Методы анализа нечеткой информации

 

Министерство образования  и науки Российской Федерации 

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 

«Волгоградский государственный  технический университет»

Факультет подготовки инженерных кадров

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по курсу «Методы анализа нечеткой информации»

 

 

 

 

 

Выполнила: студент гр. АУЗ-362с Машков Д.Ю. Зач. кн. № 20112379 проверил: доцент Орлова Ю.А.

 

 

Волгоград, 2013 

Содержание

1. Описание основных положений нечеткой логики
2. Нечеткая кластеризация
3. Современное практическое применение механизма анализа нечеткой информации

 

 

1. Описание основных положений нечеткой логики

Нечёткая логика (англ. fuzzy logic) — раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств, базирующее на понятии нечёткого множества, впервые введённого Лотфи Заде в 1965 году как объекта с функцией принадлежности элемента к множеству, принимающей любые значения в интервале [0, 1], а не только 0 или 1. На основе этого понятия вводятся различные логические операции над нечёткими множествами и формулируется понятие лингвистической переменной, в качестве значений которой выступают нечёткие множества [1].

Нечеткая и  лингвистическая переменные

При описании объектов и  явлений с помощью нечетких множеств используется понятие нечеткой и  лингвистической переменных.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой <a, X, A>, где

• a - имя переменной,
• X - универсальное множество (область определения a),
• A - нечеткое множество на X, описывающее ограничение (то есть m A(x)) на значение нечеткой переменной a.

Лингвистической переменной называется набор <b ,T,X,G,M>, где

• b - имя лингвистической переменной;
• Т - множество его значений (терм-множество), представляющие имена нечетких переменных, областью определения, которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;
• G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество TИG(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;
• М - семантическая процедура, позволяющая преобразовать новое значение лингвистической переменной, образованной процедурой G, в нечеткую переменную, то есть сформировать соответствующее нечеткое множество.

Во избежание большого количества символов:

• символ b используют как для названия самой переменной, так и для всех его значений;
• для обозначения нечеткого множества и его названия пользуются одним символом, например, терм "молодой", является значением лингвистической переменной b = "возраст", и одновременно нечетким множеством М ("молодой").

Присваивание нескольких значений символам предполагает, что  контекст допускает неопределенности.

Пример

Пусть эксперт определяет толщину изделия, с помощью понятия "маленькая  толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом минимальная толщина равняется 10 мм, а максимальная - 80 мм.

Формализация  этого описания может быть проведена  с помощью лингвистической переменной <b, T, X, G, M>, где

• b - толщина изделия;
• T - {"маленькая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"};
• X - [10, 80];
• G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например, "маленькая или средняя толщина", "очень маленькая толщина" и др.;
• М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А1="маленькая толщина", А2 = "средняя толщина", А3="большая толщина", а также нечетких множеств для термов из G(T) соответственно правилам трансляции нечетких связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка", операции над нечеткими множествами вида: А З C, АИ C,  , CON А = А² , DIL А = А^0,5 і ін.

Вместе с  рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной "толщина" (Т={"маленькая толщина", "средняя  толщина", "большая толщина"}) существуют значения, зависящие от области определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть определены как "около 20 мм", "около 50 мм", "около 70 мм", то есть в  виде нечетких чисел [2].

Функции принадлежности нечетких множеств:

"маленькая  толщина" = А1 , "средняя толщина"= А2, " большая толщина"= А3.

Функция принадлежности:

нечеткое множество "маленькая или средняя толщина" = А1ИА1.

Нечеткий логический вывод

Основой для  проведения операции нечеткого логического  вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме ‘Если-то’  и функции принадлежности для  соответствующих лингвистических  термов. При этом должны соблюдаться  следующие условия:

1. Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной.
2. Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).

В противном  случае имеет место неполная база нечетких правил.

Пусть в базе правил имеется m правил вида: 
R₁: ЕСЛИ x₁ это A₁₁ … И … x_n это A_1n, ТО y это B₁ 
… 
R_i: ЕСЛИ x₁ это A_i1 … И … x_n это A_in, ТО y это B_i 
… 
R_m: ЕСЛИ x₁ это A_i1 … И … x_n это A_mn, ТО y это B_m, 
где x_k , k=1..n – входные переменные; y – выходная переменная; A_ik – заданные нечеткие множества с функциями принадлежности.

Результатом нечеткого  вывода является четкое значение переменной y^* на основе заданных четких значений x_k , k=1..n.

В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: введение нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости, или дефазификация (см. рисунок 1).

 
Рисунок 1. Система нечеткого логического вывода.

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом  видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.Рассмотрим подробнее нечеткий вывод на примере  механизма Мамдани (Mamdani). Это наиболее распространенный способ логического  вывода в нечетких системах. В нем  используется минимаксная композиция нечетких множеств. Данный механизм включает в себя следующую последовательность действий.

