Система одновременных уравнений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

Экономический факультет

Кафедра математических методов в экономике

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Эконометрика (продвинутый уровень)»

на тему:

«Системы одновременных  уравнений»

 

 

 

Выполнила: студентка 1 курса магистратуры гр. 1-ММАЭ

Нецветаева К.М.

 

Руководитель: кандидат эконом. наук, доцент Гафарова Е.А.

 

«___»_________________2013г.

 

 

 

 

 

 

УФА 2013 
ЗАДАНИЕ

Вариант 5

Макроэкономическая модель (упрощенная модель Кейнса) выглядит следующим  образом:

, где

• Y – национальный доход;
• C – совокупные расходы на личное потребление;
• I – чистые инвестиции;
• T – совокупный объем собираемых налогов;
• К – объем основных производственных фондов;
• t – текущий период;
• t-1 – предыдущий период.

 

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
2. Определите метод оценки параметров модели.
3. Запишите приведенную форму модели.
4. Нарисуйте схему взаимодействия показателей.
5. Оцените параметры системы.

 

РЕШЕНИЕ

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.

В состав системы эконометрических уравнений входят множество зависимых (или эндогенных переменных) и множество  предопределённых переменных (лаговые  и текущие независимые переменные, а также лаговые эндогенные переменные).

Структурными уравнениями называются уравнения, из которых состоит исходная система одновременных уравнений. В данном случае система имеет структурную форму. Структурная форма системы одновременных уравнений непосредственно характеризует реальный экономический процесс. Структурными коэффициентами или параметрами называются коэффициенты уравнений структурной формы системы одновременных уравнений.

Приведённой формой системы одновременных  уравнений называется система независимых  уравнений, в которой все эндогенные переменные выражены только через экзогенные или предопределённые переменные и случайные компоненты, например:

Приведёнными коэффициентами или  параметрам называются коэффициенты приведённой  формы системы одновременных  уравнений.

Оценки неизвестных приведённых коэффициентов можно рассчитать с помощью классического метода наименьших квадратов, а уже на их основе определить оценки структурных коэффициентов.

Проблема идентификации состоит  в возможности численной оценки неизвестных коэффициентов структурных  уравнений по МНК-оценкам коэффициентов приведённых уравнений. Исходная система одновременных уравнений называется идентифицированной, если все её уравнения точно идентифицированы.

Уравнение называется точно идентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведённой формы системы одновременных уравнений можно однозначно найти оценки коэффициентов структурной формы системы одновременных уравнений.

Признаком идентифицированности системы  одновременных уравнений является равенство между количеством  уравнений, определяющих структурные коэффициенты, и количеством этих коэффициентов, т. е. квадратная форма структурной системы уравнений.

Исходная система одновременных  уравнений называется сверхидентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное.

Уравнение называется сверхидентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведённой  формы системы одновременных  уравнений можно получить более  одного значения для коэффициентов  структурной формы системы одновременных  уравнений.

Исходная система одновременных уравнений называется неидентифицированной, если среди уравнений системы есть хотя бы одно неидентифицированное.

Уравнение называется неидентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведённой  формы системы одновременных  уравнений невозможно рассчитать оценки коэффициентов структурной формы системы одновременных уравнений.

 Условия идентификации структурной  формы системы одновременных  уравнений 

Вводятся следующие обозначения:

M – количество предопределённых  переменных структурной формы системы одновременных уравнений;

m – количество предопределённых  переменных в уравнении, проверяемом  на идентифицируемость;

K – количество эндогенных переменных  структурной формы системы одновременных  уравнений;

k – количество эндогенных переменных  в уравнении, проверяемом на идентифицируемость;

A – матрица коэффициентов  при переменных, не входящих в  уравнение, проверяемое на идентифицируемость.

Необходимые и достаточные  условия идентификации применяются  только к структурной форме системы  одновременных уравнений.

Необходимое условие идентифицируемости уравнения структурной формы  системы одновременных уравнений.

Уравнение структурной  формы системы одновременных  уравнений идентифицируемо в  том случае, если количество предопределённых переменных, не входящих в данное уравнение, будет не меньше числа эндогенных переменных этого уравнения минус единица: M–m ≥ k–1.

Достаточное условие идентифицируемости уравнения структурной формы  системы одновременных уравнений.

Уравнение структурной  формы системы одновременных уравнений идентифицируемо в том случае, если ранг матрицы A равен (k-1). Рангом матрицы называется размер наибольшей её квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.

На основе перечисленных  условий идентификации, можно сформулировать необходимые и достаточные условия идентифицируемости уравнения структурной формы системы одновременных уравнений:

1. уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается сверхидентифицированным, если M–m>k–1  и ранг матрицы A равен (K-1);
2. уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается точно идентифицированным, если M–m=k–1 и ранг матрицы A равен (K-1);
3. уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается неидентифицированным, если M–m≥k–1 и ранг матрицы A меньше (K-1);
4. уравнение структурной формы системы одновременных уравнений считается неидентифицированным, если M–m<k–1.

