Сравнительная характеристика методик решения систем нелинейных алгебраических уравнений в средах MathCAD и MathLab

Если оказывается, что текущее pl > pl*, то число уравнений, используемых для формирования СНАУ (2.32), следует  сократить до величины pl*. Если описанная  редукция возможна, то на следующем шаге pl = pl*, а сформированный пучок будет регулярным; если - нет, то число уравнений остается равным pl = N-p, а пучок - сингулярным.

Шаг 3.4. Вычисление

                                                           (2.34)

размера [Nl Nl-pl], где Nl = m_x*(t+1)+m_y*(v+1).

Выделить из матрицы Q_0l подматрицу Q_{0l x}, соответствующую подблоку l x X и имеющую размер [m_x*(t+1) Nl-pl]. Сформировать пучок D_lx = a_lx - xb_lx размера [m *t Nl-pl]. Если редукция на шаге 3.3 была успешной, то сформированный пучок - регулярный и можно переходить к блоку 4, не выполняя шаг 3.3.

Шаг 3.5. Выделение из сингулярных пучков D_lx и D_ly, полученных на шаге 3.4, регулярных частей  
D_flx = a_flx-xb_flx и  
D_{fl y} = a_fly - xb_{fl y.}

Блок 4 формирует решения ССЗ. Вычислить спектры регулярных пучков D_f(x) и D_f(y), полученных в блоке 2 и D_flx и D_{fl y,} полученных в блоке 3, используя процедуру eig(a, b) [12] решения обобщенной проблемы собственных значений. Результатом является множество решений {x_i} и {y_i} по переменным x и y.

Блок 5 определяет допустимых пар решений ССЗ. Этот блок использует следующую последовательность шагов.

Шаг 5.1. Каждое из вычисленных в блоке 4 решение подставляется в исходную СНАУ и таким образом выполняется редукция к СНАУ от одной переменной. Вычисляются решения этой СНАУ и формируются все допустимые пары решений, включая решения типа Inf и NaN.

Шаг 5.2. Из найденных на шаге 5.2 пар решений извлекаются только конечные пары {x_i, y_i}.

Блок 6 формирует решения СНАУ. Этот блок включает два шага.

Шаг 6.1. Найденные конечные пары решений подставляются в исходную СНАУ и вычисляются невязки для каждого уравнения системы. Сумма модулей этих невязок служит оценкой точности решений СНАУ.

Шаг 6.2. Построение графика решений, на который выводится графический образ исходной матрицы и множество всех значений {x_i } и {y_i }, как действительных, так и комплексных.

Из схемы алгоритма наглядно видно, что ряд блоков и шагов  обладают естественным параллелизмом, обусловленным применением одной процедуры к различным данным.

Алгоритм решения СНАУ в полном объеме реализован в среде системы  научных расчетов Matlab 5 [13].

В качестве теста рассмотрим пример решения системы нелинейных алгебраических уравнений от двух переменных вида

Вот и весь алгоритм, следуя всем его  блокам можно решить любую систему  нелинейных    алгебраических уравнений

Сравнительная характеристика методик Систем Нелинейных уравнений в средах MathCAD и MathLab.

   Теперь, когда были рассмотрена работа обоих систем в области исследования можно их сравнивать. Нужно сразу отметить, что я не могу быть объективной. Это связанно с тем, что MathCAD я использую уже давно, и он стал как бы «роднее», а значит и проще. Однако начнем сравнение. В первую очередь нужно сказать, что обе эти программы сделаны одной фирмой, а значит одними людьми. Это выражается в крайне малых отличиях этих двух сред. Поэтому, освоив одну из них, вторая осваивается, гораздо быстрее и продуктивнее. А значит и различия между ними не так велики. И правда, я ощутила это на своем опыте подготавливая эту курсовую работу. А именно общий синтаксис практически одинаков. Объявляется СНАУ, затем используя одну из встроенных функции решение СНАУ присваивается какой-либо переменной. Даже синтаксис функций крайне схож. Имя функции, затем переменная в которой хранится СНАУ, после интервалы вычислений, затем шаг вычислений, или точность. Практически одно и тоже, за исключением различных имен функций. Ну и конечно параметров этих функций. Однако, необходима сказать, что работать с MathLab просто ужасно. Интерфейс самой программы крайне недружелюбен. Если в MathCAD при открытии появляются какие-то окна, какие-то ссылки, галочки, панельки. Где можно найти что-то знакомое, а именно сумму, произведение, тот же                         косинус.

 То в MathLab открывается только поле, в которое нужно вводить данные. Т.е. программа тебя сразу бросает и не помогает работать. К тому же. Если в Маткаеде ты общаешься с программой, то в MathLab ты программируешь программу, мне было трудно это сделать. И главное. Если Маткад предлагает свой ответ пользователю( мне), то MathLab же, напротив, всячески прячет его от меня. Чтобы в этом убедиться достаточно посмотреть сколько графических рисунков я вставила в описание Маткада. И сколько практически к каждому можно сделать график. А в MathLab мне пришлось только лишь акцентировать свое внимание на функция. И те несколько текстов решений больше похожи на программу на Паскале, чем на ссылку из математической среды. В этом, по моему мнению, Маткад значительно опережает MathLab. Хотя сам синтаксис в целом похож.

К сожалению я владею этими средами  в неравной степени. MathCAD я знаю лучше, и возможно буду местами неправа, но хочется сказать, об отличиях этих сред. В глаза бросаются отличия в представлении решения в этих средах. Вы заметили сколько графиков, когда я описывала MathCAD и как мало их при описании MathLab. Это выражено в том, что MathCAD, как бы пытается выразить полученный ответ графически, с помощью визуального отображения, а MathLab пытается представить ответ в виде матрицы значений искомой функции. Это отличие нельзя упускать из виду. Конечно, и та и другая среда может выражать ответ и в виде матрицы и в виде графика. Но одна из них предназначена для матриц, вторая для графического отображения. Нужно сказать, что в MathCAD гораздо удобнее работать с ОДУ чем в MathLab. Но лично мое мнение, MathLab просто не предназначен для решения таких простых задач, он сделан для более сложных инженерных расчетов.                       Второе главное и явное отличие при работе с этими средами. В MathCAD ты как бы пишешь решение, а в MathLab ты программируешь его. Это такое внутреннее впечатление, которое сохранилось и продолжает быть во мне.                                                                                     Также при работе с MathCAD ты понимаешь, что ты и MathCAD работаете над одной задачей. Вы  сотрудничаете. Когда работаешь с MathLab такое ощущение, что он делает тебе одолжение выполняя твои команды. Вроде того, что я создан для сложных проектов, а не для такой мелочи, которую ты делаешь Возможно это нехватка опыта, возможно нет, но факт в том, что  MathCAD 14, в котором я делала свои программы весит 287 мегабайт. А MathLab 2006, по которому я готовилась к курсовой работе занимает 3523 мегабайта на моем диске. В принципе это все объясняет с точки зрения решения. MathLab безусловно мощнее.          Также отмечая мощность MathLab хочу сказать и хвалебные слова в его честь. В нем гораздо больше различных функций по решению СНАУ, и рассмотренные функции в курсовой это еще не все, есть еще и другие, например ker - вычисление нуль-пространства СНАУ, но, так как я не поняла, что она делает, то и описывать не стала, тем более что и курсовой проект стал бы гораздо объемнее. За это разработчикам MathLab большое спасибо.                                А в целом обе эти системы очень похожи друг на друга. Это хороший пример, когда программисты делают свой товар с политикой наследования, чтобы пользователь, который освоил одну программу данной фирмы, мог легко воспринять и другие.                                     В заключении от себя хочется добавить. Мне показалось, что MathLab создан для крупных и сложных проектов, а если нужно сделать вычисления небольшого объема, то лучше использовать MathCAD.

