Теория графов

  Результаты и методы теории графов применяются при решении транспортных задач о перевозках, для нахождения оптимальных решений задачи о назначениях, для выделения «узких мест» при планировании и управлении разработок проектов, при составлении оптимальных маршрутов доставки грузов, а также при моделировании сложных технология, процессов, в построении различных дискретных устройств, в программировании и т. д.

1.2. Основные термины и теоремы теории графов.

 

1. Граф  - Пара объектов G = ( X , Г )  ,где Х - конечное множество ,а Г –конечное подмножество  прямого произведения  Х*Х .  При этом   Х называется множеством вершин , а  Г - множеством дуг графа G .
2. Любое конечное множество точек (вершин), некоторые из которых попарно соединены стрелками , (в теории графов эти стрелки называются дугами), можно рассматривать как граф.
3. Если в множестве Г все пары упорядочены, то такой граф называют ориентированным .
4. Дуга- ребро ориентированного графа.
5. Граф называется  вырожденным, если у него нет рёбер.
6. Вершина Х называется  инцидентной  ребру G , если ребро соединяет эту вершину с какой-либо другой вершиной.
7. Подграфом G(V₁, E₁) графа G(V, E) называется граф с множеством вершин V₁ ÍV и множеством ребер (дуг) E₁Í E, - такими, что каждое ребро (дуга) из E₁ инцидентно (инцидентна) только вершинам из V₁ . Иначе говоря, подграф содержит некоторые вершины исходного графа и некоторые рёбра (только те, оба конца которых входят в подграф).
8. Подграфом, порождённым множеством вершин U называется подграф, множество вершин которого – U, содержащий те и только те рёбра, оба конца которых входят в U.
9. Подграф называется остовным подграфом, если множество его вершин совпадает с множеством вершин самого графа.
10. Вершины  называются  смежными , если  существует  ребро , их  соединяющее.
11. Два ребра G₁ и G₂ называются смежными, если существует вершина, инцидентная одновременно G₁ и G₂.
12. Каждый граф можно представить в пространстве множеством точек, соответствующих вершинам, которые соединены линиями, соответствующими ребрам (или дугам - в последнем случае направление обычно указывается стрелочками). - такое представление называется укладкой графа.
13. Доказано, что в 3-мерном пространстве любой граф можно представить в виде укладки таким образом, что линии, соответствующие ребрам (дугам) не будут пересекаться во внутренних точках. Для 2-мерного пространства это, вообще говоря, неверно. Допускающие представление в виде укладки в 2-мерном пространстве графы называют плоскими (планарным). 
    Другими словами, планарным называется граф, который может быть изображен на плоскости так, что его рёбра не будут пересекаться.
14. Гранью графа, изображенного на некоторой поверхности, называется часть поверхности, ограниченная рёбрами графа.

Данное понятие грани, по - существу, совпадает с понятием грани многогранника. В качестве поверхности в этом случае выступает поверхность многогранника. Если многогранник выпуклый, его можно изобразить на плоскости, сохранив все грани. Это можно наглядно представить следующим образом: одну из граней многогранника растягиваем, а сам многогранник «расплющиваем» так, чтобы он весь поместился внутри этой грани. В результате получим плоский граф. Грань, которую мы растягивали «исчезнет», но ей будет соответствовать грань, состоящая из части плоскости, ограничивающей граф.

Таким образом, можно говорить о вершинах, рёбрах и гранях многогранника, а оперировать соответствующими понятиями для плоского графа.

15. Пустым называется граф без рёбер. Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные.
16. Конечная последовательность необязательно различных рёбер E₁,E₂,...E_n называется маршрутом длины n, если существует последовательность V₁, V₂, ... V_n необязательно различных вершин, таких, что E_i = (V_i-1,V_i ).
17. Если совпадают, то маршрут замкнутый.
18. Маршрут, в котором все рёбра попарно различны, называется цепью.
19. Замкнутый маршрут, все рёбра которого различны, называется циклом. Если все вершины цепи или цикла различны, то такая цепь или цикл называются простыми.
20. Маршрут, в котором все вершины попарно различны, называется простой цепью.
21. Цикл, в котором все вершины, кроме первой и последней, попарно различны, называется простым циклом.
22. Граф называется связным, если для любых двух вершин существует путь, соединяющий эти вершины.
23. Любой максимальный связный подграф (то есть, не содержащийся в других связных подграфах) графа G называется компонентой связности. Несвязный граф имеет, по крайней мере, две компоненты связности.
24. Граф называется k - связным (k - реберно - связным), если удаление не менее k вершин (ребер) приводит к потере свойства связности.
25. Маршрут, содержащий все вершины или ребра графа и обладающий определенными свойствами, называется обходом графа.
26. Длина маршрута (цепи, простой цепи) равна количеству ребер а порядке их прохождения. Длина кратчайшей простой цепи, соединяющей вершины v_i и v_j в графе G, называется расстоянием d (v_i, v_j) между v_i и v_j.
27. Степень вершины - число ребер, которым инцидентна вершина V, обозначается D(V).

С помощью различных  операций можно строить графы  из более простых, переходить от графа к более простому, разбивать графы на более простые и т.д.

Среди одноместных операций наиболее употребительны: удаление и добавление ребра или вершины, стягивание ребра (отождествление пары смежных вершин), подразбиение ребра (т.е. замена ребра (u, v) на пару (u, w), (w, v), где w - новая вершина) и др.

Известны двуместные операции: соединение, сложение, различные  виды умножений графов и др. Такие операции используются для анализа и синтеза графов с заданными свойствами.

