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x).

• Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел:  .

• Область значений функции y = arcctg(x):  .

• Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

• Функция убывает на всей области определения, то есть, при  .

• Функция вогнутая при  , выпуклая при  .

• Точка перегиба  .

• Горизонтальными асимптотами являются прямые   при   (на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при  .

 

Список литературы.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.В., Дудницын Ю.П., Алгебра и начала анализа учебник 10-11 класса.

• Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.

• Новоселов С.И. Алгебра и элементарные функции.

• Туманов С.И. Элементарная алгебра. Пособие для самообразования.