Активные фильтры

Рис. 9. Окно с вкладкой Icon редактора маски ОУ.

 

В данном случае, это вектор координат X [10 10 40 10] и соответствующий вектор координат Y [10 20 15 10]. Эта команда рисует треугольник. Чтобы не было видно контура границы самой иконки подсистемы, в окне Frame была выбрана опция Invisible (невидимый). Для того чтобы были видны порты подсистемы и их обозначения на иконке, в окне Transparency выбирается опция Transparent (прозрачный).

Окно параметров Parameters показано на Рис. 10. Здесь введены основные параметры, описывающие модель ОУ:

• gain – коэффициент передачи на постоянном токе;
• unit frequency – частота единичного усиления;
• saturation – пределы насыщения (усилитель симметричный).

Рис. 10. Окно с вкладкой Parameters редактора маски ОУ.

 

Рис. 11. Иконка ОУ и окно параметров ОУ.

 

После создания маски  блок ОУ будет выглядеть, как показано на Рис. 11. На этом же рисунке приведено окно параметров этого блока, оно будет открываться при двойном щелчке по иконке блока вместо схемы подсистемы. В приближении идеального ОУ можно упростить схему 
Рис. 8.

Можно отказаться от резисторов считая, что входное сопротивление  идеального ОУ бесконечно велико, а выходное – бесконечно мало. Также, если не учитывается частотная зависимость, можно исключить блок передаточной функции.

Активные фильтры

 

При работе с электрическими сигналами часто требуется выделить из них какую-либо одну частоту или  полосу частот (например, разделить шумовой и полезный сигналы). Для подобного разделения используются электрические фильтры. Активные фильтры, в отличие от пассивных, включают в себя ОУ (или другие активные элементы, например, транзисторы, электронные лампы) и обладают рядом преимуществ. Они обеспечивают более качественное разделение полос пропускания и затухания, в них сравнительно просто можно регулировать неравномерности частотной характеристики в области пропускания и затухания. Также в схемах активных фильтров обычно не используются катушки индуктивности. В схемах активных фильтров частотные характеристики определяются частотнозависимыми обратными связями.

Фильтр нижних частот

Схема фильтра нижних частот приведена на Рис. 12.

Рис. 12. Активный фильтр нижних частот.

 

Коэффициент передачи такого фильтра можно записать как

,  (5)

где

 и  . (6)

При К₀ >>1

 

Коэффициент передачи в (5) оказывается таким же, как и у пассивного фильтра второго порядка, содержащего все три элемента (R, L, C) (Рис. 13), для которого:

	.
Рис. 13. Пассивный RLC-фильтр нижних частот

Рис. 14. АЧХ и ФЧХ активного фильтра низких частот для разных Q.

 

Если R₁ = R₃ = R и C₂ = C₄ = С (на Рис. 12), то коэффициент передачи можно записать как

 

Амплитудно- и фазочастотные  характеристики активного фильтра  низких частот для разных значений добротности Q показаны на Рис. 14 (параметры электрической схемы подобраны так, чтобы ω₀ = 200 рад/с). Из рисунка видно, что с ростом Q проявляется резонансный характер амплитудно-частотной характеристики.

Активный фильтр низких частот первого порядка реализуется схемой Рис. 15.

Рис. 15. Активный фильтр низких частот первого порядка.

 

Коэффициент передачи фильтра  равен

. 

Пассивный аналог этого  фильтра представлен на Рис. 16.

	.
Рис. 16. Пассивный фильтр низких частот первого порядка.

Сравнивая эти коэффициенты передачи, видим, что при одинаковых постоянных времени τ’₂ и τ модуль коэффициента передачи активного фильтра первого порядка будет в К₀ раз больше, чем у пассивного.

Рис. 17. Simulink-модель активного фильтра низких частот.

