Основные элементарные функции, их свойства и графики

ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ

 

      

          РЕФЕРАТ

                             

                                   На тему: 

 

"Основные  элементарные функции, их свойства  и графики."

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Факультет:         

Группа:               

Студент:           

Преподаватель:  

 

 

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции..

• Постоянная функция (константа), ее график и свойства. 

• Корень n-ой степени, свойства и график. 

• Степенная функция, ее график и свойства. 

• Показательная функция, свойства, график. 

• Логарифмическая функция, ее свойства, графическая иллюстрация. 

• Свойства и графики тригонометрических функций. 

• Обратные тригонометрические функции (аркфункции), их свойства и графики. 

Постоянная функция.

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой  , гдеC – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С. Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C). Для примера покажем графики постоянных функций y=5,y=-2 и  , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

 

 

 

Свойства постоянной функции.

• Область определения: все множество действительных чисел.

• Постоянная функция является четной.

• Область значений: множество, состоящее из единственного числа С.

• Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).

• Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.

• Асимптот нет.

• Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.

Корень n-ой степени.                                                                                    Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой  , где n – натуральное число, большее единицы.

Корень n-ой степени, n - четное число.

Начнем с функции корень n-ой степени при четных значениях показателя корня n.

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций   и  , им соответствуют черная, красная и синяя линии.

Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства функции корень n-ой степени при четных n.

• Область определения: множество всех неотрицательных действительных чисел  .

• При x=0 функция   принимает значение, равное нулю.

• Эта функция общего вида (не является четной или нечетной).

• Область значений функции:  .

• Функция   при четных показателях корня возрастает на всей области определения.

• Эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области определения, точек перегиба нет.

• Асимптот нет.

• График функции корень n-ой степени при четных n проходит через точки (0,0) и(1,1).

 

 

Корень n-ой степени, n - нечетное число.

Функция корень n-ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций   и  , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

При других нечетных значениях показателя корня графики функции   будут иметь схожий вид.

Свойства функции корень n-ой степени при нечетных n.

• Область определения: множество всех действительных чисел.

• Эта функция нечетная.

• Область значений функции: множество всех действительных чисел.

• Функция   при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения.

• Эта функция вогнутая на промежутке   и выпуклая на промежутке  , точка с координатами (0,0) – точка перегиба.

• Асимптот нет.

• График функции корень n-ой степени при нечетных n проходит через точки (-1,-1),(0,0) и (1,1).

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида  .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции   при нечетных положительных значениях показателя a, далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

 

 

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию   при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,…. На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций   – черная линия,   – синяя линия,   – красная линия,   – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x.

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.

• Область определения:  .

• Область значений:  .

• Функция нечетная, так как  .

• Функция возрастает при  .

• Функция выпуклая при   и вогнутая при   (кроме линейной функции).

• Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).

• Асимптот нет.

• Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

Степенная функция с четным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию   с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,…. В качестве примера приведем графики степенных функций   – черная линия,   – синяя линия,   – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.

Свойства степенной функции с четным положительным показателем.

• Область определения:  .

• Область значений:  .

• Функция четная, так как  .

• Функция возрастает при  , убывает при  .

• Функция вогнутая при  .

• Точек перегиба нет.

• Асимптот нет.

• Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции   при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций   – черная линия,   – синяя линия,   – красная линия,   – зеленая линия. При а=-1имеем обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола.

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

• Область определения:  . 
  При x=0 имеем разрыв второго рода, так как   приа=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

• Область значений:  .

• Функция нечетная, так как  .

• Функция убывает при  .

• Функция выпуклая при   и вогнутая при  .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так как 
   
  при а=-1,-3,-5,….

• Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

К началу страницы

Степенная функция с четным отрицательным показателем.

Перейдем к степенной функции   при а=-2,-4,-6,….

На рисунке изображены графики степенных функций   – черная линия,   – синяя линия,   – красная линия.

 

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.

• Область определения:  . 
  При x=0 имеем разрыв второго рода, так как   приа=-2,-4,-6,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

• Область значений:  .

• Функция четная, так как  .

• Функция возрастает при  , убывает при  .

• Функция вогнутая при  .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальной асимптотой является прямая y=0, так как 
   
  при а=-2,-4,-6,….

• Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.

Обратите внимание! Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал  . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество  . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Рассмотрим степенную функцию   с рациональным или иррациональным показателем a, причем  .

Приведем графики степенных функций   при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия),   (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия). При других значениях показателя степени a,   графики функции   будут иметь схожий вид.