Модель расширяющейся экономики Неймана

 

Модель расширяющейся экономики Неймана

Модель Неймана (Von Neumann model) (модель фон Неймана, модель расширяющейся экономики) – теоретическая модель экономической динамики, предложенная выдающимся американским математиком Дж. фон Нейманом. В этой модели производство всех продуктов растет в одном темпе, цены не зависят от времени, прирост производства финансируется путем инвестирования прибыли. Динамическое равновесие в ней характеризуется условием p′ = 1 + z′, где p′ — относительный рост производства (при простом воспроизводстве p′ = 1); z′ — минимальный процент на капитал.

В модели рассматривается ограниченное число (k) технологических способов, выпускающих n продуктов с определенными интенсивностями. Чистый продукт делится на фонд потребления и фонд накопления. На этой основе записывается ряд соотношений, используя которые можно последовательно, шаг за шагом “развивать” процесс производства. Полученная траектория развития системы называется неймановской

Нейман обобщил модель линейного программирования, учтя временной разрыв между затратами и результатами технологического процесса. Если в ст. «Линейное программирование» моменты осуществления затрат и выпуска рассматриваются как одновременные, то в модели фон Нейманаматрицы коэффициентов затрат (технологическая матрица) A и коэффициентов выпуска Y отделены друг от друга. Кроме того, предполагается возможным производство любых благ, коэффициенты затрат aij относятся не к единице продукта, а к единице «уровня деятельности» (то же относится и к коэффициентам выпуска bij). Тогда продукт ВХ, использование которого становится возможным в конце периода, компенсирует затраты AX, и разность между общим продуктом и затратами составляет чистый продукт Y.

 

Классическая (исходная) модель Неймана строится при следующих предпосылках:

1. экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей;

2. производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом;

3. для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют;

4. спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются;

5. цены товаров изменяются во времени.

Перейдем к описанию модели Неймана. На дискретном временном интервале   с точками   рассматривается производство, в котором n видов затрат с помощью mтехнологических процессов превращаются в n видов продукции. Мы не будем указывать число отраслей, так как в дальнейшем не понадобится подчеркивать принадлежность товаров или технологий к конкретным отраслям. В модели Леонтьева технологические коэффициенты были отнесены к единице продукта. В модели Неймана, принимая в качестве производственных единиц не отрасли, а технологические процессы, удобно отнести эти коэффициенты к интенсивности производственных процессов.

Интенсивностью производственного процесса j называется объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровень интенсивности j-го процесса в момент времени tобозначим через   ( ). Заметим, что   является вектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j-ым процессом видов товаров и  .

Предположим, что функционирование j-го процесса ( ) с единичной интенсивностью требует затрат продуктов в количестве

и дает выпуск товаров в количестве

Введем обозначения   . Пара   характеризует технологический потенциал, заложенный в j-ом процессе (его функционирование с единичной интенсивностью). Поэтому пару   можно назвать базисом j-го производственного процесса, имея в виду, что для любой интенсивности   соответствующую пару затраты-выпуск можно выразить как   . Поэтому последовательность пар

представляющих собой затраты и выпуски всех производственных процессов в условиях их функционирования с единичными интенсивностями, будем называть базисными процессами.

Все m базисных процессов описываются двумя матрицами

где A- матрица затрат, B- матрица выпуска. Вектор   называется вектором интенсивностей. Соответствующие этому вектору затраты и выпуски по всем m процессам можно получить как линейную комбинацию базисных процессов (6.4.1) с коэффициентами   :

Говорят, что в производственном процессе   базисные процессы (6.4.1) участвуют с интенсивностями   . Как видно из (6.4.2) , неймановская технология, описываемая двумя матрицами A и B единичных уровней затрат и выпуска, является линейной (см. предпосылку 1) в начале параграфа). Рассматривая все допустимые "смеси" базисных процессов, получаем расширенное множество производственных процессов

которое и отражает допустимость совместной деятельности отраслей. Возможность совместного производства нескольких продуктов в одном процессе следует из того, что в каждом процессе jможет быть отличной от нуля более чем одна из величин  . Множество (6.4.3) представляет собой неймановскую технологию в статике (в момент t ). Если в матрице A положить n=m, матрицу B отождествить с единичной матрицей, а   интерпретировать как вектор валового выпуска, то (6.4.2) превращается в леонтьевскую технологию.

Продолжим описание модели Неймана. Согласно предпосылок 2) и 3), затраты   в момент t не могут превышать выпуска  , соответствующего предыдущему моменту t-1 (рис. 6.3).

Поэтому должны выполняться условия:

где   - вектор запаса товаров к началу планируемого периода.

