Основные типы моделей

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Так как валовой объем продукции любой i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то уравнение баланса между производством и потреблением будет иметь вид:

, (i=1,2,…,n)   (1)

Уравнения (1) называются соотношениями баланса.

Можно также рассчитать такой показатель, как чистую продукцию Ci, которая равна разности между валовым продуктом и суммарным потреблением данной отраслью:

.     (2)

Все, ранее рассмотренные показатели, можно записать в основную балансовую таблицу:

Отрасль	Потребление отраслей xij				Конечный продукт Yi	Валовой продукт Xi
	1	2	…	n
1	x11	x12	…	x1n	Y1	X1
2	x21	x22	…	x2n	Y2	X2
…		…			…	…
n	xn1	xn2	…	xnn	Yn	Xn
Чистый продукт Cj	C1	C2	…	Cn

 

В результате основная балансовая таблица содержит четыре матрицы: матрицу межотраслевых производственных связей

,

матрицу валовой продукции

,

матрицу конечной продукции

и матрицу чистой продукции

.

Одной из задач балансового анализа является определение валового продукта Yi, если известно распределение конечного Xi. Для этого введем коэффициенты прямых затрат:

.     (3)

Они получаются в результате деления всех элементов каждого столбца матрицы xij на соответствующий элемент матрицы межотраслевых производственных связей X. Коэффициенты прямых затрат имеют смысл количества потребления продукции j-ой отрасли, необходимой для производства единица продукции i-ой отраслью. Из выражения (3) можно получить xij=aijXj/ Подставив последнее выражение в соотношение баланса (1), получим:

.   (4)

Если обозначить матрицу коэффициентов прямых затрат как

,

то соотношение баланса (4) в матричном виде можно записать как:

X=AX+Y.      (5)

Из последнего выражения можно найти значение конечного продукта при известном значении валового:

,    (6)

где - единичная матрица того же размера, что и А.

 

Пример 1. Баланс четырех отраслей за предыдущий период имеет матрицу межотраслевых производственных связей вида

и матрицу валовой продукции вида . Необходимо определить конечный продукт Y и чистый продукт C каждой отрасли.

Конечный продукт Y получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции суммы элементов соответствующих строк матрицы xij/ Например, первое значение Y1 равно 100-(10+20+15+10)=45. Чистый продукт С получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции X суммы элементов соответствующих столбцов матрицы xij. Например, первое значение С1 равно 100-(10+5+25+20)=40. В результате получим основную балансовую таблицу:

Отрасль	Потребление отраслей xij				Конечный продукт Yi	Валовой продукт Xi
1	10	20	15	10	45	100
2	5	10	0	10	25	50
3	25	10	15	5	95	150
4	20	10	15	10	45	100
Чистый продукт Ci	40	0	105	65

Поставим теперь другую задачу: рассчитать  конечный продукт каждой отрасли на будущий период, если валовой продукт окажется равным . Для решения этой задачи найдем коэффициенты прямых затрат: .

По формуле (6) получим ,

 

.

Важнейшей задачей межотраслевого баланса является отыскание такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A (или при возможности рассчитать этот показатель) обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Из уравнения (6) можно выразить валовой продукт:

.       (7)

Матрица называется матрицей полных затрат. Каждый элемент Sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции j-ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта i-ой отрасли.

Пример 2. В некотором регионе имеются две основные отрасли народного хозяйства: машиностроение (м/с) и сельское хозяйство (с/х). баланс этих отраслей за отчетный период определяется матрицами , . Вычислим остальные показатели и заполним основную балансовую таблицу.

Отрасль	Потребление		Конечный продукт	Валовой продукт
	м/с	с/х
м/с	20	30	100	150
с/х	25	40	135	200
Чистый продукт	105	130	235	350

Предположим, чо на будущий период планируется конечная продукция в объемах . Нужно определить, какой валовой продукт xновый при этом нужно планировать. Найдем коэффициенты прямых затрат:

.

.

Найдем матрицу . Обратную матрицу найдем методом алгебраических дополнений.

Определитель равен det(E-A)=0,87∙0,8-(-0,15)∙(-0,17)=0,67. Алгебраические дополнения: .

Транспонируем ее: . Делим каждый элемент на определитель:

.

Валовой продукт .

Таким образом, нужно планировать валовой выпуск машиностроения в размере 221 ед., а сельского хозяйства в размере 254 ед.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Модель Леонтьева

 

Автором современной модели межотраслевого баланса (в англоязычных странах он имеет название “input-output analysis”) является В. В. Леонтьев (1906-1999). Он окончил факультет общественных наук Санкт-Петербургского университета «по финансовому циклу», в 1925-1928 гг. жил в Берлине, а в 1931 г. эмигрировал в США. Книга Леонтьева “The Structure of American Economy” («Структура американской экономики») появилась в 1941г.

В 1973г. Леонтьев был удостоен премии памяти Альфреда Нобеля по экономике «за развитие метода «затраты - выпуск» и его применение к важным экономическим проблемам».

Предложенная Леонтьевым алгебраическая теория анализа «затраты - выпуск» сводилась к системе линейных уравнений, в которых параметрами были коэффициенты затрат на производство продукции. Леонтьев показал, что коэффициенты, выражающие отношения между секторами экономики (коэффициенты текущих материальных затрат), могут быть оценены статистически, что они достаточно устойчивы и их можно прогнозировать, обосновал существование наиболее важных коэффициентов, изменения которых необходимо отслеживать в первую очередь. Относительная простота измерений определила большие аналитические и прогностические возможности метода «затраты – выпуск».

Рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевого баланса (другое ее название – модель Леонтьева, или модель «затраты – выпуск»).

Различают отчетный и плановый межотраслевые балансы. Такие балансы могут составляться для страны, региона и предприятия. Отчетный межотраслевой баланс отражает структуру производства и потребления продукции, произведенной в стране за отчетный год. Плановый межотраслевой баланс предназначен для планирования производства валового внутреннего продукта. В СССР такой план разрабатывался Госпланом и являлся директивным. В некоторых странах с рыночной экономикой, например в Японии и Франции, такой план разрабатывается, но является индикативным, т.е. не обязательным, а нацеливающим субъектов экономики на рациональные с точки зрения общества действия.

Эффективное функционирование экономики предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой  - как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями.

Алгебраическая теория анализа «затраты – выпуск» сводится к системе линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции.

Пусть весь производственный сектор народного хозяйства развит на n чистых отраслей. Чистая отрасль – это условное понятие – некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.п.). Введем следующие обозначения:

- количество продукции i-ой отрасли, расходуемое в j-ой отрасли;

- объем производства i-ой отрасли за данный промежуток времени, так называемый валовой выпуск продукции i;

- объем потребления продукции  i-ой отрасли в непроизводственной сфере, объем конечного потребления;

- условно чистая продукция j-ой отрасли, включающая оплату труда, чистый доход и амортизацию.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостный межотраслевые балансы.  Рассмотрим стоимостный баланс.

В таблице 1 отражена принципиальная схема межотраслевого баланса (МОБ) в стоимостном выражении.

Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения:

     (1)

Соотношение (1) охватывает систему из n уравнений, отражающих стоимостный состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Во-вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

     (2)

Формула (2) описывает систему из n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

 

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли				Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	…	n
1			…
2			…
…	…	…	…	…	…	…
n			…
Условно чистая продукция			…
Валовой продукт			…