Экономико-математические модели

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (Дарбина – Уотсона) (в качестве критических используйте уровни d1 = 1,08 и d2 = 1,36) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7;
• для оценки точности модели используйте квадратическое отклонение и среднюю по модулю ошибку;

6. выбрать лучшую модель после оценки на адекватность на основе исследования, построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед для вероятности Р = 80% по лучшей построенной модели.

7. составить сводную таблицу вычислений, дать интерпретацию рассчитанных характеристик. Отразить результаты в аналитической записке, приложить компьютерные распечатки расчетов и графики. Вычисления провести с двумя  знаками в дробной части.

 

	Построение (математическая модель и график)	Показатели адекватности	Выводы	Прогноз по лучшей модели (расчет прогноза  и постоение его на графике)
Линейная модель
Модель Брауна при α=0,4
Модель Брауна при α=0,7

 

Решение

 

Для исследования  используем изменение стоимости портфеля активов страховых компаний в России (Y), млн. руб. за 10 месяцев 2013г1.

 

Таблица 1 – Исходные данные

	Номер наблюдения (t = 1,2, …, 10)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Стоимость портфеля, млн. руб. Y(t)	536	549	610	666	671	684	708	722	741	796

 

Решение проведем с помощью MSExcel.

1) сгладить Y(t) с помощью простой скользящей средней;

В пакете анализ данных выбираем «скользящее среднее» и задаем данный интервал Y:

 

Получаем график скользящего среднего:

t	Y(t)	Yскольз.
1	536	-
2	549	-
3	610	-
4	666	608,3333333
5	671	649
6	684	673,6666667
7	708	687,6666667
8	722	704,6666667
9	741	723,6666667
10	796	753

 

 

2) определить наличие тренда Y(t);

 

Воспользуемся методов проверки разностей средних уровней:

1. разобьем исходный ряд на примерно равные части n1 и n2.
2. Найдем среднее значение и дисперсии для обеих частей ряда по формуле:

Yср = ;      σ2 = .

 

Ycр1 = 606,4; σ2 = 3997,3;

Yср2 = 730,2; σ2 = 2341,39.

1. Проверим однородность дисперсий обеих частей с помощью F-критерия Фишера:

Fрасч = 3997,3/2341,39 = 1,7

Fтабл = 5,12,

Fрасч<Fтабл, следовательно принимается гипотеза о равенстве дисперсий.

 

2. Проверим гипотезу об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента:

tрасч = , где σ – среднеквадратическое отклонение разности средних.

σ = ;

σ = 57,33,

tрасч = 4,42,

tтабл = 2,3,

tрасч >tтабл, следовательно гипотеза отвергается с вероятностью 95%, т.е. тренд есть.

3) построить линейную модель , параметры которой оценить МНК;

 

;

;

 

Коэффициенты определены с помощью функций EXCEL «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» соответственно:

а0=506,6,

а1 = 29,4,

Получаем модель вида: Y(t) = 506,6+29,4t

t	Y(t)	Yрасч	e(t) = Y(t)-Y(t)расч
1	536	536	0
2	549	565,4	-16,4
3	610	594,8	15,2
4	666	624,2	41,8
5	671	653,6	17,4
6	684	683	1
7	708	712,4	-4,4
8	722	741,8	-19,8
9	741	771,2	-30,2
10	796	800,6	-4,6

 

 

4)построить  адаптивную модель Брауна Ypасч(t,k)=A0(t) + A1(t)k, где k – период упреждения (количество  шагов вперед) с параметром сглаживания  и ;

По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры а0 и а1 линейной модели

.

Получаем начальные значения параметров модели Брауна и , которые соответствуют моменту времени t=0 (определены с помощью функций EXCEL «отрезок» и «наклон» соответственно.

Yрасч = 490,3+38,7t;

 

Находим прогноз на первый шаг (t=1):

= 490,3+38,7*1=529

Определяем величину отклонения расчетного значения от фактического:

=536-529 = 7.

Скорректируем параметры модели для параметра сглаживания α=0,4 по формулам:

;

,

где - коэффициент дисконтирования данных, отражающий степень доверия к более поздним наблюдениям; α- параметр сглаживания (α= ); - отклонение (остаточная компонента).

По условию α=0,4, следовательно значение b равно:

.

Получим:

По модели со скорректированными параметрами a0(t) и a1(t) находим прогноз на следующий момент времени:

.

Для t=2:

.

t	Y(t)	A0	A1	Yрасч	e(t) = Y(t)-Y(t)расч
		490,3	38,7
1	536	533,48	39,82	529	7
2	549	557,748	35,932	573,3	-24,3
3	610	604,1248	38,5432	593,68	16,32
4	666	657,60048	42,27632	642,668	23,332
5	671	681,395648	37,656032	699,8768	-28,8768
6	684	696,618605	32,0477632	719,05168	-35,05168
7	708	715,439892	28,74114432	728,666368	-20,666368
8	722	729,985173	25,19217843	744,181037	-22,1810368
9	741	746,103847	22,92380216	755,177352	-14,17735168
10	796	786,289954	27,23937836	769,027649	26,97235123

 

Вычислим среднюю относительную ошибку для данного параметра сглаживания:

 

Корректировка параметров модели для α=0,7 и =0,3:

;

t	Y(t)	A0	A1	Yрасч	e(t) = Y(t)-Y(t)расч
		490,3	38,7
1	536	535,37	42,13	529	7
2	549	551,565	28,165	577,5	-28,5
3	610	607,2757	42,9973	579,73	30,27
4	666	664,58457	50,70353	650,273	15,727
5	671	674,985929	29,002361	715,2881	-44,2881
6	684	685,798946	19,2080989	703,98829	-19,98829
7	708	707,730634	20,67464685	705,007045	2,992955
8	722	722,576475	17,53605921	728,405281	-6,4052809
9	741	740,920128	17,97091731	740,112534	0,88746551
10	796	792,660194	36,15430506	758,891045	37,10895459

 

Средняя относительная ошибка для данного параметра: