Контрольная работа по "Экономической теории"

Задача №1

Решить задачу потребительского выбора, найдя функцию спроса, при  ценах благ р₁ =10 д.ед.,  р₂ =2 д.ед. и доходе М= 60, если функция полезности имеет вид

U(x₁, x₂) = (x₁-1) ^1/4 (x₂- 3)^3/4

Изобразить допустимое множество  и кривые безразличия. Найти необходимый  размер компенсации дохода при увеличении цены второго товара на 2 д.ед. Определить предельные полезности благ (товаров) и дохода. Определить эластичности благ и дохода. Используя уравнение  Слуцкого, рассчитать частные производные  блага по цене при компенсации  дохода в оптимальной точке. Какова норма замены второго товара первым в оптимальной точке?

Решение

1. Составим модель поведения потребителя по базовой модели (1).

;

(1)

 

2. Определим функции спроса на товары и максимальную полезность в оптимальной точке.

 

Составляем функцию Лагранжа:

L = U(x) + λ (M — р₁х₁ — р₂х₂) =

+ λ (M — р₁х₁ — р₂х₂).

Þ Þ Þ Þ

   Þ 

При М = 60 д.ед., р₁ = 10 д.ед. и р₂ = 2 д.ед.

х₂* =;

х₁* =  .

Функция полезности в оптимальной  точке равна:

U(х₁,х₂) = ;

U(х₁,х₂) = .

3. Необходимый размер компенсации дохода при увеличении цены второго товара на ∆р₂ = 2 д.ед. равен

;

∆М = 36 д.ед.

 

 

4. Найдем предельные полезности благ (товаров) и дохода:

= = 1.905;

= ;

= 0.192.

5. Найдем эластичности благ и дохода:

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Найдем частные производные блага по цене при компенсации дохода в оптимальной точке, используя уравнение Слуцкого:

,  i,j=1...n;

.

 

 

7. Найдем норму замены второго товара первым в оптимальной точке:

:

 

 

 

Задача 2

Издатель обратился в  отдел маркетинга, чтобы выяснить предполагаемый спрос на книгу. Исследования отдела маркетинга показали:

x	Спрос на книгу в ближайший  год, экз.	3000	2000	4000	5000
р	Вероятность	0,1	0,5	0,2	0,2

Контрибуция к капитальным  затратам и прибыли составляет 9 ф.ст. за книгу. Если книга не продается, убытки составляют 4.ф.ст. за штуку. Если издатель не удовлетворяет спрос, убытки по неудовлетворенному спросу составят 1.ф.ст. (для поддержания репутации  фирмы и будущего спроса). Определите, сколько книг должно быть издано.

Решение

Учитывая исходные условия, прибыль на каждом пирожном будет  составлять 9 ф.ст. Составим платежную матрицу:

Предложение	Спрос
	2000	3000	4000	5000
2000	9000	8500	8000	7500		8250
3000	1400	2700	2600	2500		2300
4000	2000	4600	7200	7000		5200
5000	1200	3800	6400	9000		5100

 

Элементы платежной матрицы  рассчитываются по следующему принципу(П – предложение, С – спрос):

1. Если спрос больше предложения:

a_ij= П*9 *p–(C-P) *1*p  ф.ст.

2. Если спрос равен предложению:

a_ij= П*9*p  ф.ст.

3. Спрос меньше предложения:

а_ij= C*9*p-(П-С)*4*p ф.ст.

По критерию максимума  среднего выигрыша оптимальной является стратегия с оптимальным объемом изданных книг – 2000.

 

Составим матрицу рисков:

Предложение	Спрос
	2000	3000	4000	5000
2000	0	4500	9000	13500		6750
3000	3600	0	8100	16200		6975
4000	6400	3200	0	7200		4200
5000	9600	6400	3200	0		4800

 

По критерию минимума среднего риска оптимальной является стратегия  с оптимальным объемом изданных книг – 4000.

Общий вывод: в результате исследования было выявлено две возможных стратегии:

1. Выпуск 2000 книг – с точки зрения максимального выигрыша
2. Выпуск 4000 книг – с точки зрения минимального риска.

По условию, вероятность  спроса в 2000 экземпляров наиболее вероятна. Также следует учесть, что средний  выигрыш от производства 2000 экземпляров  выше аналогичного параметра второй стратегии примерно  на 3000 ф.ст., а риск потерь – примерно 2500 ф.ст.

На основании всего  вышесказанного можно заключить, что  выпуск 2000 экземпляров будет наиболее оптимальным.

 

Задача 3

Планируется деятельность n промышленных предприятий на очередной год. Начальные средства: 10. Размеры вложений в каждое предприятие кратны 2. Средства x, выделенные предприятию i приносят в конце года прибыль f _i (x), i = 1,2. … n.

Таблица 3.1.

X	2	4	6	8	10
f1(x)	9	14	18	24	28
f2(x)	9	13	19	22	27
f3(x)	10	15	18	22	26
f4(x)	5	11	15	22	26

Прибыль f _i (x) не зависит от вложения средств в другие предприятия. Прибыль от каждого предприятия выражается в одних и тех же условных единицах; суммарная прибыль равна сумме прибылей от каждого предприятия.

Определить, какое количество средств нужно выделить каждому  предприятию, чтобы суммарная прибыль  была наибольшей.

Решение

Обозначим через x_k количество средств, выделенных k–му предприятию. Суммарная прибыль равна

Z=

Переменные x_k удовлетворяют ограничениям

10, x_k ³ 0, k = 1, 2, 3, 4.

Требуется найти переменные x₁, x₂,, x₃,, x₄, удовлетворяющие вышеописанным условиям.

Функциональное уравнение  Беллмана для нашей задачи имеет  вид:

 

 

 

Первый шаг. Вычислим значение по формуле

, т.е. решим  задачу для двух предприятий.  Занесем все результаты в таблицу,  где через  и = обозначены количества средств, вложенных соответственно во второе и первое предприятия.

Таблица 3.2.

			0	2	4	6	8	10		План
			0	9	14	18	24	28
0	0		0	2	4	6	8	10	0	(0,0)
2	9		9	18	23	27	33		9	(0,2)
4	13		13	22	27	31			18	(2,2)
6	19		19	28	31				23	(4,2)
8	22		22	31					28	(2,6)
10	27		10						33	(8,2)

 

Второй шаг. Распределим вложения между тремя предприятиями. Будем использовать формулу:

 при этом  значения  будем брать из таблицы 3.2, а значения из таблицы 3.1.  Результаты занесем в таблицу 3.2, где =

 

Таблица 3.3            

		+	0	2	4	6	8	10		План
			0	9	18	23	28	33
0	0		0	9	18	23	28	33	0	(0,0,0)
2	10		10	19	28	33	38		10	(0,0,2)
4	15		15	24	33	38			19	(0,2,2)
6	18		18	27	36				28	(2,2,2)
8	22		22	31					33	(2,2,4) (4,2,2)
10	26		26						38	(4,2,4) (2,6,2)