Экономико-математическое моделирование

 

Решение

Будем решать задачу методом динамического  программирования, последовательно  двигаясь от конца трассы к ее началу, при этом на каждом шаге процесса выбирая то направление трассы, которое дает меньшую стоимость ее строительства от рассматриваемого пункта до пункта В.

Рассмотрим точку В и три  окружающие ее точки.

10	№41	→(10)→	В
↑ (15)			↑ (10)
?	№40	→(11)→	10     №46

И в случае попадания трассы в пункт №46, и в случае попадания трассы в пункт №41 придется затратить дополнительно 10 млрд. руб., чтобы достроить ее до пункта В. Если вести трассу от пункта №40 через №41, то будет затрачено 15+10=25 млрд. руб., если через пункт №46 – то 11+10=21 млрд. руб. Выгоднее вести трассу через пункт №46.

Рассмотрим  дополнительно пункты №33, 34, 35, 39, 45.

Из пункта №45 можно провести трассу только через  пункт №46, поэтому стоимость строительства  составит 11+10=21.

Из пункта №35 можно провести трассу только через пункт №41, поэтому стоимость строительства составит 8+10=18.

Из пункта №33 можно провести трассу в пункт  №40 через №34 и №39. Получим: через  №34: 9+8=17, через №39: 10+13=23. Выгоднее вести  трассу через пункт №34.

Рассуждая аналогично, найдем путь, который  даст наименьшую стоимость строительства  трассы.  В таблице показаны минимальные  стоимости прокладки трассы от данного  пункта до пункта В.

133	13	120	68	52	10	42	11	31	13	18	8	10	10	0
12		9		11		13		10		7		15		10
84	13	71	10	61	10	51	12	39	14	25	8	21	11	10
10		12		12		13		8		9		13		11
93	11	82	13	69	13	56	14	42	8	34	10	31	10	21
9		12		15		9		10		10		12		15
97	10	87	11	76	14	62	10	52	9	44	8	43	12	36
14		9		29		11		14		12		10		10
110	15	95	12	83	10	73	88	66	12	56	10	53	13	46
12		9		10		13		10		11		9		13
114	13	101	8	93	8	86	12	76	13	67	11	62	10	59

 

Окончательный вид трассы показан  на рисунке.

№5	13	№11	68	№17	10	№23	11	№29	13	№35	8	№41	10	В
12		9		11		13		10		7		15		10
№4	13	№10	10	№16	10	№22	12	№28	14	№34	8	№40	11	№46
10		12		12		13		8		9		13		11
№3	11	№9	13	№15	13	№21	14	№27	8	№33	10	№39	10	№45
9		12		15		9		10		10		12		15
№2	10	№8	11	№14	14	№20	10	№26	9	№32	8	№38	12	№44
14		9		29		11		14		12		10		10
№1	15	№7	12	№13	10	№19	88	№25	12	№31	10	№37	13	№43
12		9		10		13		10		11		9		13
А	13	№6	8	№12	8	№18	12	№24	13	№30	11	№36	10	№42

Наименьшая стоимость прокладки  трассы равна 114 млрд. руб.

 

 

 

 

 

 

Задача №2

Вариант №9

Предприятие имеет свободных К  млрд. руб. средств, которые оно может  вложить в 5 различных производственных программ. При этом прибыль от каждой из программ зависит от объема инвестиций. Эти зависимости известны и имеют вид:

где х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ – инвестиции в программы, млрд. руб. Их общий объем К=х₁+х₂+х₃+х₄+х₅ задан.

Требуется найти неотрицательные  объемы инвестиций х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, соответствующие наибольшей общей прибыли .

К=10 млрд. руб.

Решение.

Так как коэффициенты при х убывают  с возрастанием номера функции прибыли, то есть при малых объемах инвестиций первая программа имеет преимущество перед второй, вторая – перед третьей, третья – перед четвертой, а четвертая – перед пятой. При значительных объемах инвестиций эти приоритеты могут измениться, но не может быть такой ситуации, при которой программа с меньшим номером может быть не профинансирована, в то время как программа с большим номером будет проинвестирована.

Поэтому рассмотрим следующие варианты:

1. Все средства передаются первой программе.
2. Средства распределяются между первой и второй программами.
3. Средства распределяются между первой, второй и третьей программами.
4. Средства распределяются между первой, второй, третьей и четвертой программами.
5. Средства распределяются между всеми программами.

Рассмотрим случай 1. х₁=10 млрд. руб. Тогда х₂=х₃=х₄=х₅=0.

П=0,18·10-0,05·10²=-3,2 млрд. руб. Вариант убыточен.

