Функция Лагранжа

3. Задача Лагранжа  с одним ограничением

4. Смысл множителей  Лагранжа

4.1. Теорема Лагранжа

4. 2. Метод множителей Лагранжа

4.3. Метод неопределенных  множителей Лагранжа

4.4. Двумерный случай

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Метод Лагранжа базируется на нескольких ключевых идеях. Одна из них состоит в том, как искать минимум функции, если на функцию  заданы некоторые ограничения. Этот приём теперь носит название «правило множителей Лагранжа»

Данная тема актуальна  в современности потому, что метод  множителей Лагранжа применяется при  решении задач нелинейного программирования, возникающих во многих областях (например, в экономике).

Важное место в математиком  аппарате экономики занимают оптимальные  задачи - задачи, которых ищется наилучшее  в определенном смысле решение. В  экономической практике требуется  использовать имеющиеся ресурс наиболее выгодным образом. В экономической  теории одним из отправных пунктов  является постулат о том, что каждый экономический субъект, имея определенную свободу выбора своего поведения, отыскивает наилучший со своей точки зрения вариант. И оптимизационные задачи служат средством описания поведения  экономических субъектов, инструментом исследования закономерностей этого  поведения.

1. Построение модели

Для постановки задачи необходима анализ системы, исследование её особенностей и возможных методов управления системой. Схема, построения в результате такого анализа, является либо изобразительной, либо аналоговой моделью. Таким образом, первый этап построения модели выполняется  в процессе постановки задачи. После  такого анализа системы уточняется перечень различных вариантов в  решения, которые надо оценить. Затем  определяются меры общей эффективности  этих вариантов. Следовательно, следующий  этап заключается в построении такой  модели, в которой эффективность  системы можно выразить в функции  переменных, определяющих систему. Некоторые  из этих переменных в реальной системе  можно менять, другие переменные менять нельзя. Те переменные, которые можно  изменить, назовем “управляемыми”. Различные варианты решения задачи необходимо выразить с помощью управляемых  переменных.

Построение математической (символической) модели системы можно  начать с перечисления всех элементов  системы, которые влияют на эффективность  работы системы. Если в качестве меры общей эффективности используется “общие ожидаемые издержки”, то можно  начать с исследования изобразительной  или аналоговой модели, полученной на стадии постановки задачи. Можно  выделить операции и материалы, которым  сопоставляется некоторые затраты. При этом получим, например, следующий  исходный список:

Производственные затраты:

а) закупочная цена сырья;

б) издержки перевозки сырья;

в) стоимость приемки сырья;

г) стоимость хранения сырья;

д) стоимость планирования производства;

е) стоимость наладочных работ в цехе;

ж) стоимость процесса обработки;

з) стоимость хранения запасов  в процессе производства;

и) стоимость завершения производства и передачи готовых  изделий на склад;

к) стоимость анализа результатов  работы группой планирования;

л) стоимость хранения готовых  изделий.

Затраты на сбыт.

Накладные расходы.

2. Задача Лагранжа. Безусловный и условный экстремумы

Многие задачи оптимизации  формулируются следующим образом. Решение, которое должен принять  субъект, описывается набором чисел  х₁ ,х₂ ,…,х_n (или точкой Х=(х₁ ,х₂ ,…,х_n) n-мерного пространства). Достоинства того или иного решения определяются значениями функция f(X) = f(х₁, х₂ ,…,х_n) -- целевой функции. Наилучшее решение -- это такая точка Х, в которой функция f(Х) принимает наибольшее значение. Задача нахождения такой точки описывается следующим образом:

f(X) max.

Если функция f(X) характеризует отрицательные стороны  решения (ущерб, убытки и т. п.), то ищется точка Х, в которой значение f(X) минимально:

f(X) min.

Минимум и максимум объединяются понятием экстремума. Для  определенности мы будем говорить только о задачах максимизации. Поиск  минимума не требует специального рассмотрения, поскольку заменой целевой функции f(X) на -f(Х) всегда можно “превратить  недостатки в достоинства” и свести минимизацию к максимизации.

Из каких вариантов  должен быть выбран наилучший? Иными  словами, среди каких точек пространства нужно искать оптимум. Ответ на этот вопрос связан с таким элементом  оптимизационной задачи, как множество допустимых решений. В некоторых задачах допустимыми являются любые комбинации чисел х₁, х₂,…,х_n то есть множество допустимых решений - это все рассматриваемое пространство.

В других задачах следует  принимать во внимание различные  ограничения, означающие, что не все  точки пространства доступны при  выборе. В содержательных постановках  задач это может быть связано, например, с ограниченностью располагаемого количества ресурсов.