Список использованной литературы

• О.М.Сарычева.  "Численные методы в экономике. Конспект лекций", Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск 1995г.
• Д.Мак-Кракен, У.Дорн. "Численные методы и программирование в MathCAD", Издательство "Мир", М. 1977г.
• Н.С.Бахвалов.  "Численные методы",  Издательство "Наука", М. 1975г.
• Kronecker L.  Algebraische Reduktion der Scharen bilinearer Formen. Sitz.-Ber. Akad. Wiss. Phys.-Math. Klasse. - Berlin, 1890. S.763-776.
• .Кублановская В. Н. О связи спектральной задачи для линейных пучков матриц с некоторыми задачами алгебры. Записки научных семинаров ЛОМИ "Численные методы и вопросы организации вычислений". – Л.:, 1978, 80, с. 98-116.
• Matrix Pencils. Edited by Kagstrom B., Ruhe A. Lecture Notes in Mathematics, 973, Berlin: Springer-Verlag, 1983.
• B. Buchberger. Groebner Bases: An Algorithmic Method in Polynomial Ideal Theory, Multidimensional Systems Theory (N.K. Bose ed.), D. Reidel Publ. Comp., 1985, pp. 184-232.
• Kagstrom B. RGSVD - An Algorithm for Computing the Kronecker Structure and Reducing Subspaces of Singular A-l B Pencils. SIAM J. Sci. Stat. Comput., 1986, 7(1), pp.185-211.
• Cellini P., Gianni P., Traverso C.  Algorithms for the Shape of Semialgebraic Sets. A New Approach. AAECC-9: Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error-Correcting codes. Lecture Notes in Computer Science, 539, Berlin: Springer-Verlag, 1991, pp. 1-18.
• Stetter H. J. Multivariate Polynomial Equations as Matrix Eigenproblems. In: Contributions in Numerical Mathematics. World Scientific Series in Applicable Analysis, 1993, 2, pp. 355-371.
• Borisevich V.D., Potemkin V.G. Direct method for SNAE solving in modeling of gas flow in centrifuge, 4th Workshop Proc. "Separation Phenomena in Liquids and Gases," August, 19-23, 1994, Tsinghua University, Beijing, P.R. China, pp. 115-127.
• Potemkin V.G., Borisevich V.D., Yupatov S.V. Direct method of solving finite difference nonlinear equations for multicomponent diffusion in a gas centrifuge, 5th Workshop Proc. "Separation Phenomena in Liquids and Gases," September, 22-26, 1996, Iguassu Falls, Brazil, pp. 49-65.
• В.Д.Борисевич, В.Г.Потемкин, С.П.Струнков. Пакет прикладных программ для решения систем нелинейных алгебраических уравнений от двух переменных. – М: МИФИ, 1998. –52 с.
• Borisevich V.D., Potemkin V.G., Strunkov S.P., Wood H.G. Spectral Method for Solving SNAE with Two Variables (Theory and MATLAB Toolbox), 1997-1999, (MEPhI), Wood H.G. (University of Virginia).
• Borisevich V.D., Potemkin V.G., Wood H.G. A New Approach for Finding All Zeros for systems of nonlinear Functions. An International Journal Computers & Mathematics with Application, v.40 (8-9), 2000, pp.965-970.
• Borisevich V.D., Potemkin V.G., Strunkov S.P., Wood H.G. Global Methods for Solving Systems of Nonlinear Algebraic Equations. An International Journal Computers & Mathematics with Application, v.40 (8-9), 2000, pp.1015-1025.
• Borisevich V.D., Potemkin V.G. Solving SNPE as a New Basic Symbolic-Numerical Operation for Modeling PDE. 7^th Int. Conf. on Application of Computer Algebra, ACA'2001, 31.05-3.06, 2001, Albuquerque, New Mexico, USA.
• http://www.mathcad.com
• http://www.mathcad.ru
• http://www.kirianov.orc.ru.
• http://www.technology.ru
• http://matlab.exponenta.ru/snae/book3/index.php
• http://matlab.exponenta.ru/snae/book3/index.php