Предположим, что текущая рыночная доходность составляет 16%, а безрисковая ставка – 10%. Ниже приведены доходности и бета коэффициенты акций A, B, и C.

Акция	Доходность	β
A	16%	1.2
B	19%	1.4
C	13%	0.75

а) Какие из акций являются переоцененными согласно CAPM?

б) Какие из акций являются недооцененными согласно CAPM?

в) Дайте графическую иллюстрацию вашему ответу.

Решение. Дано : mr = 0.16, mf = 0.1

Согласно CAPM: mi = mf + βi(mr – mf ) + αi.

Если αi = 0, то акция «справедливо» оцененная, если αi > 0, то акция переоценена, если αi < 0 то акция недооценена.

α1 = 0.16 - 0.1 – 1.2*0.06 = -0.012

α2 = 0.19 – 0.1 – 1.4*0.06 = 0.006

α3 = 0.13 – 0.1 – 0.75*0.06 = - 0.015

Т. к. α1 и α3 < 0, то акции A и C – недооценены. α2 > 0 – акция B переоценена.

На графике SML видно, что точки акций A и C лежат ниже прямой рынка (недооценены) на величину значений α1 и α3 соответственно. Точка акции B – выше линии SML (переоценена) на величину α2.

Задача 12.

Рассматривается возможность формирования инвестиционного портфеля из двух акций A и B в равных долях, характеристики которых представлены ниже.

Вид актива	Доходность (в %)	Риск (в %)
A	10.00	30.00
B	25.00	60.00

Исходя из предположения, что коэффициент корреляции между ними равен 0.25, определите ожидаемую доходность и риск портфеля.

б) Определите оптимальный портфель для требуемой нормы доходности в 20%.

Решение.

а) ожидаемая доходность D = 0.1*X1 + 0.25*X2 , при X1 = 0.5, X2 = 0.5 имеем:

D = 0.1*0.5 + 0.25*0.5 = 0.05 + 0.125 = 0.175 или 17.5%.

Риск портфеля , где r12 – корреляция.

Откуда σp = ((0.5)2*((0.3)2 + 2*0.25*0.3*0.6 + (0.6)2))1/2 = ((0.25*(0.09 + 0.09 + 0.36))1/2 = (0.25 * 0.54)1/2 = 0.1351/2 = 0.367 или 36,7 %.

б) имеем систему уравнений: 0.1*X1 + 0.25*X2 = 0.2

X1 + X2 = 1

из первого и второго: 0.1* X1 + 0.25*( 1 - X1 ) = 0.2 ==>

X1(0.1 – 0.25) = 0.2 – 0.25 ==> X1 = 1/3 и X2 = 2/3 – доли акций A и B.

Риск потрфеля:

σp = 0.3*((1/9) + 4*(4/9) + (2/9))1/2 = 0.1*(1 + 16 + 2)1/2 = 0.1 * 191/2 = 0.436 или 43.6%.

Задача 15.

Имеются следующие данные о значении фондового индекса и стоимости акции A.

Период	Индекс	A
	645.5	41.63
1	654.17	38.88
2	669.12	41.63
3	670.63	40.00
4	639.95	35.75
5	651.99	39.75
6	687.31	42.00
7	705.27	41.88
8	757.02	44.63
9	740.74	40.50
10	786.16	42.75
11	790.82	42.63
12	757.12	43.50

Определите бета-коэффициент акции. Постройте график линии SML для акции A.

Решение.

Строим уравнение регрессии mi = βi mr + ai методом МНК:

, ,

где σ2mr - дисперсия доходности на индекс, mr – рыночная доходность, - средняя за период доходность акции, - средняя за период доходность на индекс.

период	индекс	А	Дох-ть инд mr	Дох-ть А	дисп.инд	β	mi=1.192*mr – 0.0108
0	645,50	41,63
1	654,17	38,88	0,013431	-0,066058	3,63503E-07	0,000043	0,005213
2	669,12	41,63	0,022853	0,070730	7,77752E-05	0,000571	0,016453
3	670,63	40,00	0,002257	-0,039154	1,38713E-04	0,000531	-0,008118
4	639,95	35,75	-0,045748	-0,106250	3,57393E-03	0,006707	-0,065387
5	651,99	39,75	0,018814	0,111888	2,28447E-05	0,000506	0,011634
6	687,31	42,00	0,054173	0,056604	1,61108E-03	0,002034	0,053816
7	705,27	41,88	0,026131	-0,002857	1,46325E-04	-0,000106	0,020363
8	757,02	44,63	0,073376	0,065664	3,52145E-03	0,003545	0,076725
9	740,74	40,50	-0,021505	-0,092539	1,26307E-03	0,003500	-0,036466
10	786,16	42,75	0,061317	0,055556	2,23565E-03	0,002346	0,062339
11	790,82	42,63	0,005928	-0,002807	6,57204E-05	0,000071	-0,003739
12	757,12	43,50	-0,042614	0,020408	3,20904E-03	-0,000820	-0,061648

среднее			0,014034	0,005932	1,44236E-03	1,192976

β = 1,192

a = 0.005932 – 1.192 * 0.014034 = -0.0108

Задача 16.