Обозначим через  , вектор цен товаров. Неравенство (6.4.4) можно трактовать как непревышение спроса над предложением в момент t. Поэтому в стоимостном выражении (в ценах момента t) должно быть (см. Определение 5.2 равновесия):

По предположению 5) прибыль базисного процесса   на отрезке [t-1,T] равна величине  , т.е. затраты осуществляются по цене начала периода, а готовая продукция - по цене момента ее реализации. Таким образом, издержки по всем базисным процессам можно записать как  , а выручку - как   (рис. 6.4).

Будем говорить, что базисные процессы неубыточны, если  , неприбыльны - если

В модели Неймана предполагается неприбыльность базисных процессов. Это объясняется тем, что издержки и выручки разведены во времени, т.е. относятся к разным моментам времени, и в условиях расширяющейся экономики "характерен случай падения цен ( )", т.е. покупательская способность денег в момент t будет выше, чем в момент t-1. С таким обоснованием можно согласиться или не согласиться. Главная же причина неприбыльности базисных процессов заложена в определении экономического равновесия. Поясним это чуть подробнее.

Основной предмет исследования Дж. фон Неймана - это возможность существования равновесия в рассматриваемой им динамической модели экономики при заданных в каждый момент ценах. Как следует из определения 5.2, при равновесии в условиях совершенной конкуренции имеет место стоимостной баланс (см. (5.3.8)). Таким образом, в условиях равновесия не создается никакой прибыли, и неравенство (6.4.6) является отражением этого факта. Поэтому, если в (6.4.6) для некоторого базисного процесса j имеет место строгое неравенство, т.е. предложение превышает спрос:

то должно быть  . Иначе говоря, отсутствие "отрицательной прибыли" обеспечивается нулевой интенсивностью. Отсюда получаем

Описание модели Неймана завершено. Совокупность неравенств и уравнений (6.4.4) -(6.4.7) :

где   и   - матрицы затрат и выпуска соответственно, называется (динамической) моделью Неймана.

Определение 6.2. Говорят, что в экономике наблюдается сбалансированный рост производства, если существует такое постоянное число  , что для всех m производственных процессов

Постоянное число   называется темпом сбалансированного роста производства.

Содержательно (6.4.9) означает, что все уровни интенсивности возрастают одинаковыми темпами

Раскрывая рекуррентно правую часть (6.4.9), получаем

где   - интенсивность процесса j , установившаяся к началу планового периода. Заметим, что t в правой части (6.4.10) является показателем степени, а в левой - индексом.

В случае сбалансированного роста производства, с учетом постоянства темпа роста, последовательность   называется стационарной траекторией производства.

Определение 6.3. Говорят, что в экономике наблюдается сбалансированное снижение цен, если существует такое постоянное число  , что для всех n товаров

Постоянное число   называется нормой процента.

Содержательно (6.4.11) означает, что цены на все товары снижаются одинаковыми темпами

Название "норма процента" для темпа снижения   принято по ассоциации с показателем нормы процента (нормы доходности) в формуле сложного процента   , где R0 - сумма начального вложения, Rn - получаемая через n периодов конечная сумма,  - норма процента. Так как в определении 6.3 речь идет о снижении, то "норма процента" в (6.4.11) входит с отрицательным знаком ( ).

Из равенства (6.4.10) получаем

где  - цены, установившиеся к началу планового периода.

В случае сбалансированного снижения цен последовательность   называется стационарной траекторией цен.

Подставляя (6.4.10) и (6.4.12) в модель Неймана (6.4.8), получаем ее "стационарную" форму:

Эта система соотношений показывает, что по стационарным траекториям y и p экономика развивается согласно неизменному динамическому закону. Поэтому такую ситуацию естественно назвать равновесной.

Определение 6.4. Четверка  , где y - стационарная траектория производства, p- стационарная траектория цен, а   и   - соответствующие им темп сбалансированного роста производства и норма процента (темп сбалансированного снижения цен), называется состоянием (динамического) равновесия в модели Неймана (6.4.8).

Сделаем следующие предположения:

а)    
в) для каждого j существует хотя бы одно i , такое что   ;  
г) для каждого i существует хотя бы одно j , такое что  ;  
д) для каждого t   .

Теорема 6.4. Если выполнены условия а)-д), то в модели Неймана (6.4.8) существует состояние равновесия.

Условия в) и г) говорят о наличии в каждом столбце матрицы A и каждой строке матрицы B по крайней мере одного положительного элемента. Содержательно это означает, что среди всех производственных процессов нет таких, которые ничего не тратят, и каждый из n видов продуктов действительно производится. Условие д) имеет чисто техническое предназначение.