Рассмотрим случай 2. х₁+х₂=10. Тогда х₃=х₄=х₅=0.

Выразим х₂: х₂=10-х₁, подставим в функцию прибыли: . Прибыль

Найдем производную:

Приравняем ее к нулю, решим полученное уравнение, получим:

Отсюда  .

Прибыль равна  =-0,532 млрд. руб. Вариант убыточен.

Рассмотрим случай 3. х₁+х₂+х₃=10. Тогда х₄=х₅=0.

Выразим х₃: х₃=10-х₁-х₂, подставим в функцию прибыли: . Прибыль Найдем частные производные:

Приравняем их к нулю, решим полученную систему уравнений, получим:

Отсюда  .

Прибыль равна  =0,490 млрд. руб.

Рассмотрим случай 4. х₁+х₂+х₃+х₄=10. Тогда х₅=0.

Выразим х₄: х₄=10-х₁-х₂-х₃, подставим в функцию прибыли: . Прибыль . .

Найдем частные производные:

Приравняем их к нулю, решим полученную систему уравнений, получим:

Отсюда  .

Прибыль равна  =0,746 млрд. руб., что больше предыдущего случая.

Рассмотрим случай 5. х₁+х₂+х₃+х₄+х₅=10.

Выразим х₅: х₅=10-х₁-х₂-х₃-х₄, подставим в функцию прибыли: . Прибыль .

  .

Найдем частные производные:

Приравняем их к нулю, решим полученную систему уравнений, получим:

Отсюда  .

Прибыль равна  =0,882 млрд. руб., что больше предыдущего случая.

Оптимальный план инвестиций получится  согласно последнему случаю: х₁=1,367 млрд. руб., х₂=1,459 млрд. руб., х₃=2,418 млрд. руб., х₄=1,918 млрд. руб., х₅=2,837 млрд. руб. Наибольшая прибыль 0,882 млрд. руб.

 

 

 

 

 

Задача №3

Вариант №97

Осуществляется предварительная  оценка профессиональной пригодности  кандидата на руководящую должность. Требуется методом экспертного ранжирования из группы кадрового резерва, включающего в себя семь кандидатов, отобрать наиболее достойного, по мнению коллектива из 10 экспертов.

Каждый эксперт  оценивает степень подготовленности каждого члена группы кадрового резерва, сопоставив ему целое число – ранг , то есть номер члена группы в порядке убывания оценки степени подготовленности. Первый ранг имеет тот, кто, по мнению эксперта, подготовлен лучше других. Распределения рангов заданы в таблице.

Номер члена группы	Оценка эксперта
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	4	5	4	4	4	5	4	1	3	1
2	7	1	5	7	7	6	1	7	4	7
3	5	6	3	3	2	3	2	3	7	3
4	3	4	7	6	5	7	3	6	6	6
5	6	2	2	1	3	2	5	2	1	2
6	2	7	6	5	6	4	6	5	5	4
7	1	3	1	2	1	1	7	4	2	5

 

Эксперты отличаются уровнем компетентности, которую можно оценить вероятностью получения экспертом достоверной оценки. Каждый эксперт получает весовой коэффициент, значение которого лежит в пределах .

Уровень компетентности

0,9

0,8

0,7

0,6

0,8

0,9

0,6

0,9

0,7

0,9

 

Решение.

.

Составим матрицу мнений экспертов  размерностью , в которой сумма элементов любого столбца равна .

 

Наиболее подготовленного кандидата  из группы на основе коллективной оценки выбирают после расчета среднего ранга для каждого из кандидатов: , где - уровень компетентности эксперта.

На первом месте будет кандидат, имеющий минимальный ранг, что  будет соответствовать усредненному мнению коллектива экспертов.

Номер члена группы	Оценка эксперта										ḣi	ki	Δki	(Δki)2	Ранг кандидата
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	4	5	4	4	4	5	4	1	3	1	3,435897	3,5	-0,5	0,25	3
2	7	1	5	7	7	6	1	7	4	7	5,358974	5,2	1,2	1,44	7
3	5	6	3	3	2	3	2	3	7	3	3,717949	3,7	-0,3	0,09	4
4	3	4	7	6	5	7	3	6	6	6	5,320513	5,3	1,3	1,69	6
5	6	2	2	1	3	2	5	2	1	2	2,628205	2,6	-1,4	1,96	1
6	2	7	6	5	6	4	6	5	5	4	4,897436	5	1	1	5
7	1	3	1	2	1	1	7	4	2	5	2,641026	2,7	-1,3	1,69	2
Уровень компетентности	0,9	0,8	0,7	0,6	0,8	0,9	0,6	0,9	0,7	0,9