 

Исследовать АЧХ и  ФЧХ рассматриваемого активного  фильтра можно, например, в Simulink, используя блок передаточной функции. Для параметров электрической схемы К_р = 1, ω₀ = 200 рад/с и Q = 10 Simulink-модель с блоком передаточной функции будет выглядеть, как показано на Рис. 17. АЧХ и ФЧХ можно получить с помощью LTI-viewer. Но в данном случае проще использовать команду MATLAB freqs. Ниже приведен листинг для получения графиков АЧХ и ФЧХ.

w0=2e2; %собственная частота

Q=10; %добротность

w=0:1:400; %диапазон частот

b=[w0^2]; %вектор числителя передаточной функции:

a=[1 w0/Q w0^2]; %вектор знаменателя передаточной функции:

freqs(b,a,w); %расчет и построение АЧХ и ФЧХ

Амплитудно-частотные  характеристики активного фильтра  низких частот (для τ = 1с и К₀ = 1000) показаны на Рис.18. Из рисунка видно, что с ростом Q проявляется резонансный характер амплитудно-частотной характеристики.

Построим модель фильтра  нижних частот в SimPowerSystems, используя созданный нами блок ОУ (operational amplifier), как показано на Рис 19. Блок операционного усилителя является нелинейным, поэтому в настройках Simulation/Configuration Parameters Simulink для увеличения скорости расчета нужно использовать методы ode23tb или ode15s. Также необходимо разумно выбрать шаг по времени.

Рис. 18. АЧХ и ФЧХ активного фильтра низких частот (для τ = 1с).

 

Пусть R₁ = R₃ = R₆ = 100 Ом, R₅ = 190 Ом, C₂ = C₄ = 5*10^-5 Ф. Для случая, когда частота источника совпадает с собственной частотой системы ω₀, сигнал на выходе фильтра достигает максимальной амплитуды (приведен на Рис. 20). Сигнал представляет собой установившиеся вынужденные колебания с частотой источника. На графике хорошо виден переходный процесс, вызванный включением схемы в момент времени t = 0. Также на графике видны отклонения сигнала от синусоидальной формы вблизи экстремумов. На Рис. 21. приведена увеличенная часть предыдущего графика. Эти отклонения можно объяснить насыщением ОУ (максимально допустимые значения напряжения на выходе ОУ ± 15 В). Очевидно, что при увеличении амплитуды сигнала источника увеличивается и область искажений сигнала на выходе

Рис. 19. Модель активного фильтра низких частот в SimPowerSystems.

 

Рис. 20. Сигнал на выходе активного фильтра низких частот.

Рис. 21. Фрагмент сигнала на выходе активного фильтра низких частот.

Фильтр верхних частот

Схема фильтра высоких  частот второго порядка показана на Рис. 22.

Рис. 22. Активный фильтр высоких частот.

 

Выражение для коэффициента передачи такого фильтра записывается как:

, (7)

где при К₀ >> 1

, , 

. 

Если  R₂ = R₄ = R и C₁ = C₃ = С, то коэффициент передачи можно записать как

 

Схема пассивного фильтра  высоких частот второго порядка  на RLC-элементах с аналогичной частотной характеристикой приведена на Рис. 23.

	Коэффициент передачи такого фильтра описывается выражением (7) со следующими значениями параметров: .
Рис. 23. Схема пассивного фильтра высоких частот второго порядка.

Рис. 24. АЧХ и ФЧХ активного RC-фильтра высоких частот второго порядка.

Исследовать АЧХ и  ФЧХ рассматриваемого фильтра можно  также, как и в предыдущем случае в Simulink. Для параметров электрической схемы К_р = 1, ω₀ = 200 рад/с вектор числителя передаточной функции будет b = [1 0 0] и вектор знаменателя a = [1 2e2/Q 4e4]. Зависимость частотных характеристик от величины параметра Q показаны на Рис 24. В этом случае также параметры схемы подобраны так, чтобы собственная частота системы ω₀ = 200 рад/с. После перевода в герцы f₀ = 31.8310. Здесь также с увеличением Q АЧХ активного фильтра приобретает резонансный характер.