Вы прогнозируете, что в следующие 6 месяцев акции компании X возрастут в цене. Текущий курс акции равен 100 руб., опцион «колл» с истечением через 6 месяцев имеет цену исполнения 100 руб. и продается по 10.00. У вас есть 10 000, и рассматриваются три стратегии: а) купить 100 акций; б) купить 1000 опционов; в) купить 100 опционов за 1000 и вложить оставшиеся 9000 в шестимесячные облигации с доходностью 8% годовых (4% за 6 месяцев).

Какая из стратегий даст наибольшую доходность при будущем курсе 80.00, 100.00, 110.00, 120.00?

Решение. Ф-ла доходности: , где P0, P1 – совокупная стоимость активов в начале и конце периода.

А) при S' = 80.00 D = 100*(8000-10000)/10000 = -20%

при S' =100.00 D = 100*(10000-10000)/10000 = 0%

при S' =110.00 D = 100*(11000-10000)/10000 = 10%

при S' = 120.00 D = 100*(12000-10000)/10000 = 20%

Б) при S' = 80.00 D = 100%*( 1000*( max(0, 80 – 100) – 10))/10000 =

=100%*(1000*(0 – 10 )) /10000 =

= 100%*(-10000)/10000=-100%

при S' = 100.00 D = 100%*(1000*( 0 – 10 ))/10000 = - 100%

при S' = 110.00 D = 100%*(1000*( max(0, 110 -100) – 10))/10000 =

= 100%*(1000*( 10 – 10 ))/10000 = 0%

при S' = 120.00 D = 100%*(1000*( max(0, 120 - 100) – 10))/10000 =

= 100%*(1000*( 20 – 10 ))/10000 =

= 100%*10000/10000 = 100%

В) P1 = Pоп + Pобл , Pобл = 9000 + 0,04*9000 = 9360

при S' = 80.00 Pоп = 100* max(0, 80 – 100) – 1000 = -1000

P1 = 9360 – 1000 = 8360

D = 100%*( 8360 -10000 ) / 10000 = - 16.4%.

при S' = 100.00 Pоп = 100* max(0, 100 – 100) – 1000 = -1000

P1 = 9360 – 1000 = 8360

D = 100%*( 8360 -10000 ) / 10000 = - 16.4%.

при S' = 110.00 Pоп = 100* max(0, 110 – 100) – 1000 = 1000 – 1000 = 0

P1 = 9360 + 0 = 9360

D = 100%*( 9360 -10000 ) / 10000 = - 6.4%.

при S' = 120.00 Pоп = 100* max(0, 120 – 100) – 1000 = 2000 – 1000 = 1000

P1 = 9360 + 1000 = 10360

D = 100%*( 10360 -10000 ) / 10000 = 3.6%.

Таблица ответов

	80.00	100.00	110.00	120.00
A	-20%	0%	10%	20%
Б	-100%	-100%	0%	100%
В	-16.4%	-16.4%	-6.4%	3.6%

Наибольшая доходность – в варианте Б.

Задача 17.

Текущая цена акции B составляет 65.00. Стоимость трехмесячного опциона «колл» с ценой исполнения 60.00 равна 6.20. Стандартное отклонение по акции B равно 0.18. Безрисковая ставка составляет 10%.

Определите справедливую стоимость опциона. Выгодно ли осуществить покупку опциона?

Решение.

Дано: S = 65, K = 60, r = 0.1, σ = 0.18, T = 0.25.

Фирмулы (см. стр. 25):

где

h = (1/(0.18*0.25^0.5))*ln(65/(60*exp(-0.1*0.25))) + 0.5*0.18*(0,25)^(0.5) = 1,212

h - σ√(T-t) = 1,122

N(1,212) = 0,887

N(1,122) = 0,869

Справедливая стоимость: V(65, 0.25) = 65*0,887 – exp(-0.1*0.25)*60*0,869 = 6.81

Отсюда следует, что опцион, стоящий 6.20, недооценен. Следовательно, покупку опциона осуществить выгодно.

Задача 18.

Текущий курс акции равен 80.00 и может в будущем либо увеличится до 100.00 с вероятностью 0.6, либо понизиться до 60.00 с вероятностью 0.4. Цена исполнения опциона «колл» равна 80.00.

Определите ожидаемую стоимость опциона «колл». Определите коэффициент хеджирования и постройте безрисковый портфель.

Решение.

Дано: S' = 100 w' = 0.6

S'' = 60 w'' = 0.4

S0 = 80

K = 80

Тогда математическое ожидание цены акции S:

μ = w' S' + w'' S'' = 0.6 * 100 + 0.4 * 60 = 60 + 24 = 84

V' = max(0, S' – K)= 20,

V'' = max (0, S'' – K) = 0.

Ожидаемая цена опциона в момент исполнения:

V = w' V' + w'' V'' = 0.6 * 20 + 0.4 * 0 = 12.

Для безрискового портфеля из δ акций и продажи 1 опциона колл имеем систему уравнений:

δS' - V' = p

δS'' - V'' = p,

где p – цена портфеля. Она одинакова для обоих исходов. Следовательно получаем:

δS' - V' = δS''- V''

откуда: δ*100 – 20 = δ*60 – 0; δ = 0.5.

δ - коэффициент хеджирования (Hedge Ratio) - изменение цены опциона при изменении цены базового актива на 1.

Итого, безрисковый портфель состоит из 0.5 акций и 1 короткого опциона колл.

Цена опциона в момент t=0 равна стоимости безрискового портфеля в момент t=0: δ S'' = δ * 60 = 30.

Информация о работе Задачи по "Инвестициям"