28. Два графа G₁=(V₁;E₁), G₂=(V₂;E₂),называются изоморфными, если существует взаимнооднозначное соответствие между множествами вершин V₁ и V₂ и между множествами рёбер Е₁ и Е₂,  такое,   чтобы сохранялось отношение инцидентности.

 

  Понятие изоморфизма для графов имеет наглядное толкование. Представим рёбра графов эластичными нитями, связывающими узлы – вершины. Тогда, изоморфизм можно представить как перемещение узлов и растяжение нитей.

 
Теорема 1.

Пусть задан граф G=(V;E),где V - множество вершин, E - множество  рёбер, тогда     2[E]=Σ(V), т.е. удвоенное количество рёбер равно сумме степеней вершин.

 

Теорема 2. (Лемма о рукопожатиях)

В конечном графе число  вершин нечетной степени чётно.

 

Теорема 3.

Граф связен  тогда  и только тогда, когда множество  его вершин нельзя разбить на два непустых подмножества так, чтобы обе граничные точки каждого ребра  находились в  одном и том же   множестве.

Расстоянием между двумя  вершинами связного     графа   называется    длина кратчайшей цепи, связывающей эти вершины (в количестве рёбер).

 

 

Свойства связных графов.

 

1. Связный граф остается  связным  после удаления    ребра   тогда   и только тогда, когда  это  ребро  содержится в цикле.
2. Связный граф , имеющий К  вершин , содержит по крайней мере К-1 ребро.
3. В связном графе любые две простые цепи  максимальной  длины имеет по крайней мере одну общую вершину.
4. В графе с N вершинами и  К  компонентами связности число рёбер не  превышает 1/2(N-K)(N-K+1).
5. Пусть у графа G есть N вершин . Пусть D(G)- минимальная из степеней вершин этого графа .  Тогда  D(G) > 1/2 (N-1).

 

29. Связный граф без циклов называется деревом.

Деревья особенно часто  возникают на практике при изображении  различных иерархий. Например, популярные генеалогические деревья.

Пример(генеалогическое  дерево): На рисунке показано библейское генеалогическое дерево.

 

 

 

 

 

 

 

Эквивалентные определения дерева.

 

1. Связный граф называется деревом, если он не имеет циклов.
2. Содержит N-1 ребро и не имеет циклов.
3. Связный и содержит N-1 ребро.
4. Связный и удаление одного любого ребра делает его несвязным.
5. Любая пара вершин соединяется единственной цепью.
6. Не имеет циклов и добавление одного ребра между любыми двумя вершинами приводит к появлению одного и только одного цикла.

Раскраска графов

 

Раскраской графа G = (V,E) называется отображение D: V® N . Раскраска называется правильной, если образы любых двух смежных вершин различны: D (U) ≠ D (V), если (U,V) Î I. Хроматическим числом графа называется минимальное количество красок, необходимое для правильной раскраски графа.

Теорема 5.

 

Граф является планарным  тогда и только тогда, когда он не содержит подграфа, изоморфного одному из следующих (графы Понтрягина - Куратовского).

                                       

                  Граф К33                                                            Граф К5

 

Свойство: В любом планарном графе существует вершина, степень которой<=5.

 

Способы задания графов:

 

1. Геометрический:

 

 

 

 

 

2. Матрица смежности:

	a	В	c	d
A	0	1	1	0
B	1	0	1	0
C	1	1	0	1
D	0	0	1	0

 

 

 

                               

 

 

 

 

Матрица смежности  - квадратная  матрица, размерности, равной количеству вершин. При этом  а[ i, j ]-целое число, равное количеству рёбер, связывающих

i-ю, j-ю вершину. Если в графе нет петель, то диагональные элементы равны 0 .

Если рёбра не повторяются, то все элементы 0 или 1. Если граф неориентированный, то матрица симметрична.

 

3. Матрица инцидентности:

	a	В	с	d
A	1	1	0	0
B	0	1	1	0
C	1	0	1	0
D	0	0	1	1

 

 

 

 

 

4. Явное задание графа  как алгебраической системы:

<{a,b,c,d},{u,v,w,x}; {(u,a),(u,b),(v,b),(v,c),(w,c),(w,a),(x,c), (x,d)}>.

Так как мы рассматриваем  только простые графы, граф нам проще  определять как модель, носителем которой является множество вершин, а отношение – бинарное отношение смежности вершин. Тогда данный граф запишется как <{a,b,c,d}; {(a,b), (b,a),(b,c),(c,b),(a,c),(c,a),(c,d),(d,c)}>. В таком представлении ребру соответствуют две пары вершин (v₁,v₂) и (v₂,v₁), инцидентных данному ребру. Чтобы задать такое представление, достаточно для каждого ребра указать двухэлементное множество вершин – его мы и будем отождествлять с ребром. Для данного графа рёбра задаются множеством {{a,b},{b,c},{a,c},{c,d}} и граф мы будем записывать как пару (V,E), где V – множество вершин, а E – множество рёбер.

5. Наконец, граф можно  задать посредством списков.

Например:

вариант 1: списком пар вершин, соединенных ребрами (или дугами);

вариант 2: списком списков для каждой вершины множества смежных с ней вершин.

 

2. Задачи на графах.

2.1. Описание различных задач на графах.

 
 Развитие теории графов в основном обязано большому числу всевозможных приложений. По-видимому, из всех математических объектов графы занимают одно из первых мест в качестве формальных моделей реальных систем.