Пакет символьной математики MATHCAD в инженерных расчетах

Точно так же можно построить несколько графиков на одном и том же чертеже в полярных координатах, используя эту же технологию заполнения шаблона графика.

 

 

 

 

 

                                          

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

 

 

 

 

 

 

 

2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ  И ИХ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ  С АНАЛИЗОМ

Задание 1 (ИДЗ 6.4-2.1)

 

Провести полное исследование указанной функции и построить её график. 
                                                    

                                                   Решение:

1.Область определения функции  , т.к. x-1=0 при x=1 .

2.Так как при при , то график функции проходит через  
точку (0;- 2).

3.Функция принимает положительные  значения в интервале  и отрицательные в интервале .

4. Вертикальной асимптотой является  прямая х=1. Найдем наклонные асимптоты:

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y = kx+b .

Исследуем поведение функции при :

если существуют конечные пределы

 и 

то прямая y = kx+b - наклонная асимптота графика функции f(x)

при (если к = 0, т.е. ,то y=b- горизонтальная асимптота).

 

 

Следовательно, наклонной асимптотой является прямая у=х-1.

5. Так как  и , то функция не является ни четной, ни нечетной.

6. Исследуем функцию на монотонность:

;

 

  =0; - критические точки.

Производная не существует при х=1, не входящей в область определения функции

 

 

Таблица 2. Экстремумы функции

x		0		1		2
y¢	+	0	-	-	-	0	+
y	ä	-2	æ	-	æ	1	ä

 

 

 

 

 

 

7. Исследуем график функции на  выпуклость, вогнутость и определим  точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции:

 

 

;

 

 

 

 

Таблица 3. Экстремумы функции

x		1
y¢¢	-	-	+
y		-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                         

 

 

 

 

 

 

 

 График функции имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2 (ИДЗ 2.2-2.1)

 

Вершины пирамиды находятся в точках А(3,4,5), В(1,2,1), С(-2,-3,6) и     D(3,-6,-3).

 Вычислить:

а) площадь грани ACD;

б) площадь сечения, проходящего через середину ребра AB и две вершины пирамиды C и D;

в) объем пирамиды ABCD.

 

Решение:

 

а) Известно, что

 

,

Находим векторное произведение:

                        

 

б) Найдём координаты середины ребра АВ точки L:

 

 

,

Находим векторное произведение:

                             

 

в)

 

Ответ: а) ; б) ; в) 42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3 (ИДЗ 8.1-2.1)

 

Найти неопределенный интеграл (результаты интегрирования проверить дифференцированием).

 

Решение:

 

Проверим полученный результат дифференцированием:    

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4 (ИДЗ 9.3-3.11)

 

Найти координаты центра тяжести плоской однородной кривой L: кардиоида

 

Решение:

 

Координаты центра масс данной фигуры найдем по формулам:

В силу симметрии получим, что ус=0

Определим координату , т.е. массу разделим на момент первого порядка. Найдём массу:

 

Найдём момент первого порядка:

.

 

Координаты центра тяжести данной фигуры: (1,6; 0).

 

 

 

 

 

Задание 5 (ИДЗ 10.2-2.10)

 

Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что .

 

Решение:

 

Вначале находим первые частные производные данной функции:

;

.

Дифференцируя каждую из полученных производных по х и по у, находим вторые частные производные данной функции:

 

= .

Как видно, смешанные частные производные равны.

 

 

 

 

                                                                                                                                                          

 

 

 

 

 

 

Задание 6 (ИДЗ 11.2-3.9)

 

Решить задачу Коши для дифференциального  уравнения, допускающего понижение порядка , , .

 

Примечание:

 

Данное дифференциальное уравнение относится к третьему типу уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка, т.е. дифференциальное уравнение n-го порядка, не содержащего явно аргумента x:

Тогда порядок уравнения всегда можно понизить на единицу, введя новую функцию , где y рассматривается как ее аргумент. Для этого нужно выразить через производные новой функции по аргументу у. Использовав правило дифференцирования сложной функции, получим:

Из проведенных вычислений ясно, что выражается через производные функции p и y, порядок которых не превышает .

