Активные фильтры

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

 

НАПРАВЛЕНИЕ

«ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Описание лабораторной работы

 

АКТИВНЫЕ  ФИЛЬТРЫ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2008 г.

 

Оглавление

 

 

Введение

 

Целью данной работы является изучение основных принципов действия активных фильтров, построенных на базе операционных усилителей. Подбором свойств цепи обратной связи можно реализовать фильтры различных типов: нижних и верхних частот, полосовые и режекторные.

В процессе выполнения предыдущих лабораторных работ были изучены свойства фильтров, построенных на базе пассивных RC-элементов. В курсе лекций также было показано что, используя различные комбинации включения пассивных звеньев первого и второго порядков, можно, в принципе, реализовать практически любую амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики, удовлетворяющие условиям физической осуществимости. Однако при этом следует иметь в виду следующие обстоятельства. Во-первых, при простом каскадном соединении RLC-звеньев коэффициент передачи цепи не будет равен произведению коэффициентов отдельных каскадов, так как входное сопротивление последующего звена будет служить нагрузкой для предыдущего. Если же желательно получить их произведение, то между ними необходимо включать разделительные каскады с большим входным и малым выходным сопротивлением. Во-вторых, в состав цепей, имеющих резкие экстремумы АЧХ, входят катушки индуктивности, технология изготовления которых не отвечает современным требованиям миниатюризации. Отмеченные трудности могут быть преодолены при использовании активных фильтров.

В ходе выполнения работы студенту предлагается рассчитать различные фильтры, провести компьютерное моделирование, смонтировать электрическую цепь и провести экспериментальные  измерения. В данном описании приведены только основные теоретические результаты и метод создания блока операционного усилителя в Simulink для проведения дальнейшего численного моделирования. Более подробную информацию можно найти в методическом пособии «Применение операционных усилителей для фильтрации, генерации и усиления сигналов. Моделирование в Simulink».

Свойства операционного  усилителя

 

Операционный усилитель (ОУ) представляет собой усилительное устройство с большим коэффициентом  усиления К₀ (10³ ÷ 10⁵), большим входным (до сотен МОм) и малым выходным (десятки Ом) сопротивлениями и широкой полосой пропускания, начинающейся от нуля и достигающей для ряда ОУ значения сотен мегагерц. На электрических схемах ОУ обычно изображается треугольником и имеет два входа (1 и 2 на Рис. 1) и один выход (5). ОУ выполняются в виде интегральных микросхем, в состав которых входят несколько десятков или сотен транзисторов.

Рис. 1. Изображение операционного усилителя.

 

Очевидно, что для того чтобы на работу усилителя не влиял источник сигнала, его выходное сопротивление должно быть существенно меньше входного сопротивления усилителя. Следствием этого является то, что входной ток усилителя очень мал. Если считать, что выходное сопротивление источника задано, то нужно стремиться к увеличению входного сопротивления усилителя. В идеале .

Чтобы на работу усилителя  не влияла нагрузка, ее сопротивление  должно быть много больше выходного  сопротивления усилителя, т.е. выходное сопротивление усилителя должно быть мало: .

Если подать гармоническое  напряжение x⁺(t) на вход (+) ОУ при заземленном втором входе, то на выходе будет напряжение K₀ x⁺(t). Этот вход называется неинвертирующим. При подаче напряжения x^-(t) на вход (–) на выходе получается напряжение -K₀ x^-(t). Этот вход называется инвертирующим. Следовательно, ОУ усиливает разность сигналов x⁺(t) и x^-(t) на его входах.

На Рис. 1 отмечены спектральные функции входных сигналов X⁺(iω), X^-(iω) и выходного сигнала Y_вых(iω). Учитывая, что коэффициент передачи операционного усилителя K₀, можно записать:

. (1)

Поэтому такой усилитель  называется дифференциальным.

В идеальном случае, если оба входа  имеют одинаковый потенциал относительно «земли» (общей точки), т.е. если дифференциальное входное напряжение равно нулю, то напряжение на выходе усилителя также  равно нулю, независимо от коэффициента усиления схемы.

Наличие двух входов у дифференциального усилителя дает возможность включения двух независимых цепей обратной связи, одна из которых связывает выход усилителя с его инвертирующим входом, а другая – с неинвертирующим.

Чтобы обеспечить возможность работы ОУ как с положительными, так и с отрицательными входными сигналами, используется двухполярное постоянное питающее напряжение (на Рис. 1 оно подключается к 3 и 4 выводам ОУ).