Нам дана структурная форма макроэкономической модели (упрощенной модели Кейнса). Для  того чтобы перейти к приведённой  форме необходимо выделить в наших уравнениях экзогенные и эндогенные переменные.

Так, в нашей системе Y – национальный доход и C – совокупные расходы на личное потребление будут эндогенными переменными (то есть будут находиться в правой части уравнений, это наши зависимые переменные), а экзогенными являются I – чистые инвестиции, T – совокупный объем собираемых налогов и К – объем основных производственных фондов в предыдущий период (это независимые переменные).

Составим приведённую форму  системы одновременных уравнений  с учётом эндогенных и экзогенных переменных:

Отсюда следует, что K = 2 (эндогенные переменные), а M = 3 (экзогенные переменные).

Рассмотрим наше первое уравнение:

k = 2; m = 1. В первом уравнении структурной формы отсутствуют I и K. Коэффициенты перед отсутствующими во втором уравнении переменными будут выглядеть следующим образом:

( 1  ) ранг такой матрицы равен единице. Отсюда следует, что

M – m = 3 – 1 = 2 > k – 1 = 1 и

r = 1 = K – 1 = 1.

Согласно условиям идентификации, данное уравнение является сверхидентифицированным. А исходная система одновременных уравнений называется сверхидентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное.

 

2. Определите метод оценки параметров модели.

Уравнение называется сверхидентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведённой формы системы одновременных уравнений можно получить более одного значения для коэффициентов структурной формы системы одновременных уравнений.

Оценки неизвестных параметров сверхидентифицированного уравнения нельзя рассчитать традиционным и косвенным методом наименьших квадратов. В данном случае для определения неизвестных оценок используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Алгоритм данного метода:

1. Составление приведённой формы модели.
2. Применение обычного МНК к каждому уравнению приведённой формы и получение численных оценок приведённых параметров.
3. Выбор инструментальных переменных (для нашего случая, определение расчётных значений эндогенных переменных, которые фигурируют в качестве факторов в структурной форме модели).
4. Определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределённые переменные и расчётные значения эндогенных переменных полученных на шаге 1.

 

3. Запишите приведенную форму модели.

 

 

где и - эндогенные переменные, а

, и - экзогенные факторы.

 

4. Нарисуйте схему взаимодействия показателей.

 

_{5. Оцените параметры  системы на основе  официальных данных  по РФ [1].}

 

Исходные данные (млрд. руб.) представлены в таблице:

Год	Национальный  доход	Совокупные  расходы на личное потребление	Чистые инвестиции	Совокупный  объём собираемых налогов	Объём основных производственных фондов
2003	13208,2	2989,3	2186365,2	105,9	32173286
2004	17027,2	3582,9	2865013,9	68,4	34873724
2005	21609,8	4490,0	3611109,0	117,4	41493568
2006	26917,2	5353,1	4730022,9	5432,4	47489498
2007	33247,5	6842,6	6716222,4	114,3	60391454
2008	41276,8	8561,8	8781616,4	79,1	74441095
2009	38807,2	9054,0	7976012,8	121,9	82302969
2010	46308,5	10513,4	9152096,0	7662,9	93185612
2011	55799,6	11715,1	11035652,0	112,7	108001247

 

В программном продукте Eviews следуем алгоритму двухшагового МНК.

1. Применяем обычный МНК к нашему первому уравнению.

 

Так как у фактора T и константы р-уровень больше 0,05, то эти факторы не значимы в нашей системе. Это происходит в связи с тем, что данные взяты только по России и взяты всего за 10 лет.

Применяем обычный МНК к нашему второму уравнению.

В данном уравнении не значимы факторы Т и К (p-уровень > 0.05).

Получили следующие уравнения:

2. - проблемная переменная. Так как встречается в обеих частях уравнения.

Используем инструментальную переменную . Определим расчётное значение по формуле, полученной на предыдущем шаге, т.е.

Обозначим её y2 в Eviews.

3. Оцениваем МНК уравнение структурной формы, заменив эндогенные переменные в правой части их инструментальными оценками.

 

Первое уравнение в структурной  форме:

В данном уравнении не значимы факторы Т и константа (p-уровень > 0.05).

Второе уравнение в структурной  форме:

В данном уравнении не значим фактор К (p-уровень > 0.05).

Таким образом, получаем следующую  систему:

Таким образом, полученная мной система сверхидентифицирована, на основе данных по России, взятых с официального сайта государственной статистики, система неадекватно описывает реальную экономику, так как некоторые коэффициенты не значимы в нашей системе. 
Список используемых источников:

 

1. Федеральная служба государственной статистики [электронный ресурс] http://www.gks.ru/
2. Эконометрика под ред. И.И. Елисеевой, Издательство «Финансы и статистика», Москва, 2007.
3. Лекции канд. эконом. наук Е.А. Гафаровой.