Ограничения могут быть представлены в форме равенств вида

g(X) = О

или неравенства

g(X) О.

Если условия имеют  несколько другую форму, скажем, g₁(Х) = g₂(X) или g(X) A, то их можно привести к стандартному виду, перенеся в функции и константы в одну из частей равенства или неравенства.

Экстремум, отыскиваемый во всем пространстве, без каких-либо ограничивающих условий, носит название безусловного. Если целевая функция непрерывно дифференцируема, то, необходимое условие  безусловного экстремума функции состоит  в равенстве нулю всех ее частных  производных:

Если же заданы ограничения, то экстремум ищется лишь среди точек, которые удовлетворяют всем ограничениям задачи, так как только такие точки  являются допустимыми. В этом случае экстремум носит название условного.

Рассмотрим задачу поиска условного экстремума:

f(X) max

при условиях (2)

g₁(Х) = 0; g₂(Х) = 0, …, g_n(Х) = 0,

все ограничения которой  представляют собой равенства.

Если при этом целевая  функция и все ограничивающие функции непрерывно дифференцируемы, то такую задачу мы будем называть задачей Лагранжа.

3. Задача Лагранжа  с одним ограничением

Рассмотрим задачу, имеющую следующую структуру:

f(X) max

при условии (3)

g(X) = 0.

Рассмотрим пример. По склону горы идет дорога, требуется найти  на ней самую высокую точку. На рис. 1 представлена карта местности  с нанесенными на нее линиями

Рис. 1

равных высот; толстая  линия - это дорога. Точка М, в которой  дорога касается одной линий уровня, - это и есть наивысшая точка  дороги.

Если Х = (х₁, х₂) - точка плотности, х₁ и х₂ - её координаты, то задаче можно придать следующую форму. Пусть f(Х) -- высота точки Х над уровнем моря, а уравнение g(X) = 0 описывает дорогу. Тогда наивысшая точка дороги - решение задачи (3).

Если бы дорога проходила  через вершину горы, то ее высшая точка была бы самой высокой точкой местности, и ограничение можно  было бы не принимать во внимание.

Если же дорога не проходит через вершину, то, немного отклонившись от дороги, можно было бы подняться  выше, чем двигаясь строго по дороге. Отклонение от дороги соответствует  попаданию в такие точки, где g(X) 0; при малых отклонениях достижимую при этом высоту можно приближенно  считать пропорциональной отклонению.

Идею решения задачи Лагранжа можно представить следующим  образом: можно попытаться “исправить”  рельеф местности так, чтобы отклонение от дороги не давало преимуществ в  достижении высоты. Для этого нужно  заменить высоту f(Х) функцией.

L(X) = f(X) - g(Х),

где множитель подбирается  таким образом, чтобы участок  склона в окрестности точки М  стал горизонтальным (слишком малое  не устранит преимуществ отклонений от дороги, а слишком большое - придаст  преимущество отклонениям в противоположную  сторону).

Теперь, поскольку рельеф L(X) делает площадку в окрестности  точки оптимума горизонтальной, эта  точка удовлетворяет равенствам

а так как точка лежит  на дороге, то - и ограничению g(X) = 0.

рис.2

Пример с горой и  дорогой -- лишь иллюстрация идеи; точно  так же двумерный случай использован  исключительно для наглядности. Подобным образом можно было бы рассуждать и в общем, n-мерном случае.

Справедливо следующее утверждение:

Если f(х₁,…,х_n) и g(х₁,…,х_n) - непрерывно дифференцируемые функции всех своих аргументов, то решение задачи

f(х₁,…,х_n) max

при условии

g(х₁,…,х_n) = 0

удовлетворяет равенствам

где

L(х₁,…,х_n;) = f(х₁,…,х_n) -- g(х₁,…,х_n).

Функция L(X; ) получила название функции Лагранжа (или лагранжиана) задачи (3), а коэффициент -- множителя Лагранжа.

Заметим, что равенство (5) -- это представленное в другой форме  ограничение g(Х) = 0.

Приведенные выше рассуждения, разумеется, не являются доказательством  сформулированного здесь утверждения; они лишь помогают понять существо метода: составляющая g(Х) в составе  функции Лагранжа должна уравновешивать возможное увеличение максимального  значения функции g(Х) от нуля. Это обстоятельство в дальнейшем будет весьма полезно  при обсуждении смысла множителя  Лагранжа.

Рассмотрим чрезвычайно  простой пример. Веревкой длины А  требуется огородить на берегу моря прямоугольный участок наибольшей площади (берег считается прямолинейным).

Рис.3 К задаче Дидона

Обозначим стороны прямоугольника х₁ и х₂ (см. рис. 3). Решим сначала задачу без использования метода Лагранжа.