Рассмотрим некоторые параметры  ОУ:

1. Дифференциальный коэффициент усиления по напряжению является комплексной величиной . Модуль коэффициента усиления К₀ – это отношение амплитуды сигнала на выходе к амплитуде дифференциального входного напряжения (для гармонических сигналов). Типовые значения К₀ находятся в пределах 10³ – 10⁵.
2. Частота единичного усиления f₁. На больших частотах усиление ОУ снижается. При некоторой частоте входного сигнала усиление ОУ уменьшается до 1. Эта частота называется частотой единичного усиления. Для низкочастотных ОУ f₁ = 1МГц, для быстродействующих высокочастотных f₁ = 15 – 100 МГц.
3. Входное сопротивление – сопротивление со стороны любого входа, в то время как другой вход заземлен. Входное сопротивление может для разных типов усилителей иметь величину от нескольких кОм до нескольких сотен мОм.
4. Выходное сопротивление – это сопротивление со стороны выхода в таком режиме работы, когда напряжение на входе равно нулю. Это сопротивление может быть равно 25 – 500 Ом.
5. Полоса пропускания ОУ определяется как частотный диапазон, в котором выходное напряжение уменьшается не более чем до 0,707 от своего максимального значения при неизменной амплитуде на входе. Нижняя граница полосы пропускания равна нулю (ОУ усиливают постоянные напряжения), верхняя граница полосы пропускания определяется типом ОУ и может изменяться от десятков кГц до сотен МГц.
6. Выходное напряжение сдвига – это напряжение на выходе ОУ относительно «земли» или общей точки схемы при условии, что дифференциальное входное напряжение равно нулю. Операционные усилители конструируются так, чтобы это напряжение было равно нулю. Однако практически точно выполнить это условие невозможно. Обычно, для установления выходного напряжения, равного нулю, необходимо подать на вход (между выводами «+» и  
   «-») несколько милливольт. Некоторые ОУ имеют выводы для подключения потенциометра, регулирующего напряжение на выходе при отсутствии входного сигнала.
7. Входное напряжение смещения – напряжение, которое нужно приложить между входами усилителя для получения нуля на выходе. Эта величина чаще всего лежит в диапазоне 0 – 10 мВ.
8. Максимальное выходное напряжение – амплитуда выходного напряжения относительно нуля при работе усилителя на линейном участке. У разных типов ОУ максимальное выходное напряжение лежит в диапазоне ±(3 – 15) В.

Для расчетов схем с ОУ широко используют понятие об идеальном операционном усилителе, подразумевая под этим, что у ОУ:

• коэффициенты усиления по току и напряжению и входное сопротивление каждого из входов ОУ бесконечно велики;
• усилитель полностью симметричен, не имеет дрейфа нуля и усиливает одинаково колебания любых частот. Дрейфом нуля называется изменение выходного напряжения, не связанные со входным сигналом и обусловленные внутренними процессами в усилителе. Главная причина дрейфа – изменение температуры.

На практике вследствие разбаланса и несимметрии дифференциальных усилителей внутри самого ОУ на выходе будет наблюдаться некоторое  напряжение сдвига даже в том случае, когда оба его входа заземлены. Это напряжение может быть настолько  большим, что ОУ войдет в режим насыщения и как усилительный элемент работать не будет. Компенсация выходного сдвига называется балансировкой усилителя. Для этого на один из входов подают небольшое постоянное напряжение. Величина и полярность этого напряжения может быть разной для различных схем включения ОУ. Поэтому в схемах балансировки ОУ используются потенциометры, подключенные так, как показано на Рис. 2 и Рис. 3.

Рис. 2. Схема балансировки инвертирующего усилителя.

Рис. 3. Схема балансировки неинвертирующего усилителя

 

В некоторых ОУ предусмотрены  специальные выводы для установки  нуля. Изготовители рекомендуют подключать потенциометры между выводами «балансировка» (Б₁ и Б₂), как показано на Рис. 4. Как правило, в этом случае балансировка осуществляется в коллекторных и эмиттерных цепях усилительных транзисторов первого дифференциального каскада.

Помимо напряжения сдвига, разбаланс усилителя может быть вызван так называемыми токами смещения. Транзисторам как приборам, управляемым током, для базового смещения необходим некоторый ток. Поэтому через входные клеммы типичного ОУ протекают небольшие постоянные токи смещения. Величина входного тока обычно мала (она указывается в справочниках). Однако при использовании в цепи обратной связи резисторов с относительно большими сопротивлениями наличие токов смещения может привести к переходу ОУ в насыщенный режим работы.

Рис. 4. Схема ОУ.

 

Действительно, при обычном  включении ОУ Рис. 5 напряжение на входе «+» равно нулю, а на выходе «-» отлично от нуля, т. к. базовый ток смещения встречает на своем пути ко входу «-» сопротивление, равное параллельно соединенным сопротивлениям R₁ и R₂.

Рис. 5. Токи смещения I₁ и I₂ на входах ОУ.

 

Таким образом, между  входами ОУ образуется дифференциальное напряжение, которое усиливается  и приводит к появлению выходного напряжения сдвига. Очевидно, что это напряжение тем больше, чем больше сопротивления, используемые в цепи обратной связи.

