Исследование ряда случайных ошибок на закон нормального распределения

Вариант I

Исследование ряда случайных  ошибок на закон нормального распределения

Цель: исследовать данный ряд невязок на закон нормального распределения.

Дано: дан статистический ряд случайных величин – угловые невязки 32 треугольников микро триангуляции, требуется проверить гипотезу о том, подчиняется ли этот ряд невязок нормальному распределению случайных величин.

№	невязка	№	невязка
1	- 0,60	17	+ 0,69
2	+ 1,47	18	+ 1,07
3	- 0,26	19	- 0,38
4	+ 1,41	20	+1,26
5	- 1, 07	21	- 0,19
6	- 0,66	22	+ 2,18
7	+ 0,03	23	+ 0,07
8	- 0,75	24	- 0,65
9	+ 1,16	25	+ 0,11
10	+ 0,39	26	+ 0,06
11	- 1,03	27	+ 0,73
12	0	28	- 1,29
13	- 1,25	29	- 0,41
14	- 1,33	30	- 2,65
15	- 0,25	31	+ 1,72
16	- 0,7	32	- 0,52

 

 

 

 

 

Порядок выполнения

№ п/п		[]	(△')2
1	0	0	0
2	+ 0,03	0,03	0,0009
3	+ 0,06	0,06	0,0036
4	+ 0,07	0,07	0,0049
5	+ 0,11	0,11	0,0121
6	- 0,19	0,19	0,0361
7	- 0,25	0,25	0,0625
8	- 0,26	0,26	0,0676
9	-0,38	0,38	0,1444
10	+ 0,39	0,39	0,1521
11	- 0,41	0,41	0,1681
12	- 0,52	0,52	0,2704
13	- 0,60	0,60	0,36
14	- 0,65	0,65	0,4225
15	- 0,66	0,66	0,4356
16	+ 0,69	0,69	0,4761
17	- 0,70	0,70	0,49
18	+0,73	0,73	0,5329
19	- 0,75	0,75	0,5625
20	- 1,03	1,03	1,0609
21	-1,07	1,07	1,1449
22	+ 1,07	1,07	1,1449
23	+ 1,16	1,16	1,3456
24	- 1,25	1,25	1,5625
25	+ 1,26	1,26	1,5876
26	- 1,29	1,29	1,6641
27	- 1,33	1,33	1,7689
28	+ 1,41	1,41	1,9881
29	+ 1,47	1,47	2,1609
30	+ 1,72	1,72	2,9584
31	+ 2,18	2,18	4,7524
32	- 2,65	2,65	7,0225
	- 1,64	26,34	34,364

 

 

 

 

 

2. Вычислим эмпирическое  значение математическое ожидание М(∆) и стандарта m.

m= = = 1,04

M(Δ) = = = - 0,05

3. Вычислим ошибки: среднюю v, вероятную r и предельную Δ_пред, а так же коэффициенты k₁ и k_2.

v= = = 0,82

r= = = 0,7

Δ_пред= 3m= 3×1,04= 3,12

k₁ = = = 1,26

k₂ = = = 1,48

4. Вычислим величину х² в табл. 2 где невязки сгруппируем в 12 интервалов размером 0.5 m.

№	Конец интервала		mi		Ф(t)	Pi	nPi	mi-nPi
	Δ	t
1	0,52	0,5	6	0,19	0,19	0,19	6	0	0
2	1,04	1	2	0,06	0,34	0,15	5	-1	-0,2
3	1,56	1,5	5	0,15	0,43	0,09	3	2	0,6
4	2,08	2	1	0,03	0,48	0,05	2	-1	-0,5
5	2,6	2,5	1	0,03	0,49	0,01	0	1	0
6	3,12	3	0	0	0,50	0,01	0	0	0
7	-0,52	-0,5	6	0,19	-0,19	0,19	6	0	0
8	-1,04	-1	6	0,19	-0,34	0,15	5	1	0,2
9	-1,56	-1,5	4	0,13	-0,43	0,09	3	1	0,3
10	-2,08	-2	0	0	-0,48	0,05	2	-2	-1
11	-2,6	-2,5	0	0	-0,49	0,01	0	0	0
12	-3,12	-3	1	0,03	-0,50	0,01	0	1	0
∑			32	1					-0,6

 

 

 

5.Вычислим асимметрию А_sи эксцесс Е табл.3

№	xi	mi	mi xi	mi xi2	mi xi3	mi xi4
1	0,26	6	1,56	0,4	0,1	0,02
2	0,78	2	1,56	1,2	0,9	0,66
3	1,30	5	6,50	8,4	11	14,28
4	1,82	1	1,82	3,3	6,0	11
5	2,34	1	2,34	5,5	12,8	30
6	2,86	0	0	0	0	0
7	-0,26	6	-1,56	0,4	-0,1	0,02
8	-0,78	6	-4,68	3,6	-2,8	2,22
9	-1,30	4	-7,80	6,7	-8,7	11,42
10	-1,82	0	0	0	0	0
11	-2,34	0	0	0	0	0
12	-2,86	1	-2,86	8,1	-23,4	67
∑		32	-3,12	37,60	-4,20	136,62

α₁= = = - 0,09

α_{2 =} =   = 1,17

α_{3 =} =   = - 0,13

α_{4 =} = = 4,27

Центральные моменты второго, третьего и четвертого порядка.