Очевидно, х₂ = А - 2 х₁ и площадь прямоугольника равна S = х₁х₂ = x₁(А - 2х₁). Рассматривая ее как функцию одного аргумента х1, нетрудно найти его значение, при котором площадь максимальна: х₁ = А/4. Отсюда х₂ = А/2. Максимальная площадь равна S* = А²/8.

Теперь рассмотрим эту  же задачу в форме задачи Лагранжа:

х₁х₂ max

при условии

2 х₁ + х₂ - А = 0

Лагранжиан этой задачи равен

L(х₁,х₂; ) = х₁х₂ - (2х₁ + х₂ - А),

и условия экстремума имеют  вид

так что

х₂ = 2

х₁ =

2 х₁ + х₂ = А

Подставляя значения х₁ и х₂ из первого и второго равенств в третье, находим, что 4 = А, откуда

= А/4; х₁ = А/4; х₂ =А/2,

как и при решении первым способом.

Этот пример показывает распространенный способ решения задачи Лагранжа. Соотношения (4) и (5) образуют систему уравнений  относительно х₁,…,х_n и ,. Система состоит из n + 1 уравнения - n уравнений вида (4) и одно уравнение вида (5). Число уравнений равно числу неизвестных. Из уравнений вида (4) можно попытаться выразить каждую из неизвестных х₁,…,х₂ через , то есть решить ее как систему из n уравнений, рассматривая как параметр. Подставляя получившиеся выражения в уравнение (5) - нам известно, что оно совпадает с ограничением, - получаем уравнение относительно . Решая его, находят , после чего определяются исходные неизвестные х₁,…,х_n.

4. Смысл множителей  Лагранжа

При решении задачи Лагранжа мы интересовались значениями х₁,…,х_n; кроме того, нас могло интересовать экстремальное значение целевой функции f(X). Но в процессе решения попутно было определено значение еще одной величины - множителя Лагранжа.

Оказывается, множитель Лагранжа -- весьма существенная характеристика решаемой задачи. Чтобы смысл ее стал яснее, несколько изменим формулировку ограничения, ничего не изменяя по существу.

Типичная экономическая  ситуация характеризуется тем, что  приходится искать наиболее выгодное решение при ограниченном количестве некоторого ресурса. Если r - заданное количество ресурса, а функция h(X) характеризует  потребное его количество для  достижения точки Х, то ограничению  естественно придать форму

h(X) r.

По характеру задачи часто  бывает ясно, что для достижения оптимума ресурс нужно использовать полностью, так что ограничение  может быть записано в виде равенства

h(X) = r. (6)

Это условие можно представить  в форме g(X) = h(Х) - r = 0. Но значительный интерес представляет максимально  достижимый уровень функции f(x) в  зависимости от имеющегося количества ресурса r. Обозначим

F(r) = max f(X) h(X) = r.

В правой части - принятое обозначение  условного экстремума: после вертикальной черты выписывается условие.

Вспомним, что при обсуждении структуры лагранжиана мы интерпретировали g(Х) как составляющую, уравновешивающую возможный прирост максимума f(X) при отклонении g(X) от нуля. Но отклонение g(X) от нуля есть отклонение h(Х) от r. Если располагаемое количество ресурса  получает приращение r, то мы должны ожидать  приращение максимума функции f(X) на r.

В действительности это соотношение  носит приближенный характер. Точный результат мы получили бы в пределе  при r 0:

Таким образом, множитель  Лагранжа характеризует скорость изменения  максимума целевой функции при  изменении ограничивающей константы r в ограничении вида (6).

В рассмотренном в предыдущем пункте варианте задачи Дидоны ограниченным ресурсом была длина веревки А. Максимальная площадь оказалось равной S(A) = A²/8. Отсюда dS(А)/dА = А/4, что в точности соответствует найденному при решении значению .

рис. 4

Приведем еще одно рассуждение. Для всевозможных точек Х найдем значения f(X) и h(Х) и отложим эти  значения в виде точек в декартовых координатах (рис. 4). Если при каждом значении h(Х) существует максимум функции f(Х), то все точки расположатся ниже некоторой кривой, показанной на рисунке жирной линией.

Нас интересуют точки, соответствующие  условию h(X) = r. Максимум f(X) помечен точкой М*; обозначим наклон кривой в этой точке. Если в качестве ординаты брать  не f(X), а L(X; ) =f(X) - [h(X) -- r], то новая верхняя  граница имела бы в точке М* горизонтальную касательную. Это значит, что в исходном n-мерном пространстве соответствующая точка М -- стационарная точка функции L (X; ) с данным значением  параметра . Таким образом, - множитель  Лагранжа.