1. Процедура фазификации: определяются степени истинности, т.е. значения функций принадлежности для левых частей каждого правила (предпосылок). Для базы правил с m правилами обозначим степени истинности как A_ik(x_k), i=1..m, k=1..n.
2. Нечеткий вывод. Сначала определяются уровни ‘отсечения’ для левой части каждого из правил:

Далее находятся ‘усеченные’  функции принадлежности:

3. Композиция, или объединение полученных усеченных функций, для чего используется максимальная композиция нечетких множеств:

,

где MF(y) – функция принадлежности итогового нечеткого множества.

4. Дефазификация, или приведение к четкости. Существует несколько методов дефазификации. Например, метод среднего центра, или центроидный метод:

 [3].

 

2. Нечеткая кластеризация

FCM-алгоритм кластеризации

Кластеризация - это объединение объектов в группы (кластеры) на основе схожести признаков для объектов одной группы и отличий между группами. Большинство алгоритмов кластеризации не опираются на традиционные для статистических методов допущения; они могут использоваться в условиях почти полного отсутствия информации о законах распределения данных. Кластеризацию проводят для объектов с количественными (числовыми), качественными или смешанными признаками. В этой работе рассматривается кластеризация только для объектов с количественными признаками. Исходной информацией для кластеризации является матрица наблюдений:

,

каждая строчка  которой представляет собой значения n признаков одного из M объектов кластеризации.

Задача  кластеризации состоит в разбиении  объектов из   на несколько подмножеств (кластеров), в которых объекты более схожи между собой, чем с объектами из других кластеров. В метрическом пространстве "схожесть" обычно определяют через расстояние. Расстояние может рассчитываться как между исходными объектами (строчками матрицы  ), так и от этих объектов к прототипу кластеров. Обычно координаты прототипов заранее неизвестны - они находятся одновременно с разбиением данных на кластеры.

Существует  множество методов кластеризации, которые можно классифицировать на четкие и нечеткие. Четкие методы кластеризации разбивают исходное множество объектов   на несколько непересекающихся подмножеств. При этом любой объект из   принадлежит только одному кластеру. Нечеткие методы кластеризации позволяют одному и тому же объекту принадлежать одновременно нескольким (или даже всем) кластерам, но с различной степенью. Нечеткая кластеризация во многих ситуациях более "естественна", чем четкая, например, для объектов, расположенных на границе кластеров.

Методы  кластеризации также классифицируются по тому, определено ли количество кластеров  заранее или нет. В последнем  случае количество кластеров определяется в ходе выполнения алгоритма на основе распределения исходных данных. В  начале рассмотрим алгоритм c-средних, разбивающий данные на наперед заданное число кластеров, а затем алгоритм горной кластеризации, который не требует  задания количества кластеров [4][6].

Метод k-средних. C-means

Алгоритм разделительной кластеризации, основанный на разбиении множества элементов векторного пространства на заранее определенное число кластеров k. Алгоритм представляет собой итерационную процедуру, в которой выполняются следующие шаги.

• Выбирается число кластеров k.
• Из исходного множества данных случайным образом выбираются k записей, которые будут служить начальными центрами кластеров.
• Для каждой записи исходной выборки определяется ближайший к ней центр кластера. При этом записи, «притянутые» определенным центром, образуют начальные кластеры.
• Вычисляются центроиды – центры тяжести кластеров. Каждый центроид – это вектор, элементы которого представляют собой средние значения признаков, вычисленные по всем записям кластера. Затем центр кластера смещается в его центроид.

Затем 3-й и 4-й шаги итеративно повторяются. Очевидно, что на каждой итерации происходит изменение границ кластеров и смещение их центров. В результате минимизируется расстояние между элементами внутри кластеров. Остановка алгоритма производится тогда, когда границы кластеров  и расположения центроидов не перестанут изменяться от итерации к итерации, т.е. на каждой итерации в каждом кластере будет оставаться один и тот же набор записей. На практике алгоритм обычно находит набор стабильных кластеров за несколько десятков итераций.

Преимуществом алгоритма  являются быстрота и простота реализации. К его недостаткам можно отнести  неопределенность выбора начальных  центров кластеров, а также то, что число кластеров должно быть задано изначально, что может потребовать  некоторой априорной информации об исходных данных [5].

 

 

3. Современное практическое применение механизма анализа нечеткой информации

В последние годы все большее  число российских предприятий (как  частных, так и государственных), в целях повышения эффективности  управления экономическими процессами, пытаются организовать свою деятельность на основе современных научных исследований. Повсеместно внедряются бизнес-планирование, финансовый и инвестиционный анализ, современные программные продукты, основанные на последних научных  разработках. Одновременно возрастает спрос на рыночные исследования (как  на микроэкономическом, так и макроэкономическом уровне), на финансовую и общеэкономическую  информацию.