В итоге вместо уравнения  получаем уравнение вида:

 

Решение:

      

       Данное уравнение является уравнением III типа, так как не

содержит явно аргумент x и n= 2.

       С помощью подстановки понизим порядок уравнения, тогда .

,

 

,

 

,

Используя начальные условия имеем, что при х=0 у=0, а р=1. Получим значение С=0: 1=е0+С

Значит р=еу. Делаем обратную замену и получим уравнение y’=ey,

Воспользуемся начальными условиями для нахождения значения С1:

у(0)=0. Получим 0=-ln|-0-C1|, C1=-1. Значит решение имеет вид: у=-ln|1-x|

 

3. Листинги выполнения задания

 Задание 1 (ИДЗ 6.4-2.1)

 

Задание 2 (ИДЗ 2.2-2.1)

 

Задание 3 (ИДЗ 8.1-2.1)

 

Задание 4 (ИДЗ 9.3-3.11)

 

 

Задание 5 (ИДЗ 10.2-2.10)

 

 

Задание 6 (ИДЗ 11.2-3.9)

 

 

 

ВЫВОДЫ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ

В данной курсовой работе мною были рассмотрены возможности пакета MathCAD, а также  решение инженерных расчетов с помощью этого пакета.

Целью данной курсовой работы является освоение работы с современными пакетами автоматизации инженерных расчетов. Результатом данной курсовой является решение индивидуальных заданий как математически, так и с помощью программы MathCAD.

Выводы:

В задании 6.4.-2.1 ответы совпали.

В задании 2.2.-2.1 графики функций абсолютно похожи.

В задании 8.1.-2.1. результаты одинаковы, только отличаются внешним видом (в аналитическом решении ответ записан с радикалом, а в MathCad ответ записан в степенном виде).

В задании 9.3. – 3.11. результаты и графики функций совпадают.

В задании 10.2.-10.2. результаты совпадают.

В задании 11.2.-3.9. в аналитическом решении получен ответ в виде функции, а в MathCad ответ получен только в виде графика функции, что свидетельствует о недостаточности средств пакета MathCad для решения дифференциальных уравнений.

Пакет MathCAD достаточно эффективен для решения инженерных задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 7.0 в математике, физике и в Internet. - М.: “Нолидж”, 1999. - 352 с.
2. Дьяконов, В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. - М.: “СК Пресс”, 1997. - 336 с.
3. Дьяконов В.П. Mathcad 2000: Учебный курс. - СПб.: Питер, 2000. - 586 с
4. Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 560 с
5. Кудрявцев, Е. М. MathCAD 11. Полное руководство по русской версии. – М.: ДМК Пресс, 2005. – 592 с.
6. Очков, В.Ф. MathCAD PLUS 6.0 для инженеров и студентов. - М.: ТОО фирма “КомпьютерПресс”, 1996. - 238с.
7. Панферов А. И., Лопарев А. В., Пономарев В. К. Применение Mathcad в инженерных расчетах: Учеб. пособие. - СПб., 2004.  88 с.: ил.
8. Плис, А.И., Сливина Н.А. MathCAD: математический практикум для экономистов и инженеров:  Учебн. пособие. - М.: Финансы и статистика, 1999. - 656 с.
9. Райхмист, Р.Б. Графики функций: задачи и упражнения. - М.: Школа -Пресс, 1997. - 384 с.
10. Симонович, С. В. Информатика. Базовый курс . – СПб.: Питер, 2008. – 640 с.Cборник индивидуальных заданий ч.1, ч.2 под общей редакцией А.Л. Рябушко, Мн.: Вышэйшая школа, 1990, 1991 гг. ч.1 –280 с.,ч.2 –352 с.
11. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1998. - 304 с.
12. Шушкевич, Г.Ч. Введение в MathCAD 2000: Учебное пособие / Г. Ч. Шушкевич, С. В. Шушкевич. – Гродно: ГрГУ, 2001. – 138 с.
13. MathCAD 6.0 PLUS . Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. - М.: Информационно-издательский дом “Филинъ”, 1997. - 712 с.