Математическое моделирование задач электроэнергетики с помощью аппарата линейной алгебры и теории графов

1. Математическое моделирование задач электроэнергетики с помощью аппарата линейной алгебры и теории графов.

 

1.1 Определитель матрицы и его свойства

Основной числовой характеристикой  квадратной матрицы является ее определитель. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

.

Определителем или детерминантом  второго порядка называется число, вычисленное по следующему правилу

Например,

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка

.

Определителем третьего порядка называется число, вычисленное  по следующему правилу

.

В целях запоминания  сочетания слагаемых, входящих в  выражения для определения определителя третьего порядка обычно используют правило Саррюса: первое из трех слагаемых , входящих в правую часть со знаком плюс есть произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы , а каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла матрицы.

Последние три слагаемые, входящие со знаком минус определяются аналогичным образом, только относительно побочной диагонали.

 

 

Основные  свойства определителей матрицы

1. Величина определителя не изменяется при транспонировании матрицы.
2. При перестановки местами строк или столбцов матрицы, определитель меняет лишь знак, сохраняя абсолютную величину.
3. Определитель, содержащий пропорциональные строки или столбцы равен нулю.
4. Общий множитель элементов некоторой строки или столбца можно выносить за знак определителя.
5. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
6. Если к элементам отдельной строки или столбца определителя прибавить элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный невырожденный множитель , то величина определителя не изменится.

Минором матрицы называется определитель, полученный вычеркиванием из квадратной матрицы одинакового числа столбцов и строк.

Если все миноры порядка  выше , которые можно составить из матрицы, равны нулю, а среди миноров порядка хотя бы один отличен от нуля, то число называется рангом этой матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента определителя порядка будем называть его минор порядка, получаемый вычеркиванием соответствующей строки и столбца, на пересечении которых, стоит элемент , взятый со знаком плюс, если сумма индексов равна четному числу и со знаком минус в противном случае.

Таким образом 

,

где соответствующий минор порядка.

Вычисление  определителя матрицы путем разложения по элементам строки или столбца

Определитель матрицы  равен сумме произведений элементов  какой- либо строки (какого- либо столбца) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого столбца). При вычислении определителя матрицы таким способом следует руководствоваться следующим правилом: выбирать строку или столбец с наибольшим числом нулевых элементов. Этот прием позволяет значительно сократить объем вычислений.

1.2 Вычисление обратной матрицы

При решении матричных  уравнений широко используют обратную матрицу. Она в известной степени  заменяет операцию деления, которая  в явном виде в алгебре матриц отсутствует.

Квадратные матрицы  одинакового порядка, произведение которых дает единичную матрицу , называются взаимообратными или обратными. Обозначается обратная матрица и для нее справедливо

.

Вычислить обратную матрицу  можно только для такой матрицы , для которой .

Классический  алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Записывают матрицу , транспонированную к матрице .
2. Заменяют каждый элемент матрицы определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.
3. Этот определитель сопровождают знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус – в противном случае.
4. Делят полученную матрицу на определитель матрицы .

 

3.  Решение задач линейной алгебры в системе  MATLAB

При создании матриц в  системе MATLAB символы пробел и запятая используются для отделения элементов внутри строки в матрице, символ точка с запятой отделяет строки в матрице.

При создании матриц необходимо следить  за равенством длин строк, ее образующих.

В MATLAB операция транспонирования матрицы выполняется с помощью либо оператора «.’», либо функции

Элементарными матричными преобразованиями являются:

• перестановка местами двух строк матрицы,
• умножение всех элементов строки матрицы на число, отличное от нуля,
• прибавление ко всем элементам строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и тоже число.

 

 

При поэлементном умножении  матриц умножаются значения соответствующих  элементов этих матриц и записываются в результирующую матрицу.

Для нахождения определителя (детерминанта) и ранга матриц в MATLAB имеются следующие функции:

det(X) — возвращает определитель квадратной матрицы X. Если X содержит только целые элементы, то результат — тоже целое число. Использование условия det(X)=0 как теста на вырожденность матрицы действительно только для матрицы малого порядка с целыми элементами.

 

 

Если  является квадратной матрицей, то обратной по отношению к называется матрица, которая при умножении на (как слева, так и справа) дает единичную матрицу:

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу  необходимо и достаточно, чтобы она  была невырожденной.

