Контрольные работа по "Истории"

Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

S = 1;2| x1-x3;y1-y3;x2-x3;y2-y3

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.

Решение. Принимая A за первую вершину, находим:

| x1-x3;y1-y3;x2-x3;y2-y3 = | -1 - -7;4 - 4;-1 - -7;2 - 4 =

| 6;0;6;-2 = 6 • -2 - 6 • 0 = -12

По формуле получаем:

S = 1;2• |-12| = 6

7) Уравнение медианы  треугольника

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

xm = xB + xC;2 = -1 + -7;2 = -4

ym = yB + yC;2 = 2 + 4;2 = 3

M(-4;3)

Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(-1;4) и М(-4;3), поэтому:

Каноническое уравнение прямой:

x + 1;-4 - -1 = y - 4;3 - 4

или

x + 1;-3 = y - 4;-1

или

y = 1/3x + 13/3 или 3y -x - 13 = 0

Найдем длину медианы.

Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

|R| = x2 - x12 + y2 - y12

|AM| = -4 - -12 + 3 - 42 = 32 + 12 = 10 = 10

9) Уравнение высоты  через вершину A

Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

x - x0;A = y - y0;B

x - -1;1 = y - 4;3

y = 3x + 7 или y -3x - 7 = 0

Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой BC.

Уравнение BC: y = -1/3x + 5/3, т.е. k1 = -1/3

Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.

Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :

-1/3k = -1, откуда k = 3

Так как перпендикуляр проходит через точку A(-1,4) и имеет k = 3,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).

Подставляя x0 = -1, k = 3, y0 = 4 получим:

y-4 = 3(x-(-1))

или

y = 3x + 7 или y -3x - 7 = 0

Найдем точку пересечения с прямой BC:

Имеем систему из двух уравнений:

3y + x - 5 = 0

y -3x - 7 = 0

Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.

Получаем:

x = -8/5

y = 11/5

9) Длина высоты  треугольника, проведенной из вершины A

Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

d = |A x1 + B y1 + C|;A2 + B2

Найдем расстояние между точкой A(-1;4) и прямой BC (3y + x - 5 = 0)

d = |1 • -1 + 3 • 4 - 5|;12 + 32

d = 6;10 = 1.9

Длину высоты можно вычислить и по другой формуле, как расстояние между точкой A(-1;4) и точкой D(-8/5;11/5).

Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

|R| = x2 - x12 + y2 - y12

|AD| = -8/5 - -12 + 11/5 - 42 = 3/52 + 9/52 = 18/5 = 32;5

 

По координатам вершин пирамиды найти

Решить систему методом Крамера

Мето д обратной матрицы

 

Тема 5.

Дано уравнение кривой: 
4x2 - 25y2 - 100 = 0 
1. Определить тип кривой. 
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат. 
3. Найти соответствующие преобразования координат. 
Решение. 
Приводим квадратичную форму 
B = 4x2 - 25y2 
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:

B =

4 0 0 -25

 
Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы: 
(4 - λ)x1 + 0y1 = 0 
0x1 + (-25 - λ)y1 = 0 
Характеристическое уравнение:

4 - λ 0 0 -25 - λ

= λ2 + 21λ - 100 = 0

 
λ2 +21 λ - 100 = 0 
D = 212 - 4 • 1 • (-100) = 841 
 
 
Исходное уравнение определяет гиперболу (λ1 > 0; λ2 < 0) 
Вид квадратичной формы: 
4x21 -25y21. 
Разделим все выражение на 100 
 
Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке: 
C(0; 0) 
и полуосями: 
a = 5 (действительная полуость); b = 2 (мнимая полуось) 
Преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало O1 производится по формулам: 
x2 = x1+0 
y2 = y1+0 
Оси данной гиперболы будут лежать на прямых: 
x = 0; y = 0 
Определим параметр c: c2 = a2 + b2 = 25 + 4 = 29 
 
Тогда эксцентриситет будет равен: 
 
Асимптотами гиперболы будут прямые: 
y1 + y0 = b/a•(x1 + x0) 
 
и 
 
Директрисами гиперболы будут прямые: 
(x1 + x0) = a/c 

 

 

Гипербола

 

 

 

 

 

Тема 7. Производные.

() =  ln (x-1) - ln (2x+1)    = -

 

Тема 14. Комплексные числа.

= = = =

=   1,6+0,8 i

 

Список литературы

1. Колесников.А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: Инфра-М, 1997.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1965–1975.

3. Брыжина Э.Ф., Линьков А.М., Митасов Е.В. Высшая математика. Элементы линейной алгебры: Методические указания к контрольной работе №1 для студентов 1 курса заочного и вечернего отделений всех специальностей. /ЛИЭИ – Л.,1990.

4. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие /Под ред. В.И. Ермакова – М.: ИНФРА– М, 2003. – 575с. – (Серия «Высшее образование»).

5. Акимов А.В., Брыжина Э.Ф., Полозенко Н.А. Задачи и упражнения по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: СПбГИЭУ, 2002. – 72с.

6. Карасев А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М:Высшая школа, 1982.

7. Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учебное пособие для втузов.М.: Высшая школа, 1989.