Логическое строение школьного курса геометрии

Раздел. Специальная (частная) методика геометрии: планиметрии  и стереометрии.

 

Тема 1. Логическое строение школьного курса геометрии.

План.

1. Цели изучения и структура школьного курса геометрии.
2. Содержание пропедевтического курса геометрии в 5-6 классах.
3. Различные подходы к построению школьного курса геометрии (логическое строение).

Содержание лекции:

Изучение геометрии  в школе преследует все цели обучения математике (обучающие, воспитательные, развивающие), но при этом выделяются некоторые специфические цели:

1. ознакомление учащихся с основными геометрическими фигурами и их свойствами;
2. показ практического приложения изучаемого материала к реальной действительности;
3. развитие логического мышления и пространственного воображения;
4. овладение навыками использования чертежных инструментов и развитие способности к техническому творчеству.

Структура школьного  курса геометрии.

1 ступень (1-4 классы) – изучение  отдельных элементов геометрии.

2 ступень (5-6 классы) –  пропедевтический курс геометрии.

3 ступень (7-9 классы) – систематический курс планиметрии.

4 ступень (10-11 классы) – систематический курс стереометрии.

На второй ступени в пропедевтическом курсе математики 5-6 класса доля геометрического  материала составляет приблизительно 1/3 часть курса.

В 5 классе основное внимание отводится рассмотрению элементарных геометрических фигур, вводимых преимущественно через наглядное их описание: отрезок и его длина;  прямая; луч; угол; многоугольник; ломанная; прямоугольный параллелепипед; куб и их объем.

В 6 классе ведущая роль отводится элементарным геометрическим построениям: построение треугольника по трем данным элементам; построение окружности; параллельных и перпендикулярных прямых с помощью треугольника и линейки; построение фигур, симметричных относительно точки, относительно прямой. Также рассматривают круг и шар. Без доказательства вводят формулы длины окружности, площади круга.

Традиционный курс геометрии  в школе сложился на основе «Начал Евклида» в то же время претерпевает постоянные изменения в отношении  объема, так и в отношении содержания, так как реализация традиционного строго дедуктивного изложения курса на основе той или иной аксиоматики все время находится в диалектическом противоречии с принципом доступности обучения.

До 1968 года школьный курс геометрии (учебники Киселева, Глаголева, Никитина) был изложен на основе аксиоматики Гильберта. Но она была представлена неполно: в наиболее полном виде рассматривались аксиомы принадлежности и параллельности. Вообще не были представлены аксиомы конгруэнтности и порядка (на интуитивном уровне).

В соответствии с требованиями в 1968 году в процессе коренной реорганизации  математического образования была поставлена задача разработки такой  аксиоматики, которая была бы немногочисленной, доступной для учащихся, наглядной  и в то же время логически строгой. При том должна учитываться как сама логика построения курса на основании выделенной аксиоматики, так и возможности осознания учащимися идем такого построения.

Были предложены несколько  путей.

1. Изложение, приближенное к алгебре (на основе метода координат, векторного аппарата). При этом курс планиметрии строился на традиционной основе, а стереометрии – на основе аксиоматики Вейля.
2. Изложение на теоретико-множественной основе, предложенное А.Н. Колмогоровым. Основным аппаратом решения задач является аппарат геометрических преобразований. Система аксиом геометрических преобразований. Система аксиом немногочисленна, достаточно наглядна для учащихся.
3. Аксиоматика, построенная на основе аксиоматики Евклида-Гильберта, но более полная по отношению к предложенному курсу. Система аксиом представлена в явном виде уже в начале курса (§1). Данный подход предложен А.В. Погорелов; но он не стыковался с принятой теоретико-множественной основой.

Задания для  самостоятельной работы.

(завести тетрадь для самостоятельной работы или продолжить тетрадь за 3 курс)

1. Выделить основные особенности становления и развития российского геометрического образования:

а) с древних времен до 17 века; б) в 17 веке; в) в 18 веке; г) в 19 веке, д) в 20 веке по учебному пособию «Методика обучения геометрии» /В.А. Гусев, В.В. Орлов, и др., М.: Академия, 2004. (с.8-36 – а, б, в, г; с. 31-58 – д).

2. Выделить основные тенденции эволюции зарубежного геометрического образования по этому же учебному пособию (с.58-70).

Вопросы для  самопроверки:

1. Сформулируйте основные цели изучения школьного курса геометрии?
2. Какова структура курса геометрии, изучаемого в средней школе?
3. Каковы особенности содержания пропедевтического курса геометрии в 5-6 классах?
4. В чем суть подходов к построению курса геометрии в основных действующих школьных учебниках?

Литература: 4, 6, 14, 16

 

 

 

 

Тема 2. Методика изучения первых разделов (тем) систематического курса геометрии.

План.

1. Основные трудности, встречающиеся на первых уроках планиметрии и пути их преодоления.
2. Методика проведения первых уроков систематического курса геометрии.

Содержание лекции:

Начиная изучать курс планиметрии  в 7 классе, учитель сталкивается с  определенными трудностями.

1. Совершается резкий переход к необходимости все доказывать. Если в 5-6 классах в основном использовался индуктивный подход, то в систематическом курсе на первый план выходят дедуктивные рассуждения. При этом ученики считают, что многие факты они уже знают (или наглядно очевидны) и незачем их доказывать.
2. Невозможно дать единого метода доказательства теорем и решения задач.
3. Вводится новая символика, много новой терминологии.
4. Очень много рисунков, чертежей, к которым учащиеся еще недостаточно привыкли.