Обратная матрица находится  с помощью функции 

 

Расчётная часть

 

1.Вычисление определителя матрицы:

Способ  №1: Классический

= = =

 

Det =

 

Способ №2: Вычисление определителя матрицы путем разложения по элементам строки или столбца

= =

 

=

 

Det =

 

Вычисление  определителя в системе MATLAB

2. Нахождение  обратной матрицы

Нахождение обратной матрицы классическим методом

1)Запишем матрицу  , транспонированную к матрице .

2)Заменяют каждый элемент  матрицы  определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

Получим:

Делим каждый ее элемент  на определитель(det=-33) и получаем:

 

Проверка:

= =

 

 

Вычисление  Обратной матрицы в системе MATLAB:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Расчет установившихся  режимов электрических систем

1. Первая и вторая матрицы инциденций

При расчете установившихся режимов электрические схемы  наиболее удобно представлять в виде матриц инциденций.

Первая матрица инциденций , называется также матрицей соединений, обозначается . Показывает взаимосвязь между узлами и ветвями исходного графа. Матрица прямоугольная матрица число строк которой определяется числом узлов сети, а число столбцов числом ветвей. Элементы матрицы могут принимать одно из трех значений

Здесь - ветви соответствующего графа схемы замещения, - узлы соответствующего графа схемы замещения. Для графа представленного на рис.1 первая матрица инциденций будет выглядеть следующим образом:

          

.

Условием правильности заполнения матрицы  является наличие в каждом столбце только одной 1 со знаком «+» и только одной 1 со знаком «-». Это обусловлено тем, что любая ветвь всегда исходит из одного узла и всегда входит в один узел. Таким образом, сумма всех элементов в первой матрице инциденций равна нулю.

Если в матрице  выделить строку,  соответствующую некоторому узлу, принятому за балансирующий узел, то матрица без последней строки называется матрицей соединений без балансирующего узла и обозначается .

Вторая матрица инциденций называется также матрицей контуров и обозначается . Она связывает ветви и независимые контуры соответствующего графа схемы замещения. Для составления матрицы нужно определить число независимых контуров схемы. Это число определяется по формуле

, где  - число независимых контуров, - число ветвей, число узлов.

Строки матрицы  соответствуют независимым контурам схемы, столбцы ветвям. Элементы матрицы определяются по следующим правилам

Вторая матрица инциденций для  графа на рис.1 имеет вид:

       

.

2. Матричная форма записи уравнений состояния электрической сети

Целью расчета установившегося  режима является определение мощностей  и токов в ветвях схемы замещения и напряжений в узлах.

Исходными данными о нагрузках  потребителей обычно служат значения мощностей  , которые принимаются постоянными, или как функции напряжения узлов. Исходными данными об источниках питания служат постоянные значения активных и реактивных мощностей или значения активной мощности и напряжения в точках их подключения.

Один из источников питания, обычно самый мощный, играет роль балансирующего узла, для него задается базисное напряжение.                                                                                                                                                                                                    Для решения поставленной задачи, т.е. для определения напряжений в узлах, токов и мощностей в ветвях схемы могут быть использованы различные формы уравнений состояния: обобщенное уравнение состояния, уравнения узловых напряжений, уравнения контурных токов.

Обобщенное  уравнение состояния

Обобщенное уравнение  состояния для схемы произвольной конфигурации имеет вид

     (1)

 Матричная форма  записи уравнения, где  матрица параметров схемы замещения,  где вектор- столбец токов в ветвях, - число ветвей в схеме замещения, - вектор- столбец исходных параметров режима.

Уравнение (1) объединяет два матричных  уравнения.

Уравнение по первому закону Кирхгофа

.

Уравнение по второму закону Кирхгофа

,

где матрица размерностью матрица соединений ветвей в узлах ( без балансирующего узла), здесь - число узлов схемы замещения, - число ветвей, - матрица размерностью , матрица соединений ветвей в независимые контуры, - число независимых контуров.

 диагональная матрица сопротивлений  ветвей.

- вектор-столбец задающих токов  в узлах.

- вектор-столбец контурных ЭДС  ветвей, входящих в каждый независимый  контур. Матрицы  и можно рассматривать как блоки одной объединенной матрицы параметров схемы замещения

,

а вектор–столбцы и как блоки одной объединенной матрицы исходных параметров режима

.

Для формирования обобщенного уравнения состояния (1) необходимо предварительно определить матрицы инциденций и , которые в аналитическом виде отображают конфигурацию схемы замещения электрической сети. Матрица обобщенного уравнения состояния является квадратной матрицей порядка . Тогда из уравнения (1) используя метод обратной матрицы можно сразу определить токи в ветвях

При известных токах  в ветвях можно определить напряжения в узлах. Для этого сначала по закону Ома определяем падение напряжения в ветвях схемы