Основные элементарные функции, их свойства и графики

Свойства степенной функции при  .

• Область определения:  .

• Область значений:  .

• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

• Функция возрастает при  .

• Функция выпуклая при  .

• Точек перегиба нет.

• Асимптот нет.

• Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.

Рассмотрим степенную функцию   с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем  .

Приведем графики степенных функций, заданных формулами   (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).

При других значениях показателя степени a,   графики функции   будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при  .

• Область определения:  .

• Область значений:  .

• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

• Функция возрастает при  .

• Функция вогнутая при  , если  ; при  , если  .

• Точек перегиба нет.

• Асимптот нет.

• Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.

Обратите внимание! Если a - отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал  . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество   соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Переходим к степенной функции  , кгода  .

Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при  , приведем примеры графиков функций   (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).

Свойства степенной функции с показателем a,  .

• Область определения:  . 
   при  , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.

• Область значений:  .

• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

• Функция убывает при  .

• Функция вогнутая при  .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.

• Функция проходит через точку (1;1).

 

Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.

Приведем примеры графиков степенных функций   при  , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.

Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.

• Область определения:  . 
   при  , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.

• Область значений:  .

• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

• Функция убывает при  .

• Функция вогнутая при  .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.

• Функция проходит через точку (1;1).

При а=0 и   имеем функцию   - это прямая из которой исключена точка (0;1)(выражению 00 условились не придавать никакого значения).

Показательная функция.

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График показательной функции  , где   и   принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть,  .

Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала  .

Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.

• Областью определения показательной функции является все множество действительнйх чисел:  .

• Область значений:  .

• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.

• Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.

• Функция вогнутая при  .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.

• Функция проходит через точку (0;1).

Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть,  .

В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций   – синяя линия и  – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

Свойства показательной функции с основанием большим единицы.

• Область определения показательной функции:  .

• Область значений:  .

• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

• Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при  .

• Функция вогнутая при  .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.

• Функция проходит через точку (0;1).

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция  , где  ,  . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при  . График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Начнем со случая, когда  . Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6– красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы.

• Область определения логарифмической функции:  . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.

• Область значений:  .

• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

• Логарифмическая функция убывает на всей области определения.

• Функция вогнутая при  .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальных асимптот нет.

• Функция проходит через точку (1;0).

Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы ( ).

Покажем графики логарифмических функций   – синяя линия,   – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы.

• Область определения:  . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.

• Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал  .

• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

• Функция возрастает при  .

• Функция выпуклая при  .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальных асимптот нет.

• Функция проходит через точку (1;0).

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства. Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода  , где Т - период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции синус, его называют "синусоида".

Свойства функции синус y = sinx.

• Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при  .

• Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи:  .

• Функция обращается в ноль при  , где  , Z – множество целых чисел.

• Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть  .

• Функция синус - нечетная, так как  .

• Функция убывает при  , 
   
  возрастает при  .

• Функция синус имеет локальные максимумы в точках  , 
  локальные минимумы в точках  .