Учитывая указанные сложности, в начале систематического курса  учителю не следует резко отходить от конкретно-индуктивного подхода, широко использовать интуицию учащихся с применением различных наглядных пособий. Одновременно необходимо формировать у школьников потребность в доказательстве вводимых утверждений.

Перед изучение первого  раздела учителю целесообразно провести беседу о предмете геометрии. Учитель должен продемонстрировать ученикам различные плоские и пространственные фигуры и попросить учащихся описать их свойства. Таким образом, подводим учащихся к выводу, что геометрия изучает свойства различных плоских и пространственных фигур. При этом некоторые свойства фигур очевидны, другие же необходимо обосновать рассуждениями.

После  этого переходят  к рассмотрению основных понятий  и их свойств. Начинают обычно с практической задачи на построение, после чего формулируется свойство, которое затем закрепляется на задачах.

При работе над аксиомами  планиметрии возможно использование  учителем следующей методической схемы.

1. На первом этапе аксиома может быть предварена рисунком с небольшим комментарием учителя.
2. Формулировка аксиомы учителем
3. Логический анализ формулировки аксиомы.
4. Математический диктант.
5. Закрепление при решении задач.

Задание для  самостоятельной работы.

 

Показать возможную  реализацию этой методической схемы  при изучении основных свойств: I в. – 1; II в. – 2.

Вопросы для  самопроверки:

1. Перечислить основные трудности, возникающие у учащихся при изучении геометрии на первых уроках систематического курса.
2. Каковы основные пути преодоления этих трудностей?
3. Какие методические схемы изучения аксиом (основных свойств простейших геометрических фигур) можно выделить?
4. Опишите возможную реализацию каждой из схем при изучении какой либо аксиомы школьного курса планиметрии.

Литература: 4, 6, 10, 14, 16

 

Тема 3. Изучение взаимного расположения прямых на плоскости. Параллельность и перпендикулярность прямых.

План.

1. Цели изучения параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
2. Методика изучения параллельности прямых на плоскости в школьном курсе.
3. Изучение перпендикулярности прямых в курсе планиметрии.

Содержание лекции:

1. Выделим следующие основные цели изучения параллельности и перпендикулярности прямых в школьном курсе:
1. через аксиому параллельных в школьный курс вводится евклидова геометрия;
2. материал о параллельности и перпендикулярности необходим в дальнейшем для изучения тем «Четырехугольники», «Координаты», «Векторы», «Геометрические преобразования» и др.
3. позволяет более глубоко осознать роль аксиом при построении курса геометрии;
4. большое практическое значение (самостоятельно привести примеры).
2. В настоящее время практикуются два варианта изложения вопросов о параллельности и перпендикулярности.

1 вариант (учебник  Л.С. Атанасяна – 7 класс).

Вначале рассматривается  частный случай пересечения прямых – перпендикулярность прямых, затем  в отдельную главу вынесен материал о параллельных.

2 вариант (учебник  А.В. Погорелова).

Вопросы о параллельности и перпендикулярности прямых рассматриваются  вперемежку друг с другом:

а) аксиома параллельных (§1),

б) перпендикулярные прямые (§2),

в) параллельные прямые, признаки параллельности прямых, свойства параллельных прямых, сумма углов треугольника (§4),

г) существование и  единственность перпендикуляра к прямой (§4),

д) построение перпендикулярной прямой (§5),

е) 8 класс, тема «Четырехугольники» (§6), параллельный перенос – в теме «Движение» (§9).

При любом варианте изложения  данного материала следует начать с вопроса о взаимном расположении двух прямых на плоскости. Это можно  осуществить в виде эвристической  беседы:

1. Могут ли две прямые иметь одну общую точку?
2. Могут ли две прямые иметь две общие точки?
3. Могут ли иметь бесконечное множество общих точек?
4. Могут ли не иметь общих точек?

Само определение параллельных прямых встречается в двух вариантах:

1. А.Н. Колмогоров: прямые параллельны, если они не пересекаются либо совпадают.

Погорелов, Атанасян: прямые параллельны, если они не пересекаются. После введения определения необходимо доказать существование параллельных прямых. В различных учебниках  теорема существования рассматривается  по-разному.

Колмогоров: после введения параллельных прямых доказывается теорема: «Центрально-симметричные прямые параллельны», а затем – аксиома параллельных.

Погорелов: в §4, сумма  углов треугольника после признаков  параллельности, сопоставляя утверждение  задачи 8, решение которой рассматривается в учебнике и аксиомы IХ (акс. параллельных), приходят к выводу: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну».

В задаче 8 даны «прямая  АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ».

Атанасян: В вопросе  о перпендикулярных прямых до аксиомы  параллельности рассматривается важное следствие: «две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются». Таким образом, доказывается существование параллельных прямых.

Аксиома параллельных также  формулируется по-разному. Если у  Погорелова – «через точку, не лежащую  на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной», а затем доказывается, что такая прямая есть, то у Атанасяна сразу принимается за аксиому, что через точку можно провести единственную прямую, параллельную данной, что является более целесообразным вариантом, поскольку это интуитивно и так понятно.

Методика изучения признаков  параллельности прямых.

Вначале целесообразно  выяснить вопрос: зачем нужны признаки параллельности? Дело в том, что определение  не дает возможности проверки (установления) параллельности прямых. Невозможно на бесконечности проверить пересекаются ли прямые или нет. Поэтому и нужны специальные признаки, по которым можно судить о параллельности.