μ₂ = α₂-α₁²= 1,17-0,0081 = 1,1619

μ₃ = α₃-3α₁ α₂ + 2α₁³= -0,13-3×(-0,09)×1,17 + 2×(-0,000729) = -0,13 – (-0,3159)+

(-0,001458) = 0,1844

μ₄ = α₄-4α₁ α₃+ 6α₁²α_2--3α₁⁴ = 4,27-4×(-0,09)×(-0,13) + 6×0,0081×1,17 – 3×

(-0,000729) = 4,27- 0,0324 + 0,056862 – (-0,002187) = 4,2966

Ассиметрия:

As = = = = = 0,15

Эксцесса:

E = – 3 = – 3 = – 3= – 3= - 0,95

Асимметрия и эксцесса:

D_AS = = = 0,43

D_E = = = 0,876. Построить гистограмму, выровнявшую и теоретическую кривые распределения табл.4

Интервал	hi	hi ,см.	t
1	0,36	10	0,5
2	0,12	3	1
3	0,30	8	1,5
4	0,06	2	2
5	0,06	2	2,5
6	0	0	3
7	0,36	10	-0,5
8	0,36	10	-1
9	0,24	7	-1,5
10	0	0	-2
11	0	0	-2,5
12	0,06	2	-3

 

 Q =

Q₁= = 0,187

Q₂ = = 0,062

Q₃ = = 0,156

Q₄ = = 0,031

Q₅ = = 0,031

Q₆ = = 0

 

Q₇ = = 0,187

Q₈ = = 0,187

Q₉ = = 0,125

Q₁₀= = 0

Q₁₁= = 0

Q₁₂= = 0,031

 

 

 

 

h_i =

h₁= = 0,36

h₂= = 0,12

h₃= = 0,30

h₄= = 0,06

h₅= = 0,06

h₆= = 0

h₇= = 0,36

h₈= = 0,36

h₉= = 0,24

h₁₀= = 0

h₁₁= = 0

h₁₂= = 0,06

 

 

h_i(max) = 10

h_i =

h₁= =10

h₂= = 3

h₃= = 8

h₄= = 2

h₅= = 2

h₆= = 0

h₇= = 10

h₈= = 10

h₉= = 7

h₁₀= = 0

h₁₁= = 0

h₁₂= = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Табл.5. Вычисление ординат точек выравнивающей кривой.

Граница интервала	t =	y׳ =	h=	y=y׳h	y,см
1	0	0,564	0,68	0,38	10
2	0,5	0,498	0,68	0,34	9
3	1	0,342	0,68	0,23	6
4	1,5	0,183	0,68	0,12	3
5	2	0,076	0,68	0,05	1
6	2,5	0,025	0,68	0,01	0
7	3	0,006	0,68	0,004	0

 

t =

y׳ =h= = 0,68

 

y=y׳h

y₁=0,564×0,68 = 0,38

y₂=0,498×0,68 = 0,34

y₃=0,342×0,68 = 0,23

y₄=0,183×0,68 = 0,12

y₅=0,076×0,68 = 0,05

y₆=0,025×0,68 = 0,01

y₇=0,006×0,68 = 0,004

 

y,см

y₁ = = 10

y₂ = = 9

y₃ = = 6

 

y₄ = =3

y₅ = = 1

y₆= = 0

y₇= = 0

 

7. Выводы о подчинении  и неподчинении рассматриваемого  ряда ошибок нормальному закону  распределения.

1.M(Δ) =0(- 0,05)

 ≤ 0,1m = 0,11,04 ≤ 0,104

Неравенство выполняется, следовательно, условие соблюдено.

Математическое ожидание можно считать близким к нулю.

2. Δ_i ≤ 3m= 31,04= 3,12

Δ_max ≤ Δ_пред (2,18 ≤ 3 ,12)

Максимальное значение невязки  не превышает предельной ошибки.

3.k₁ =1,25   k₂ = 1,49

теоретическое значение

k₁ = 1,26     k₂ = 1,48

практическое значение

Коэффициенты k₁ и  k₂ близки к теоретическому значению.

4.Р(х²) ≥ 0,10

-0,6 ≥ 0,10      ∑x² = -0,6

Согласно критерию Пирсона  с вероятностью 0 нормальный закон  распределения подтверждается.

 

5. As ≤ 3

0,15 ≤ 3

0,15≤ 1,97

≤ 5

-0,95 ≤ 5

-0,95 ≤ 4,66

Эмпирическое значение  асимметрии и эксцесса  отличаются от теоретического в пределах допуска.

По виду гистограммы и  построенного графика очевидно соответствие рассматриваемого ряда невязок по закону нормального распределения.