Влияние входного тока смещения на выходное напряжение сдвига можно  свести к минимуму, если включить, как показано на Рис. 6, последовательно с неинвертирующим входом резистор R₃, сопротивление которого определяется по формуле

. 

В этом случае если базовые  токи транзисторов дифференциального  каскада одинаковы, то дифференциальное входное напряжение, обусловленное токами смещения, будет равно нулю. Если же они не одинаковы, то для уменьшения влияния токов смещения необходимо уменьшать сопротивления в цепи обратной связи.

Прежде чем перейти  к рассмотрению конкретных схем включения ОУ, уточним, в каких случаях при расчете внешних элементов можно пользоваться понятием идеальности ОУ. Очевидно, что током во входной цепи усилителя (Рис. 5) можно пренебречь, если входное сопротивление ОУ много больше сопротивления параллельно соединенных R₁ и R₂; коэффициент усиления по напряжению можно считать бесконечным, если он много больше требуемого коэффициента усиления, определяемого цепью обратной связи; выходное сопротивление можно считать бесконечно малым, если оно много меньше сопротивления нагрузки усилителя.

Рис. 6. Схема балансировки усилителя.

 

Итак, при всех расчетах, которые проводятся в предположении  идеальности ОУ, следует выбирать такие сопротивления, чтобы выполнялись следующие условия:

; ;  

Моделирование операционного усилителя в MATLAB

 

Перед выполнением эксперимента необходимо рассчитать параметры схемы и провести компьютерное моделирование. В данной работе для моделирования предлагается использовать библиотеку SimPowerSystems программы Simulink.

В библиотеке SimPowerSystems нет специального блока для операционного усилителя, но пользователь имеет возможность создать свой собственный блок, собрав его схму замещения из блоков вольтметров, источника напряжения и блоков основной библиотеки Simulink. Рассмотрим, какой моделью можно описать ОУ. Исходя из частотных свойств, ОУ является фильтром низких частот с широкой полосой пропускания. Поэтому моделировать частотные свойства ОУ будем с помощью функции передачи фильтра низких частот и коэффициента усиления:

, (2)

где K₀ – коэффициент передачи ОУ на постоянном токе (коэффициент усиления). Модуль передаточной функции (2) будет:

 

Учитывая, что на частоте  единичного усиления f₁ модуль коэффициента передачи равен единице, находим постоянную времени цепочки τ:

. (3)

Обычно коэффициент  усиления K₀ очень большой, поэтому единицей в числителе выражения (3) можно пренебречь. Тогда, коэффициент передачи (2) можно переписать как:

 (4)

Таким образом, функция  передачи ОУ будет описываться двумя  параметрами K₀ и f₁. Для типичных значений K₀ =10⁵ и f₁=10⁸/2π Гц зависимость модуля (Magnitude) и фазы (Phase) комплексной функции передачи от частоты (Frequency) будет выглядеть следующим образом (Рис. 7). Для наглядности графики приведены в логарифмическом масштабе. Видно, что при циклической частоте ω₁ = 10⁸ рад/с модуль функции передачи равен 1.

Рассмотрим модель ОУ в SimPowerSystems (Рис. 8). Взаимодействие усилителя с электрической цепью происходит через клеммы 1, 3, обозначенные соответственно «+» и «-» (вход ОУ), и клемму 2, обозначенную «out» (выход ОУ). Соединение с Simulink-моделью осуществляется с помощью двух блоков измерителей напряжения Voltage Measurement (свой для каждого входа) и блока управляемого источника напряжения Controlled Voltage Source. Три сопротивления на схеме моделируют входные сопротивления ОУ (по каждому входу) и выходное сопротивление ОУ. Основу модели составляет схема из блоков Simulink.

Рис. 7. АЧХ и ФЧХ модели ОУ.

Рис. 8. Модель ОУ.

 

Коэффициент передачи ОУ на постоянном токе задает усилитель Gain (коэффициент усиления в окне параметров блока задается переменной K0), на вход которого поступает разность входных напряжений усилителя с блока Add.

Блок передаточной функции Transfer Fcn задает частотные свойства операционного усилителя (вектор числителя блока [1], а знаменателя [K0/2/pi/f1 1]), а блок насыщения Saturation обеспечивает ограничение выходного напряжения на уровне напряжений положительной и отрицательной полярностей (величины насыщения в свойствах блока обозначены переменными lim и -lim), имитируя нелинейность характеристики реального усилителя вызванную, конечной величиной напряжений питания.

Оформим модель ОУ как  отдельный блок, чтобы его можно  было в дальнейшем использовать для  моделирования различных электрических  схем. Для этого создадим маскированную подсистему, отражающую общепринятое условное обозначение ОУ в схеме и параметры, характеризующие модель ОУ. Окно с вкладкой Icon, описывающей внешний вид блока показано на Рис. 9. Здесь в основном окне введена команда MATLAB plot, соединяющая прямыми отрезками точки, координаты которых указаны в параметрах команды.