Активный фильтр высоких  частот первого порядка изображен  на Рис. 25., а его пассивный аналог – на Рис. 26.

	Коэффициент передачи активного  фильтра первого порядка равен: .(8)
Рис. 25. Активный фильтр первого порядка высоких частот.

 

	Коэффициент передачи пассивного фильтра: .
Рис. 26. Пассивный фильтр первого порядка высоких частот.

 

Сравнивая приведенные выражения для коэффициентов передачи видим, что при одинаковых постоянных τ’₁ и τ модуль коэффициента передачи активного фильтра в К₀ раз больше, чем у пассивного.

Частотные характеристики активного фильтра высоких частот приведены на Рис 27. (для τ = 1с).

Рис. 27. АЧХ и ФЧХ активного фильтра высоких частот (для τ = 1с).

Режекторный фильтр

Режекторный фильтр с  регулируемой полосой режекции может  быть построен по схеме, приведенной  на Рис. 28.

Рис. 28. Режекторный активный фильтр.

 

В этой схеме в цепи частотноизбирательной обратной связи  включен сбалансированный двойной  Т-образный RC-мост (Рис. 29).

Рис. 29. Сбалансированный двойной Т-образный RC-мост.

 

Коэффициент передачи Т-образного RC-моста в предположении, что мост не нагружен, равен

. (9)

Такое приближение может  быть принято, т.к. входное сопротивление  усилителя велико. Коэффициент передачи режекторного фильтра можно определить как:

. 

Выделим выражения, описывающие величину усиления, регулируемую соотношением сопротивлений в цепи обратной связи:

. 

Тогда коэффициент передачи можно переписать как:

. 

Используя выражение  для β(s), получим

. 

Если  , то . Таким образом, в этом случае коэффициент передачи фильтра не зависит от К₀ и определяется выражением

. (10)

Введя обозначения

, 

приведем это выражение  к стандартному виду

.

Рис. 29. АЧХ и ФЧХ активного режекторного RC-фильтра.

 

Семейство АЧХ и ФЧХ  активного режекторного RC-фильтра при различных значениях Q приведены на (Рис. 29). Здесь для определенности выбраны значения K_r = 10, ω₀ = 100 рад/с.

Полоса режекции определяется величиной Q и оказывается тем более узкой, чем больше Q. Существенно, что при любых значениях К_r режекторный активный фильтр остается устойчивым, т.к. всегда Q больше нуля. Если мост не сбалансирован (не точно выполняются соотношения между R и C в вертикальных и горизонтальных плечах моста (Рис.)), то режекция не является полной.

На Рис. 30. изображены характеристики для сбалансированного (пунктирная линия) и несбалансированного (сплошная линия) моста. Заметим, что мы описывали эту схему в предположении, что Т-образный мост не нагружен. Поэтому, для того чтобы результаты согласовывались с теоретическими результатами, выходное сопротивление Т-образного моста должно быть много меньше входного сопротивления усилителя и одновременно много больше сопротивления R₇, через которое средняя точка моста подключена к земле.

Рис. 30. АЧХ и ФЧХ для сбалансированного и несбалансированного моста.

 

Модель активного режекторного RC-фильтра в SPS будет выглядеть, как показано на Рис 31.

Рис. 31. Модель активного режекторного RC-фильтра в SPS.

Полосовой фильтр

В отличие от режекторного, полосовой фильтр пропускает сигнал в определенном диапазоне частот. Рассмотрим два варианта реализации полосового фильтра. Первая схема приведена на Рис. 32.

Рис. 32. Активный полосопропускающий фильтр.

Выражение для коэффициента передачи в этом случае:

, (11)

где

 (12)

Вторая схема полосопропускающего  фильтра показана на Рис. 33. Этот фильтр также имеет характеристику (11)., где теперь

 (13)

Рис. 33. Активный полосопропускающий фильтр.

 

Выражение (11) при К₁ = 1 совпадает с коэффициентом передачи пассивного RLC-фильтра, собранного по схеме (Рис. 34.), со следующими параметрами: