Построение множественной эконометрической модели

Задание  1_вариант 13

1. Построить эконометрическую модель зависимости производительности труда (Y) от  основных производственных факторов:

Х1 – фондовооруженность труда тыс.грн./чел;

Х2 – коэффициент текучести  кадров, %;

Х3 – потери рабочего времени, %.

2. Проверить статистическую значимость модели и оценок ее параметров. Сделать выводы.
3. Проверить выполнение основных предпосылок классической регрессионной модели (проверка остатков модели на  гетероскедастичности, автокорреляцию;  исследование факторов на мультиколлинеарность).
4. Осуществить прогноз производительности труда на следующие четыре месяца, если заданы ожидаемые значения факторов, влияющих на нее. Исходные данные приведены в табл.

№	Y	Х1	Х2	Х3
1	8,68	2,63	11,49	7,19
2	12,18	5,31	13,32	8,80
3	13,12	7,02	15,82	9,64
4	15,25	9,90	16,39	9,89
5	19,37	12,18	17,18	11,95
6	21,34	15,36	19,46	11,97
7	24,06	18,44	21,51	13,29
8	26,60	24,13	23,10	15,67
9	31,24	25,83	24,70	15,59
10	33,70	28,57	25,49	16,42
11	37,01	29,70	25,61	16,01
12	36,19	31,30	28,11	18,73
13	40,04	34,03	28,22	17,09
14	42,19	36,53	28,45	17,38
15	44,21	38,35	29,59	17,82

 

1. Построить эконометрическую модель зависимости производительности труда (Y) от  основных производственных факторов:

Х1 – фондовооруженность труда тыс.грн./чел;

Х2 – коэффициент текучести  кадров, %;

Х3 – потери рабочего времени, %.

Истинная взаимосвязь  между результирующим показателем (зависимой переменной) Y и различными объясняющими переменными X_j  выражается так:

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ +…+b_pX_p + e.

Однако, мы не знаем истинную зависимость  и вынуждены делать оценки:

.

Коэффициенты b_j (j = 1,2,…,р) представляют собой частные производные Y по соответствующим Х_j:

и показывают, насколько в среднем  изменится величина Y при изменении соответствующего фактора Х на единицу и при неизменных значениях других факторов.

Существует много пакетов программ, которые способны решить задачу оценивания множественной регрессии. Далее мы покажем возможность использования для этой цели Excel.

Матричный оператор 1МНК имеет вид     ,   где

 

Х=	1,000	2,630	11,490	7,190	Y=	8,68
	1,000	5,310	13,320	8,800		12,18
	1,000	7,020	15,820	9,640		13,12
	1,000	9,900	16,390	9,890		15,25
	1,000	12,180	17,180	11,950		19,37
	1,000	15,360	19,460	11,970		21,34
	1,000	18,440	21,510	13,290		24,06
	1,000	24,130	23,100	15,670		26,60
	1,000	25,830	24,700	15,590		31,24
	1,000	28,570	25,490	16,420		33,70
	1,000	29,700	25,610	16,010		37,01
	1,000	31,300	28,110	18,730		36,19
	1,000	34,030	28,220	17,090		40,04
	1,000	36,530	28,450	17,380		42,19
	1,000	38,350	29,590	17,820		44,21

 

Хтр - транспонированная  матрица Х.

Для транспонирования  матрицы Х выполним следующие действия:

выделим область пустых ячеек, состоящую из 4 строк и 15 столбцов  для вывода результата; в главном меню выберем Вставка/Функция;

в раскрывшемся окне выберем категорию Ссылки и массивы, Функцию – ТРАНСП.  Щелкнем по кнопке ОК;

в строке Массив появившегося окна укажем диапазон ячеек, в которых содержится матрица Х.  Щелкнем по кнопке ОК;

в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмем на клавишу <F2>, а затем – на комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>.

Результат:

 

Хтр=	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
	2,63	5,31	7,02	9,90	12,18	15,36	18,44	24,13	25,83	28,57	29,70	31,30	34,03	36,53	38,35
	11,49	13,32	15,82	16,39	17,18	19,46	21,51	23,10	24,70	25,49	25,61	28,11	28,22	28,45	29,59
	7,19	8,80	9,64	9,89	11,95	11,97	13,29	15,67	15,59	16,42	16,01	18,73	17,09	17,38	17,82

 

Произведение матриц  (X'X) находим с помощью Мастера функций, используя функцию МУМНОЖ:

1. выделяем область пустых ячеек, состоящую из 4 строк и 4 столбцов  для вывода результата;
2. в окне МУМНОЖ в строке Массив 1 укажем диапазон ячеек, в которых содержится матрица Xтр  (первый сомножитель), а в строке Массив 2 – матрица Х (второй сомножитель), нажмем ОК;
3. в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу <F2>, а затем – на комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>.

 

Результат умножения матриц:

 

Xтр*X=	15	319,28	328,44	207,44
	319,28	8797,394	7977,5626	5017,2326
	328,44	7977,5626	7685,6944	4844,6829
	207,44	5017,2326	4844,6829	3059,6166

Аналогично  найдем с помощью функции МОБР обратную матрицу:

 

(X*Xтр)обр=	17,189	0,724	-1,625	0,221
	0,724	0,033	-0,073	0,013
	-1,625	-0,073	0,233	-0,139
	0,221	0,013	-0,139	0,184

 

Xтр*Y=	405,180
	10580,713
	9833,697
	6186,506

В=	9,15
	1,09
	0,13
	-0,59

 

Таким образом, получили эконометрическую модель: 

 

= 9,15 + 1,09Х₁ +0,13Х₂ – 0,59Х₃.

 

2. Проверить статистическую значимость модели и оценок ее параметров. Сделать выводы.

Подставив в модель исходные значения Х_ij  (i = 1,2,…,15;  j = 1,2,3), получим расчетные значения .  Разность между фактическими и расчетными значениями результирующего показателя представляет собой остатки (е_i ), являющиеся оценками значений возмущения.

 

	Ymod	e	e^2
1	9,232374	-0,55	0,305117
2	11,44089	0,74	0,546286
3	13,13064	-0,01	0,000113
4	16,20207	-0,95	0,906437
5	17,5747	1,80	3,223112
6	21,3279	0,01	0,000146
7	24,17314	-0,11	0,0128
8	29,18416	-2,58	6,677868
9	31,29282	-0,05	0,00279
10	33,89604	-0,20	0,038431
11	35,38866	1,62	2,62876
12	35,84554	0,34	0,118654
13	39,81306	0,23	0,0515
14	42,4023	-0,21	0,045072
15	44,27571	-0,07	0,004318
		Сумма	14,5614

 

Найдем стандартную  ошибку остатков (модели) по формуле: