Применение экономико-математических методов в планировании деятельности предприятия

Федеральное агентство  по культуре и кинематографии

Федеральное государственное  образовательное 

учреждение  высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский  государственный университет кино и телевидения»

 

Кафедра математического моделирования

 

 

 

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

 

по дисциплине «Экономико-математические методы и модели»

на тему:

«Применение экономико-математических методов в планировании деятельности предприятия»

Вариант № 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                               Выполнила:

                                                                               Бугаева К.А., 2 курса 041 гр.

                                                                               Руководитель:

                                                                               Веселова С.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2012

 

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

1. Краткий обзор методов и моделей математического программирования........................................................................................5
1. Линейное программирование………………………………………5
2. Нелинейное программирование……………………………………6
3. Динамическое программирование…………………………………7

2. Симплексный метод  решение задач линейного программирования…….8

3. Двойственная задача………………………………………………………13

4. Постановка задачи  управления запасами………………………………...15

5. Нахождение оптимальной  производственной программы……………...16

6. Анализ решения задачи  управления запасами…………………………..22

Заключение……………………………………………………………………….25

Список использованной литературы…………………………………………...26

 

Введение

 

Экономико-математические методы и модели - комплекс дисциплин, возникший на стыке экономики, математики и кибернетики. Ее предметом является изучение количественных соотношений  в экономике математическими методами, т.е. количественное выражение экономических законов и закономерностей, тенденций протекания экономических  процессов и явлений, взаимосвязей и зависимостей в экономике в виде математических моделей, с целью получения информации, необходимой для принятия управленческих решений.

В составе экономико-математических методов можно выделить следующие  разделы:

• Экономическая кибернетика.

Она включает в себя системный  анализ экономики, теорию экономической  информации и теорию управления системами;

• Математическая статистика;
• Математическая экономика.

Она включает в себя теорию экономического роста, теорию производственных функций, межотраслевые балансы, анализ спроса и предложения.

• Методы принятия оптимальных решений.

Этот раздел включает в себя следующие разделы: математическое программирование, сетевые методы планирования и управления, программно-целевые методы планирования и управления, теория массового обслуживания, теория игр, теория и методы принятия решений.

Задачи математического  программирования можно классифицировать по следующим признакам:

1. По характеру взаимосвязи между переменными
• Линейные
• Нелинейные
2. По характеру изменения переменных
• Непрерывные, когда значения управляющих переменных заполняют сплошь некоторую область действительных чисел
• Дискретные, когда одна или несколько переменных могут принимать только точечные значения
3. По учёту фактора времени
• Статические, когда все решения принимаются в одном периоде времени
• Динамические, когда учитываются разные временные периоды
4. По наличию информации об элементах
• Задачи в условиях полной определённости
• Задачи в условиях неполной информации, когда отдельные переменные являются случайными величинами с известными законами распределения
• Задачи в условиях полной неопределённости, когда можно сделать лишь предположение о возможных исходах принимаемых решений

В математическом программировании можно выделить – линейное программирование, нелинейное программирование и динамическое программирование.

 

1. Краткий обзор методов и моделей математического программирования

1.1 Линейное  программирование

 В задачах линейного  программирования  экономический  процесс считается статическим  не зависящим от времени, поэтому  оптимальное решение  находится  только на один этап планирования.

 В экономике,  как  правило, любое  производство   оптимизируется, что бы получить  максимальный эффект. Иначе  работа любого производства направлена на получение максимальной  прибыли  или производство должно работать определенным образом, что бы было сэкономлено определенное количество финансов и трудовых ресурсов. Работа производства  зависит от  ряда параметров  экономической системы : х_1, х_2, х_3… х_j…. x_n

Для того, чтобы  получит  максимальный эффект  необходимо  составить план  работы производства, т.е. Х =( х_1… х_n)

    Целевая функция зависит от параметров системы, но задача усложняется  из-за того, что  любое производство  работает в условиях   ограниченности ресурсов. Для того, что бы решить задачу  необходимо выполнить следующие этапы:

• Постановка задачи
• Выбор условий, при которых будет  работать данная  экономическая  система при определенных ограничениях
• Разработка экономико-математических методов:            

• Целевая функция Z = f(х_1… х_n)
• Система ограничений

• Выбор математического метода, который позволил бы  найти  оптимальный план  и удовлетворял  2-м условиям:

• система ограничений
• придавать  целевой функции оптимальное либо  экстремальное  значение

К задачам линейного  программирования  относится  классическая задача, которая называется транспортная. Решается, каким образом  необходимо осуществить перевозки грузов оптимальным образом. Она может быть решена классическим симплексным методом и оптимальным методом потенциала.

1.2 Нелинейное  программирование

Если математическая модель, целевая функция  или хотя бы одно ограничение  нелинейные, то это нелинейное программирование. В задачи нелинейного программирования   точка экстремума  может лежать  в вершине  многогранника, на ребре  или внутри  области.  Если задача  содержит нелинейные  ограничения, то область допустимых  решений не является  выпуклой.

Приведем в пример нескольких задач,  в которых возникает  нелинейного программирования:

• Выручка от реализации продукции.
• Приготовление бензиновых смесей.
• Уровень страховых запасов.

1.3 Динамическое  программирование

В  задачах динамического программирования  экономический процесс зависит от времени, поэтому находится ряд оптимальных решений, обеспечивающих оптимальное развития всего процесса в целом. Задачи динамического программирования называются  многоэтапными и многошаговыми. Динамическое программирование  представляет собой  математический аппарат, позволяющий  осуществлять оптимальное планирование  многошаговых управляемых процессов  и процессов, зависящих от времени.

 Совокупность решений,  принимаемых в начале  года  планируемого периода, по обеспечению  предприятия сырьем,  замене оборудования, размером финансирования  является управлением. 

Экономический процесс  выпуска  продукции  можно считать  состоящим  из нескольких этапов, на каждом из которых  осуществляется  влияние на его развитие.

 Планируя многоэтапный  процесс,  исходя из интересов   всего процесса в целом, т.е.  при принятии решения  на  отдельном этапе  всегда необходимо  иметь в виду конечную цель.

Курсовая работа состоит  из двух частей:

• задача линейного программирования, решенная симплексным методом; двойственная задача;
• задача управления запасами как пример динамического программирования.

 

2. Симплексный метод решение задач линейного программирования.

F(x)=2x₁+x₂+4x₃+5x₄→ max

 

    2x₁+6x₂+x₃+x₄ ≥4    

     x₁+3x₂+2x₃+5x₄ ≤ 10

     3x₁-x₂-5x₃+10x₄ =10

 

Приведем задачу к  каноническому виду для того. Введем дополнительные переменные для того, чтобы убрать знаки неравенства.

  2x₁+6x₂+x₃+x₄-x₅ = 4

      x₁+x₂+2x₃+5x₄+x₆ =10

    3x₁-x₂-5x₃+10x₄ =10

 

Введем искусственные переменные x₇ и  x₈

  2x₁+6x₂+x₃+x₄-x₅+ x₇= 4

       x₁+x₂+2x₃+5x₄+x₆ = 10

     3x₁-x₂-5x₃+10x₄ +x₈=10

 

Дополнительные переменные входят в целевую функцию, а искусственные  переменные входят в целевую функцию  с коэффициентом М. Так как  мы ищем max Ζ, то коэффициент М – отрицательное число. На основании этого изменим целевую функцию

 

Ζ=2x₁+x₂+4x₃+5x₄-0x₅+0x₆-Mx₇-Mx₈

Составим первую симплексную  таблицу

 

I	Базис	С базис	A0	2	1	4	5	0	0	-M	-M
				A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
1	A7	-M	4	2	6	1	1	-1	0	1	0
2	A6	0	10	1	3	2	5	0	1	0	0
3	A8	-M	10	3	-1	-5	10	0	0	0	1
m+1	Zj-Cj		0	-2	-1	-4	-5	0	0	0	0
m+2	Zj-Cj		-14	-5	-5	4	-11	1	0	0	0

 

Составим первоначальный опорный план x₀

X₀ (x₁=0; x₂=0; x₃=0; x₄=0; x₅=0; x₆=4; x₇=10; x₈=10)

Z (x₀)= -14M

Проверяем оптимальность данного плана по строке m+2. План не оптимален, т.к. есть Zj-Cj ≤ 0

Если оценки одинаковы, то в базис  включается вектор, которому соответствует  max [Ө_0j (Zj-Cj)]